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相对误差定义： N X X0
用测量值计算相对误差：
N X X
相对误差通常用百分数表示。
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真值：
被测量在一定客观条件和状态下 本身所存在的真实值。
真值的特性： 理想概念，客观存在，不能得到
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误差的分类
误差按其性质可分为两类： “系统误差”和“随机误差”
扩展不确定度: 是高概率的表示形式， 它表示被测量的真值在（x-U,x+U)区间内 的概率约为90%以上。
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怎样理解总体平均值和总体标 准偏差的意义
总体平均值m是被测物理量真值的最佳估计值。
当系统误差小到可以不考虑（忽略）时，m就是真值 。
σ是一个有概率意义的参量。它不是测量列 中任一次测量的随机误差，而是表征全部测量的
分散性的一个参量。
在实际测量中n→∞不可能实现， m 和
σ都是理想值；置信概率P = 68.3%也是理想
系统误差： 指在测量前后可以确切知道的误差 (已定系统误差)
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系统误差的来源
（1）仪器误差 仪器本身有缺陷或使用不当
（2）理论和方法误差 理论公式的近似性、理论公式成立的
条件不完全满足、实验方法不完善 （3）实验人员的误差
实验人员的操作习惯、熟练程度、分 辨能力、反应速度等
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它表示由于测量误差的存在而对被测量值不能肯 定的程度，表征被测量的真值所处量值范围的评定。
它是表示测量质量的量度； 不确定度小，测量结果准确度高，测量的质量高；
不确定度大，测量结果准确度低，测量的质量低。
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不确定度的分类：
不确定度分为：A类不确定度（分量） B类不确定度（分量）
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随机误差：
由偶然因素引起的、大小和方向不 能预料、变化方式不可预知的误差。
随机误差的特点： 具有随机性 服从一定的统计规律
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随机误差的分布有多种形式，如 ：二项式分布、正态分布、均匀分布 、三角分布……
不同的分布有不同的分布函数
任何分布函数一般都有两个重要的参 数：
“平均值”和“标准偏差”
f(x)
哪一个σ大？
m
x
*** 21世纪大学物理实验，朱伯申 主编 北京理工大学出版社
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置信区间与置信概率
曲线和 X 轴所包围的面积表示随机误差在一定范围 （置信区间）内的概率P
m
P f(x)dx6.8 3% m
±σ 区间内，P=68.3%, 表明测量值落在 (m-σ，m+σ)区间的概率P(可能性)为 68.3%; ±2σ区间，P=95.4%；±3σ区间， P = 99.7%; 扩大置信区间，置信概率就会 相应提高
A类不确定度：指用统计方法计算的不 确定度。
B类不确定度：指用非统计方法计算的 不确定度。
2020/9/2024源自不确定度表示形式及表示符号：
不确定度表示形式有两种: 标准不确定度,扩展不确定度。
标准不确定度的符号记为“u”（小写） 扩展不确定度符号记为：“U”（大写）
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标准不确定度: 是低概率的表示形式， 它表示被测量的真值落在（x-u,x+u)区间 内的概率约为68.3%。
值。
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对于有限次测量，表征测量分散性的参 量是实验标准差，它是方差的正平方根
方差： V(x) 1 n n1i1
2
xi x
方差的正平方根,实验标准差：贝塞尔公式
n
S(xi)
(x1x)2 (x2 x)2 ...(xn x)2 n1
xi x2
i
n1
算数平均值的实验标准差
S(x) S(x) n
1 不确定度的提出与发展
不确定度是测量技术领域中的一个 重要概念。它是评定测量质量的重 要指标之一。
“不确定度”一词最早起源于1927 年海森堡在量子力学中提出的不确 定关系。（测不准关系）
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1962年，由美国研究学者首先在计量校准系统 中提出定量表示不确定度的建议。
1970年以来，一些国家计量部门开始使用不确 定度。
第二部分
测量误差 不确定度 测量结果的表示
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一 测量与测量误差
1 测量的定义与分类
定义：
测量是指利用各种方法和器具对 “被测量”进行尽量合理的赋值 。
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测量的分类：
直接测量：测量结果可以从测量仪 器（或量具）上直接获得。
间接测量：测量结果要借助某些直 接测量结果再通过函数计算得到。
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等精度测量：
在测量条件不变的情况下对同一物理量进 行重复测量，各次测量值具有相同的精度。
不等精度测量：
在测量条件有变化的情况下对同一物理量
进行重复测量，各次测量值精度不同。
测量条件是指实验仪器、方法、环境 和人员等方面；在我们物理实验课上所涉 及的测量均认为是等精度测量。
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n
(xi x)2
i 1
n(n 1)
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用贝塞尔公式计算的标准差“S” 称为实验标准差，它是总体标准差 的最佳估计值。
S也是一个有概率意义的参量， 它相应的置信概率接近68.3%，但不 等于68.3%。
算数平均值是总体平均值 m 的 最佳估计值。
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二 不确定度及其评定方法
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2 测量误差的定义与分类
为什么要学习误差理论？
明确测量结果的可信赖程度； 寻找误差产生的原因，提出消除或
减小误差的方向和措施； 设计最佳的实验方法，选择合理的
测量仪器…
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测量误差的定义：
测量误差为： 测量值与被测量真值之差。
测量误差表示为： Δx = x - x0
用此形式表示的误差称为绝对误差。
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关于正态分布
正态分布曲线
f(x)
2020/9/20 m-σ
m
f x
1
xm2
e
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正态分布密度(概率 密度)函数
x
m+σ
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正态分布的总体平均值
m lim n
n
xi i 1
n
正态分布的总体标准偏差
lim n
n
(xi m)2
i1
n
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σ与曲线的形状有关
1986年，建立了国际不确定度工作组。 1993年，由IS0等七个国际组织联名正式出版“ 测量不确定度指南”。
我国于1999年5月1日执行最新的计量规范（ JJF1059—1999）。
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2 不确定度的定义与分类
定义：不确定度是表征测量结果中合理赋予被测量值 的一个分散性的参数。