U
对于给定的α（ 0 ＜ α＜1），有
P（ θL ≤ θ≤ θ U ） = 1- α
➢则称（ θL ，θ U ）为参数θ的置信度为1- α的置信区间。 ➢该区间的两个端点θL 、θ U分别称为置信下限和置信上限，
通称为置信限。
➢ α为显著性水平；
➢ 1- α则称为置信度，
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1-2）总体方差未知时，正态总体均值的区间估计（小样本）
[ 一般公式 ]
S
S
x 其中 称为样本均值;
ta/2,n-1 称为对应于a/2，自由度为n-1的的 t 值; ta/2,n-1 s 称为抽样极限误差(△x)
n
95% 置信区间 (778.84, 803.36)
⑤结论：该产品每袋重量的均值置信区间为（ 778.841, 803.359 ）克； 允许误差：2.262 * 5.419 = 12.26（克）
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2）总体标准差的置信区间
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1. 产生20个随机数据，并保存在C1 2. 求其工程能力
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3. 统计 → 基本统计量→图形化汇总 4.求总体标准差的置信区间的上限和下限.
六西格玛分析之置信区 间
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置信区间
( Confidence Intervals )
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路径位置
Define
Measure
Analyze
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③输出结果
④结论：样本的标准差是 17.14 , 总体标准差的95%的置信区间在 11.79和31.78之间。
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3）工程能力Cp的置信区间
[ 一般公式 ]
Cp
c
2 1-a
/
2,n-1
Cp Cp
[ Minitab解法 ]
①将题中的6个数据输入到Minitab中的C1列
②路径：统计→基本统计→单样本Z…
③输入相关参数（参考右图）
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④输出结果：
平均值 变量 N 平均值 标准差 标准误 95% 置信区间 C1 6 15.0000 0.2191 0.0204 (14.9600, 15.0400)
x Za/2s(x) m x +Za/2s(x)
x 其中 称为样本均值;
Za/2 称为对应于a/2的Z值;
s( x ) 称为抽样平均误差;
Za/2s( x ) 称为抽样极限误差(△x)
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[ 例题1 ]
某企业从长期实践得知，其产品直径X是一个随机变量，服从 标准差为0.05的正态分布。从某日产品中随机抽取6个，测得其直 径分别为14.8，15.3，15.1，15，14.7，15.1（单位：厘米）。 在0.95的置信度下，试求该产品直径的均值的置信区间。
这种估计方法不仅以样本估计量为依据，而且考虑了估计量的分布，所以它 能给出估计精度，也能说明估计结果的把握程度。
利用基于统计学的置信区间来量化样本的不确定性
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置信区间的定义
设总体参数为θ
，
θL、
θ
为样本确定的两个样本量，
置信区间反映我们的点估计的样本与样本间的散布 我们将考虑如下的置信区间：
1）总体均值u的置信区间； 2）总体方差σ的置信区间； 3）工程能力Cp的置信区间； 4）总体比例P的置信区间；
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1）总体均值的置信区间
1-1）总体方差已知时，正态总体均值的区间估计 [ 一般公式 ]
所以对总体数字特征的抽样估计也叫参数估计。 可分为：点估计和区间估计。
预测总体特征
总体
抽取样本
零假设 样本 备择假设
P-value
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总体参数
参数估计
统计量
区间估计：
根据样本估计量以一定可靠程度推断总体参数所在的区间范围。
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[ 例题4 ] 用[例题3]的10个数据求标准差的置信区间
[ Minitab解法 ]
①将题中的10个数据输入到Minitab中的C1列 ②路径：统计→基本统计量→图形化汇总…
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①打开Minitab
②路径：统计→基本统计量→单样本Z…
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③输入相关参数（参考下图）
④输出结果：
平均值 N 平均值 标准误
95.5% 置信区间
100 35.000 0.450 (34.098, 35.902)
⑤结论：平均产量的均值置信区间为（ 34.0979, 35.9021 ）件
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5. 求Cp的置信区间
总体标准差的置信区间 下限 Sigma 上限 样本大小
8.689 11.425 16.687 20
现在我们可以使用这些估计的上下限来计算Cp的置信区间了
Cp( Best Case) =
100 40 6*8.689
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95%的置信区间
绝大多数情况下，我们计算95%的置信区间(CI)
这可解释为
100中大约95的CI将包含总体参数，或者 我们95%确信总体参数在此区间内
反观以前，我们看到大约95%的样本平均在总体平均的2倍标准 差内 (正态分布时 Z= ±2s内的概率约为95%.)
[ 一般公式 ]（小样本）
sS
n1
c2 a /2

s
sS
n1
c2 1a /2
s 其中 称为样本标准差;
χ2a /2 称为对应于a/2的Chi-Square值;
n1 称为自由度;
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假设我们获得一个16个数据点的样本，得到的标准偏差为1.66。 自由度()为16-1 或 15。 Sigma的 95% (a = .05)置信区间是：
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Cp的置信区间Minitab模拟
❖ 我们将定义一个过程，其目标值为70，USL=100，LSL=40. ❖ 班上的每个人都从一个平均值=70，标准差=10的分布中产生 20
个随机正态数字 ❖ 假设我们的“真实的”Cp = 1.00. ❖ 产生数据后，先用Minitab计算出Cp； ❖ 再用前面的公式计算 Cp的95%置信区间； ❖ 假设班里的人数为 50，我们期待至少一个 CI 不包含1.00 ❖ 准备发表你的结果
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[ 例题2 ]
某企业生产某种产品的工人有1000人，某日采用不重复抽样 从中随机抽取100人调查他们的当日产量，样本人均产量为35件， 产量的样本标准差为4.5件，试以95.5%的置信度估计平均产量的 置信区间。
[ Minitab解法 ]
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置信区间的意义
• 它表示区间估计的可靠程度或把握程度，也即所估计的区间包含总体真 实的可能性。
• 置信度为1-α的置信区间也就表示以1-α的可能性（概率）包含了未知 总体参数的区间。
• 置信区间的直观意义为：
若作多次同样的抽样，将得到多个置信区间，那么其中有的区间包含 了总体参数的真值，有点区间却未包含总体参数的真值。平均说来，包含 总体参数真值的区间有（1-α）*100%，反之有α*100%的区间未包含总体 参数真值。
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理论课
Control
目录
置信区间介绍
总体均值的置信区间
总体标准差的置信区间
Cp的置信区间
置信区间例题
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统计性推断
抽样估计： 根据样本提供的信息对总体的某些特征进行估计或推断。
✓ 估计量或统计量： 用来估计总体特征的的样本指标； ✓ 总体参数：待估计的总体指标。
⑤结论：该产品直径的均值置信区间为（14.96, 15.04）cm
[ 注意 ]
当样本容量相当大时，即使总体分布形式未知或总体为非正态分 布，根据定理，样本均值近似服从正态分布，因此估计总体均值的 方法与上述方法相同；
大样本情况下，当总体方差未知而用样本方差代替时，由于t分 布可用正态分布近似，所以对总体均值的估计也采用上述方法。