虽然从这个不等式不能知道准确的 是多少，但可知 x
764.5 x 765.5,
结果说明 x 在区间 [ 764 .5, 内 . .5] 765
对于一般情形 也可以表示为
， ea xa
即
a ea x a ea , x a ea .
但要注意的是，误差的大小并不能完全表示近似值的 好坏.
x a ea
则 e叫做近似值的误差界（限）。 a 它总是正数。
（1-13）
例如，用毫米刻度的米尺测量一长度 ，读出和该长度 x 接近的刻度 ，a
a是 x 的近似值，
它的误差限是 0.5mm ， 于是
x a 0.5mm.
绝对误差界（限）
如读出的长度为 765mm ，
则有 x 765 . 0.5
a n1
从理论上讲 Gramer法则是一个求线性方程组的数值方法，
且对阶数不高的方程组行之有效。但是在计算机上，它是否实
际可行？ 以求解20阶线性方程组为例，如果用Gramer法则求解， 在算法中的乘、除运算次数将达
21！=9.7×1020次
使用每秒一亿次的串行计算机计算, 一年可进行的运算应为： 365(天) × 24(小时) × 3600(秒) × 109 共需要耗费时间为： (9.7×1020) (3.5) (3.097 × 10
a1 1x1 a1 2x2 a1n xn b1 a x a x a x b 21 1 22 2 2n n 2 an1x1 an2 x2 an nxn bn
早在18世纪Gramer已给出了求解法则：
xi
Di 1 ，… , i D
a 11
，n （D≠0）
a 12 a 22 an2
b1 b2 bn


a1n a2n a nn
a1n a2n a nn
Gramer’s Ruler
A det D

a 11 a 21
a 21 a n1

A det Di i
2. 观测误差： 初始数据大多数是由观测而得到的。由于观 测手段的限制，得到的数据常有误差。
3. 截断误差：数学模型与数值计算模型的误差， 如有限代替无限、离散代替连续的误差。 截断误差这一术语来源： 截断Taylor级数，用Taylor级数的有限项近似替代
Taylor级数的无穷和。
例如，给定
x求 e
相 对 误 差 相 对 误 差
a 3100 0.3100 10 4 ,
x2
的值。 利用无穷级数：
e
x2
4 6 2 n 2n1 x x x x 2 =1 x 2 ! 3 ! n ! n 1!
前 n 1 项和
sx
近似代替函数 e x ， 则数值方法的误差是
2
e 2 n 1 R x e s x x ,0 n 1 n 1 !
2 x
2 x
截 断 误 差
4. 舍入误差 由于计算机字长有限而造成的计算过程中 误差。
近似代替 ， 2 产生的误差 例如， 用 1.4121
0.00000365 E 2 1.41421
就是舍入误差。
模型和观测两种误差不在本课程的讨论范围。 这里主要讨论截断误差与舍入误差，而截断 误差将结合具体算法讨论. 初始数据误差也常常归结为舍入误差. 下面讨论误差估计几个基本问题
1 xa x 1 x a x
2
xa 是 的平方项级，故可忽略不计。 x
相对误差也可正可负，其绝对值上界叫做相对误差界（限） 记为：
ea a
相对误差界（限）
例，有两个量 ， x3 .000 x a = -0.1
a 3. 100, 则
绝对误差
x a 0 .1 1 0 . 333 10 , 3 . 00 x x 3000.00 0.3000 10 4 又例如，有两个量
，0 则将近似值的误差与准确值的比值 定义 若 x
xa x
相对误差（误差）
称为近似值 a 的相对误差。 实际计算中， 如果真值 x 未知时，通常取
xa xa x a
作为 a 的相对误差， 条件是
xa 较小。 x
这是由于 2 ( x a) 2 x a x a x a x x x a 10 （次）
15
)
30(万年)
1.2 误差分析与数值方法的稳定性
1.2.1 误差来源与分类
误差的主要来源：
计 算 流 程 与 误 差 来 源
实际问题 数学模型 数值计算方法 计算机数值结果

模型误差 观测误差
截断误差
舍入误差
1．模型误差：实际问题的解与数学模型的解之间的误 差，来源于数学模型对实际问题的的简化。
1.误差的基本概念 定义1.4
设 x 为精确值， a 为 x 的一个近似值， 称
xa
绝对误差（误差）
a 为近似值的绝对误差， 简称误差。 误差 x 可正可负。
通常准确值 是未知的， x 定义1.5 使得
a 因此误差 x 也未知。
设 x 为精确值， a 为x 的一个近似值，若有常数 绝对误差界（限）
计 算 机 科 学 计 算
（第 一 版）
施吉林 张宏伟 金光日 编
高等教育出版社
本课件 在张宏伟老师提供课件基础上 略加改动而成，
谨此致谢！
第1章 绪 论
1.1 计算机科学计算研究对象与特点
科学计算（计算方法、计算数学、数值分析）： 计算机上
求解数学问题的
离散近似算法
本课程研究用计算机求解各种数学问题 的数值计算方法、理论与软件实现 主要内容包括： 数值代数 微分方程数值解法
u f t , u , u t u 0 0
Ax b
0 fx
f x
b a
f x
数值逼近（数值微分积分）
x f xdx
课程特点： 一、构造计算机可行的有效算法：计算量与存储量。 二、给出实用的理论分析结果，如算法收敛性和稳定性。
什么是有效算法？
考察线性方程组