丰台区2014学年度第二学期期中练习高 三 数 学（理科） 2014.3第一部分 （选择题 共40分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题列出的4个选项中，选出符合题目要求的一项。

（1）设集合{|11}A x R x =∈-≤≤,{|(3)0}B x R x x =∈-≤,则A B 等于 （A ） {|13}x R x ∈-≤≤ （B ） {|03}x R x ∈≤≤ （C ） {|10}x R x ∈-≤≤ （D ） {|01}x R x ∈≤≤ （2）在极坐标系中，点A （1,π）到直线cos 2=ρθ的距离是 （A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）4 （3）执行如图所示的程序框图，输出的x 值为（A ）85 （B ）2912（C ）53 （D ）138（4）已知函数()f x 是定义在[6,6]-上的偶函数，且(3)(1)f f >，则下列各式中 一定成立的是（A ）(0)(6)f f < （B ）(-3)(-2)f f > （C ）(1)(3)f f -< （D ）(-2)(1)f f > （5） “1m n >>”是 “log 2log 2m n <”的（A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件 （C ）充分必要条件 （D ）既不充分也不必要条件 （6）某企业开展职工技能比赛，并从参赛职工中选1人参加该行业全国技能大 赛.经过6轮选拔，甲、乙两人成绩突出，得分情况如茎叶图所示.若甲乙两 人的平均成绩分别是x 甲，x 乙，则下列说法正确的是 （A ）x x >甲乙，乙比甲成绩稳定，应该选乙参加比赛 （B ）x x >甲乙，甲比乙成绩稳定，应该选甲参加比赛 （C ）x x <甲乙，甲比乙成绩稳定，应该选甲参加比赛（D ）x x <甲乙，乙比甲成绩稳定，应该选乙参加比赛（7）棱长为2的正方体被一平面截成两个几何体，其中一个几何体的三视图如 图所示，那么该几何体的体积是（A ）143 （B ）4 （C ）103（D ）3（8）如果某年年份的各位数字之和为7，我们称该年为“七巧年”.例如，今年 年份2014的各位数字之和为7，所以今年恰为“七巧年”.那么从2000年 到2999年中“七巧年”共有（A ）24个 （B ）21个 （C ）19个 （D ）18个侧视图俯视图主视图第二部分 （非选择题 共110分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。

（9） 已知tan 2=α，则sin cos sin cos -+αααα的值为_______________.(10)已知等比数列{}n a 中, 358a a +=，154a a =，则139a a = . (11) 如图,已知圆的两条弦AB 与CD 相交于点F ，E 是AB 延长线上一点, 且DF =CFAF :FB :BE =4：2：1.若CE 与圆相切,则线段CE 的长 为 ．(12) 已知点F ,B 分别为双曲线C :22221(0,0)x y a b a b-=>>的焦点和虚轴端点，若线段FB 的中点在双曲线C 上，则双曲线C 的离心率是___________.(13)已知平行四边形ABCD 中，点E 为CD 的中点，AM mAB =u u u r u u u r，AN nAD =u u u r u u u r (0m n ⋅≠),若MN u u u r ∥BE uu u r ，则nm=______________.(14)设不等式组22100x y y ⎧+-≤⎨≥⎩，表示的平面区域为M，不等式组0t x t y -≤≤⎧⎪⎨≤≤⎪⎩，表示的平面区域为N .在M 内随机取一个点，这个点在N 内的概率的最大值 是_________.三、解答题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程. (15)(本小题共13分)已知函数2()cos(2)2sin 13f x x x =--+π．（Ⅰ）求函数()f x 的最小正周期；（Ⅱ）求函数()f x 在区间[0,]2π上的最大值和最小值.EA年龄在60岁（含60岁）以上的人称为老龄人，某地区老龄人共有35万，随机调查了该地区700名老龄人的健康状况，结果如下表：其中健康指数的含义是：2表示“健康”，1表示“基本健康”，0表示“不健康，但生活能够自理”，-1表示“生活不能自理”。

（Ⅰ）估计该地区80岁以下老龄人生活能够自理的概率。

（Ⅱ）若一个地区老龄人健康指数的平均值不小于1.2，则该地区可被评为“老龄健康地区”.请写出该地区老龄人健康指数X 分布列，并判断该地区能否被评为“老龄健康地区”. (17) (本小题共14分)如图，在棱长为1的正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，点E 是棱AB 上的动点. （Ⅰ）求证：DA 1⊥ED 1 ；（Ⅱ）若直线DA 1与平面CED 1成角为45o ，求AEAB的值； （Ⅲ）写出点E 到直线D 1C 距离的最大值及此时点E 的位置（结论不要求证明）.(18) (本小题共13分)已知曲线()x f x ax e =-(0)a ≠.（Ⅰ）求曲线在点（0,(0)f ）处的切线方程； （Ⅱ）若存在0x 使得0()0f x ≥，求a 的取值范围.1A A如图，已知椭圆E:22221(0)x ya ba b+=>>的离心率为2，过左焦点(F且斜率为k的直线交椭圆E于A,B两点，线段AB的中点为M,直线l：40x ky+=交椭圆E于C,D两点.（Ⅰ）求椭圆E的方程；（Ⅱ）求证：点M在直线l上；（Ⅲ）是否存在实数k,使得三角形BDM的面积是三角形ACM的3倍？若存在，求出k的值；若不存在，说明理由.(20) (本小题共13分)从数列{}na中抽出一些项，依原来的顺序组成的新数列叫数列{}na的一个子列.（Ⅰ）写出数列{31}n-的一个是等比数列的子列；（Ⅱ）若{}na是无穷等比数列，首项11a=，公比0q>且1q≠，则数列{}na是否存在一个子列为无穷等差数列？若存在，写出该子列的通项公式；若不存在，证明你的结论.丰台区2014年高三年级第二学期统一考试（一）数学（理科）答案2014.3一、选择题二、填空题9．13 10. 9 11. 12.13. 2 14.2π三、解答题 15.解：（Ⅰ）()cos 2cossin 2sincos 233f x x x x ππ=++1cos 22cos 22x x x =+32cos 22x x =+13(sin 22)2x x =2coscos 2sin )33x x ππ=+)3x π=+--------------------------------------------------------------5分 所以()f x 的最小正周期为π.----------------------------------------------7分（Ⅱ）由（Ⅰ）知())3f x x π=+因为[0,]2x π∈，所以ππ4π2[,]333x +∈，当ππ232x +=，即π12x =时，函数()f x 取π4π233x +=，即π2x =时，函数()f x 取最小值32-.所以，函数()f x 在区间[0,]2π32-.--------------13分16.解：（Ⅰ）该地区80岁以下老龄人生活能够自理的频率为2502606523250260652524++=+++，所以该地区80岁以下老龄人生活能够自理的概率约为2324.--------------5分（Ⅱ）该地区老龄人健康指数X 的可能取值为2,1,0,-1,其分布列为(用频率估计概率)：E X =270210(1)700700700700⨯+⨯+⨯+-⨯=1.15 因为E X <1.2，所以该地区不能被评为“老龄健康地区”.------------------13分 17. 解：以D 为坐标原点，建立如图所示的坐标系，则D (0,0,0),A （1，0，0）， B (1,1,0)，C (0,1,0),D 1(0,1,2),A 1(1,0,1)，设E (1,m,0)（0≤m≤1）（Ⅰ）证明：1(1,0,1)DA =，1(1,,1)ED m =-- 111(1)0()110DA ED m ⋅=⨯-+⨯-+⨯= 所以DA 1⊥ED 1.-------------------------------------------------------------4分 （Ⅱ）设平面CED 1的一个法向量为(,,)v x y z =,则100v C D v C E ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，而1(0,1,1)CD =-，(1,1,0)CE m =- 所以0,(1)0,y z x m y -+=⎧⎨+-=⎩取z=1,得y=1,x=1-m ， 得(1,1,1)v m =-.因为直线DA 1与平面CED 1成角为45o ，所以1sin 45|cos ,|DA v ︒=<> 所以11||22||||DA v DA v ⋅=⋅=m=12.-----11分 （Ⅲ）点E 到直线D 1C E 在A 点处.------14分 18.解：（Ⅰ）因为(0)1f =-，所以切点为（0，-1）.()x f x a e '=-，(0)1f a '=-， 所以曲线在点（0,(0)f ）处的切线方程为：y =(a -1)x -1.-------------------4分 （Ⅱ）（1）当a>0时，令()0fx '=，则ln x a =.因为()x f x a e '=-在(,)-∞+∞上为减函数，所以在(,ln )a -∞内()0f x '>，在(ln ,)a +∞内()0f x '<，所以在(,ln )a -∞内()f x 是增函数，在(ln ,)a +∞内()f x 是减函数， 所以()f x 的最大值为(ln )ln f a a a a =-因为存在0x 使得0()0f x ≥，所以ln 0a a a -≥，所以a e ≥. （2）当0a <时，()x f x a e '=-<0恒成立，函数()f x 在R 上单调递减,而11()10a f e a=->，即存在0x 使得0()0f x ≥，所以0a <.综上所述，a 的取值范围是(-∞,0)∪[e,+∞)----------------------------------------13分 19. 解：（Ⅰ）由题意可知2c e a ==，c =2,1a b ==. 所以，椭圆的标准方程为2214x y +=程.---------------------------------3分（Ⅱ）设11(,)A x y ，22(,)B x y ，00(,)M x y ，22()14y k x x y ⎧=+⎪⎨+=⎪⎩即2222(41)1240k x x k +++-=.所以，212241x x k -+=+，21202241x x x k +-==+，002(41y k x k =+=+，于是222(,)4141M k k -∴++.40k +=，所以M 在直线l 上. --------------------------8分 （Ⅲ）由（Ⅱ）知点A 到直线CD 的距离与点B 到直线CD 的距离相等， 若∆BDM 的面积是∆ACM 面积的3倍，则|DM |=3|CM |，因为|OD |=|OC |，于是M 为OC 中点，；设点C 的坐标为33(,)x y ，则302y y =.因为22414x kyx y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩，解得3y =2|41k k =+，解得218k =，所以4k =±.----------------14分20. 解：（Ⅰ）212n n a -=（若只写出2,8,32三项也给满分）.----------------------4分 （Ⅱ）证明：假设能抽出一个子列为无穷等差数列，设为{}n b ，通项公式为1(1)n b b n d =+-.因为11a =，所以1n n a q -=.（1）当01q <<时，1n n a q -=∈（0，1]，且数列{}n a 是递减数列，所以{}n b 也为递减数列且n b ∈（0，1]，0d <, 令1(1)0b n d +-<，得111b n d>->， 即存在*(1)n N n ∈>使得0n b <，这与n b ∈（0，1]矛盾. （2）当1q >时，1n n a q -=≥1，数列{}n a 是递增数数列，所以{}n b 也为递增数列且n b ≥1，0d >. 因为d 为正的常数，且1q >，所以存在正整数m 使得11(1)m m m a a q q d -+-=->. 令()k p b a p m =>，则11k p b a ++≥，因为111(1)(1)p m p p a a q q q q d --+-=->->=1k k b b +-，所以1p p a a +->1k k b b +-，即11p k a b ++>，但这与11k p b a ++≥矛盾，说明假设不成立.综上，所以数列{}n a 不存在是无穷等差数列的子列.------------------------13分。