一、选择题［ C ］1.（基础训练3）如图3-12所示，圆锥摆的摆球质量为m ，速率为v ，圆半径为R ，当摆球在轨道上运动半周时，摆球所受重力冲量的大小为(A) 2m v ． (B)22)/()2(v v R mg m π+(C) v /Rmg π． (D) 0．【提示】22TGTI mgdt mg ==⨯⎰ ， 而v R T π2=［ C ］2．（自测提高1）质量为m 的质点，以不变速率v 沿图3-16中正三角形ABC 的水平光滑轨道运动．质点越过A 角时，轨道作用于质点的冲量的大小为(A) m v ． (B) ． (C) ． (D) 2m v ． 【提示】如图，2121t t I fdt mv mv ==-⎰，21I mv mv ∴=-=[ B ]3. （自测提高2）质量为20 g 的子弹，以400 m/s 的速率沿图3-15射入一原来静止的质量为980 g 的摆球中，摆线长度不可伸缩．子弹射入后开始与摆球一起运动的速率为 (A) 2 m/s ． (B) 4 m/s ． (C) 7 m/s ． (D) 8 m/s ．【提示】相对于摆线顶部所在点，系统的角动量守恒：2sin30()mv l M m lV ︒=+；其中m 为子弹质量，M 为摆球质量，l 为摆线长度。

［ C ］4．（附录E 考研模拟题2）体重、身高相同的甲乙两人，分别用双手握住跨过无摩擦轻滑轮的绳子各一端．他们从同一高度由初速为零向上爬，经过一定时间，甲相对绳子的速率是乙相对绳子速率的两倍，则到达顶点的情况是 (A)甲先到达． (B)乙先到达．(C)同时到达． (D)谁先到达不能确定．【提示】以地面为参考系，系统的合外力矩为零，所以系统的角动量守恒：0Rmv Rmv v v =-=甲地乙地甲地乙地，所以对对对对 ，因此，从地面观察，两人永远同一高度。

图3-15图3-16二、填空题5. （基础训练7）设作用在质量为1 kg 的物体上的力F ＝6t ＋3（SI ）．如果物体在这一力的作用下，由静止开始沿直线运动，在0到2.0 s 的时间间隔内，这个力作用在物体上的冲量大小Ｉ＝18N s ⋅．【提示】2222(63)(33)18I Fdt t dt t t N s ==+=+=⋅⎰⎰6．（基础训练8）静水中停泊着两只质量皆为0m 的小船．第一只船在左边，其上站一质量为m 的人，该人以水平向右速度v从第一只船上跳到其右边的第二只船上，然后又以同样的速率v 水平向左地跳回到第一只船上．此后 (1) 第一只船运动的速度为v1＝02m v m m -+ 。

(2) 第二只船运动的速度为v 2＝02m v m。

（水的阻力不计，所有速度都相对地面而言）【提示】以地面为参考系，系统水平方向动量守恒。

第一跳 010mv m v '+= 02()mv m m v '=+第二跳 0101()mv m v m m v '-+=+ 0202()m m v mv m v '+=-+7．（基础训练12）两个滑冰运动员的质量各为70 kg ，均以6.5 m/s 的速率沿相反的方向滑行，滑行路线间的垂直距离为10 m ，当彼此交错时，各抓住一10 m 长的绳索的一端，然后相对旋转，则抓住绳索之后各自对绳中心的角动量L ＝s kgm /22752；它们各自收拢绳索，到绳长为5 m 时，各自的速率v ’＝s m /13。

【提示】绳子的长度l =10m ，（1）21070 6.52275/22l L mv kgm s ==⨯⨯=（2）取交错时中点为原点O 。

系统对O 点的角动量守恒：22 213/24l l mv mv v v m s ⨯=⨯∴=='，'8．（自测提高6） 质量为m 的小球自高为y 0处沿水平方向以速率v 0抛出，与地面碰撞后跳起的最大高度为21y 0，水平速率为1v 0，如图3-19所示。

(1) (2)地面对小球的水平冲量的大小为012mv ． 【提示】小球在与地面碰撞前后，动量发生了改变，根据动量定理：21I mv mv =-，此式在竖直方向和水平方向的分量式分别为：21((1y y y I mv mv =-==02100122x x xv I mv mv m mv mv =-=-=-故它们的大小分别为：(1y I =+ 012x I m v =y 21y 图3-199（自测提高9）如图3-20所示，质量为m 的小球，自距离斜面高度为h 处自由下落到倾角为30°的光滑固定斜面上。

设碰撞是完全弹性的，则小球对斜面的冲量的大小为，方向为垂直斜面向下。

【提示】小球碰撞前后的速度如图所示。

因为是完全弹性碰撞，所以21v v v ===根据动量定理，碰撞过程中斜面对小球的冲量为21I mv mv =-2cos30I mv =︒=方向垂直斜面向上。

小球对斜面的冲量 I I '=-10．（附录B 期终模拟题8） 湖面上有一小船静止不动，船上有一打渔人质量为60kg ，如果他在船上向船头走了4.0m ，但相对于湖底只移动了3.0m(水对船的阻力略去不计)，则小船的质量为180kg 。

【提示】以人和船为系统，以湖底为参考系。

根据质心运动定理，因为水平方向外力为零，故当打渔人在船上走动时，系统质心的位置不变。

''mx MX mx MX m M m M++=++，M X m x -∆=∆，()433M m ⨯-=⨯，180M kg ∴=三、计算题 11．（基础训练13）一质点的运动轨迹如图3-14所示．已知质点的质量为20 g ，在A 、B 二位置处的速率都为20 m/s ，A v与x 轴成45°角，B v垂直于y 轴，求质点由A 点到B 点这段时间内，作用在质点上外力的总冲量．解：根据动量定理，21t B A t I Fdt mv mv ==-⎰()320102020i j -⎡⎤⎫=⨯--+⎢⎥⎪⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦0.2(2(.)i N s =--（说明：也可以求出总冲量的大小和方向。

） 12．（基础训练14）一炮弹发射后在其运行轨道上的最高点h ＝19.6 m 处炸裂成质量相等的两块．其中一块在爆炸后1秒钟落到爆炸点正下方的地面上．设此处与发射点的距离S 1＝1000 m ，问另一块落地点与发射地点间的距离是多少？（空气阻力不计，g ＝9.8 m/s 2）解：① 取水平方向为x 轴，竖直方向为y 轴，且向上为正方向。

在最高点爆炸时，系统的动量守恒。

设爆炸前的速度为x v v i =；爆炸后，第一块落在其正下方的地面上，设其速度为11y v v j = ，第二块的速度为222x y v v i v j =+，则根据动量守恒，得图3-20图 3-14121122mv mv mv =+其x 方向和y 方向的分量式为x v v x m m =212 （1） 0v v y m m =+1y 21122（2）为了求出v x 2和v y 2，必须先求出v x 和1v y 。

② 式（1）中的x v 可根据S 1和h 求得。

设炮弹从发射到最高点经历的时间为t ，则有 S 1 = v x t h=221gt 联立上述两式，得t =2 s , v x =500 m/s 。

式（2）中的v 1y 可根据第一块的落地时间1t s '=和h 求得2t g t h '+'=211v 可解得v 1＝14.7 m/s ，方向竖直向下。

所以v 1y ＝－14.7 m/s ；③将v x 和1v y 代入式（1）和（2）： 由式（1）得：v 2x =2v x =1000 m/s ；由式（2）得v 2y = -v 1y =14.7 m/s 。

④设第二块从爆炸到落地需要t 2的时间，根据公式x 2= S 1 +v 2x t 2 （3） y 2=h +v 2y t 2-22gt 21 （4） 落地时y2 =0，由式（4）可得 t 2 =4 s , t 2＝-1 s （舍去）， 将t 2=4s 代入式（3），可求得 x 2＝5000 ｍ13．（自测提高14）一质量为m 的匀质链条，长为L ，手持其上端，使下端离桌面的高度为h 。

现使链条自静止释放落于桌面，试计算链条落到桌面上的长度为l 时，桌面对链条的作用力。

解：取x 轴向下为正， 设t 时刻，落在桌面上的部分链条长为l ，质量为l m ，则有l m m l l Lλ==（mL λ=为链条的质量线密度）桌面对这部分链条的作用力为1 l F m g i =-；此时在空中的链条的速度大小为：v =在dt 时间内,有dm vdt λ=链条元落在桌面上。

设桌面对链条元的作用力为2F，对链条元应用动量定理，得()200 F dt dm v vdt v i λ=-⋅=-x22 vdt F v i v i dtλλ=-=-所以，桌面对链条的作用力为()1232 m l h g F F F i L+=+=-负号表示方向向上。

附加题： 14．（自测提高13）有一水平运动的皮带将砂子从一处运到另一处，砂子经一竖直的静止漏斗落到皮带上，皮带以恒定的速率v 水平地运动．忽略机件各部位的摩擦及皮带另一端的其它影响，试问：(1) 若每秒有质量为q m =d M /d t 的砂子落到皮带上，要维持皮带以恒定速率v 运动，需要多大的功率？(2) 若q m =20 kg/s ，v ＝1.5 m/s ，水平牵引力多大？所需功率多大？解：(1) d t 时间内，有d M=q m d t 的砂子落到皮带上，速率为v ，根据动量定理，皮带作用在砂子上的力F的冲量为：d d v d 0d v F t M M M =-⋅=⋅ ∴ d d m M F q t==⋅v v 由牛顿第三定律，砂子对皮带的作用力'F F =-．由于皮带匀速运动，所需的水平牵引力为'''F F F =-= ，因此，所需供给的功率为：2''m m P F F q q =⋅=⋅=⋅=v v v v v(2) 当q m ＝d M/d t = 20 kg/s ，v ＝1.5 m/s 时，水平牵引力大小为 F "＝v q m =30 N 所需功率为 P= v 2q m = 45 W。