H0：meX＝meY ； H1：meX < meY p值＝P (N11 ≥ n11 )
H0：meX＝meY ； H1： meX≠ meY p值＝2min {P ( N11 ≤ n11 ) ， P (N11 ≥ n11 )}
大样本渐近形式 超几何分布的均值和方差分别为
E ( N11 )

N 1
N1 N
,
var(A) N1 N2 N1N2 , N N N 1
令
U N11 E(N11) , 2 U 2
var(N11 )
可以证明：U的渐近分布为N( 0, 1 )， 2的渐近分布
为 2 (1).
第三章 两样本问题
本章主要内容
Brown－Mood中位数检验 Wilcoxon秩和检验 Mann－Whitney U统计量检验 U统计量 两样本尺度参数的秩检验法
§3.1 Brown－Mood中位数检验
例3.1 哪一个企业职工的工资高？（单位： 千元） 这里有22名职工，其中的12名职工 来自企业1，另外的10名职工来自企业2。 他们的工资如下：
企业1 企业2 合计
工资<13.5 工资>13.5 合 计
N11=3 N21=8 N+1=11
N12=9 N22=2 N+2=11
N1+=12 N2+=10 N=22
Step3：四格表中的N11，N12，N21和N22视 为随机变量。但是由上表可知，只要确定
了1个变量的值，其余3个变量的值也就随
之给定了。通常选定N11视为变量。显然， 在N11比较小的时候拒绝原假设，从而企业 1职工的工资比企业2职工的工资高。
企业1：11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 40 60
企业2：3 4 5 6 7 8 9 10 30 50。
Mood中位数法具体的求解过程：
H0: 这两个企业职工的工资没有差异 H1: 企业1职工的工资比企业2职工的工资高
Step1：将这个两个企业一共22名职工合在一 起，把它们的工资由小到大排列：
取检验统计量为N11，即X样本中小于meXY的样本 个数，则在零假设下， N11服从超几何分布。
P( N11

k)


N 1 N11

N2 N12

N N1


.
记N11的分布为 P(N11, N1+, N+1, N)。
H0：meX＝meY ； H1： meX > meY p值＝P ( N11 ≤ n11 )
或 H0：mex＝mey ； H1：mex > mey 或 H0：mex＝mey ； H1：mex < mey
考虑d0＝0的情况将两组样本合在一起，记合样本 的样本中位数为meXY，然后构造2×2列联表：
X样本 Y样本 总和
< meXY > meXY
N11
N12
N21
N22
N＋1
N＋2
总和 N1 + N2+ N
Step4：N11服从超几何分布。 它的分布律记为
P(N11, N1 , N1, N ) P(N11,12,11,22)
N11 1,2,,11
其中
P( N11,
N1 ,
N1,
N)


N 1 N11

N
N2 N12



11 N11

11 N12
22tep5：计算p值，得到 p 0.014987。取
水平 0.02，即拒绝原假设，认为企业1职 工的工资比企业2职工的工资高。
Brown－Mood中位数检验问题的一般提 法：：
记两个独立总体的样本分别为x1,…,xm和 y1,…,yn。我们的问题归结为检验它们总体 的中位数的差是否等于0，或等于某个常数。
换言之，即检验：
H0：(mex－mey)＝d0 ； H1：(mex－mey)≠d0 或
H0：(mex－mey)＝d0 ； H1：(mex－mey)>d0 或
H0：(mex－mey)＝d0 ； H1：(mex－mey)<d0
在d0＝0时，三种检验分别对应于： H0：mex＝mey ； H1：mex≠ mey
3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 30 40 50 60 带有下划线的数表示企业2的职工的工
资，不带下划线的数表示企业1的职工的工资。 显然，企业1职工的工资倾向于排在后
面，企业2职工的工资倾向于排在前面。
Step2：求合样本的中位数为13.5千元。作出如下 的四格表:
当合样本的容量n＋m为偶数时， N＝n＋m， N＋1＝N＋2 = N/2， N1＋＝m， N2＋＝n
当合样本的容量为n＋m为奇数时， N＝n＋m－1， N＋1＝N＋2 = N/2， 在合样本中位数me属于X的样本时， N1＋＝m－1， N2＋＝n； 在合样本中位数me属于X的样本时， N1＋＝m， N2＋＝n－1。