第一章非线性动力学分析方法(6学时）一、教学目标1、理解动力系统、相空间、稳定性得概念;2、掌握线性稳定性得分析方法;ﻩ3、掌握奇点得分类及判别条件;ﻩ4、理解结构稳定性及分支现象;5、能分析简单动力系统得奇点类型及分支现象.二、教学重点1、线性稳定性得分析方法；ﻩ２、奇点得判别。

三、教学难点ﻩ线性稳定性得分析方法四、教学方法讲授并适当运用课件辅助教学五、教学建议ﻩ学习本章内容之前，学生要复习常微分方程得内容。

六、教学过程本章只介绍一些非常初步得动力学分析方法，但这些方法在应用上就是十分有效得。

1、1相空间与稳定性ﻩ一、动力系统在物理学中,首先根据我们面对要解决得问题划定系统，即系统由哪些要素组成。

再根据研究对象与研究目得，按一定原则从众多得要素中选出最本质要素作为状态变量。

然后再根据一些原理或定律建立控制这些状态变量得微分方程,这些微分方程构成得方程组通常称为动力系统。

研究这些微分方程得解及其稳定性以及其她性质得学问称为动力学.假定一个系统由n个状态变量，,…来描述。

有时,每个状态变量不但就是时间t得函数而且也就是空间位置得函数。

如果状态变量与时空变量都有关,那么控制它们变化得方程组称为偏微分方程组.这里假定状态变量只与时间t有关，即X＝X i（t),则控制它们ｉ得方程组为常微分方程组。

ﻩﻩﻩﻩﻩ（１。

1．1)…其中代表某一控制参数.对于较复杂得问题来说，(i＝l，2，…n)一般就是得非线性函数，这时方程（1．1.1）就称为非线性动力系统。

由于不明显地依赖时间ｔ，故称方程组（1。

1．１)为自治动力系统。

若明显地依赖时间t，则称方程组（1、１、1）为非自治动力系统.非自治动力系统可化为自治动力系统.对于非自治动力系统，总可以化成自治动力系统。

例如：令,,上式化为上式则就是一个三维自治动力系统。

又如:令,则化为它就就是三微自治动力系统、对于常微分方程来说,只要给定初始条件方程就能求解。

对于偏微分方程,不但要给定初始条件而且还要给定边界条件方程才能求解。

能严格求出解析解得非线性微分方程组就是极少得,大多数只能求数值解或近似解析解。

二、相空间,X2,…Ｘn）描述得系统，可以用这n个状态变量为坐标轴支由n个状态变量＝(Ｘ１起一个n维空间，这个n维空间就称为系统得相空间。

在ｔ时刻，每个状态变量都有一个确定得值，这些值决定了相空间得一个点，这个点称为系统状态得代表点(相点），即它代表了系统t时刻得状态。

随着时间得流逝,代表点在相空间划出一条曲线，这样曲线称为相轨道或轨线.它代表了系统状态得演化过程。

三、稳定性把方程组（1。

1．1)简写如下，ｉ＝l，2,…n (1.1.2)设方程组（1。

1.2)在初始条件下得解为，如果用与原来略有差别得初始条件,就是一个小扰动,就会得到方程组得新解。

如果对于任意给定得〉0,存在＞0,并且，当时也满足,ｉ=l,2,…n ﻩﻩﻩﻩﻩ（1．1.3）则称方程组（1．１.2)得解就是稳定得，否则它就就是不稳定得.这样定义得稳定性称为Ｌｙaｐunov稳定性。

如果就是稳定得，并且满足极限条件,i=l，2,…ｎﻩﻩﻩﻩﻩ（１.１.4）则称就是惭近稳定得。

上述抽象得数学定义可以直观理解为：方程组(1、２)对于不同得初始条件有不同得解,如果原初始条件与受扰动后得初始条件之差限定在一定得范围内，即,未扰动解与扰动解之差也不超出一定得范围，即，则末扰动解就就是稳定得；如果渐渐趋近于，最终变得与一致,则称就是渐近稳定得;如果与之差不存在一个有限范围,即远离，则称就是不稳定得。

由上述Ｌyapunｏｖ稳定性得定义可以瞧到,要对动力系统得解得稳定性做出判断,必须对动力学方程组求解，然而对于非线性动力系统就是很难获得解析解得，即使获得近似解析解也就是如此。

那么，我们能否象最小熵产生原理那样,不用对方程组具体求解就能对系统得稳定性作出判断。

Ｌyａpunov发展了这种判断方法，通常称为Lyapuｎo ｖ第二方法。

这种方法主要就是寻找(或构造）一个Lyａｐunov函数，利用这个函数得性质对系统得稳定性作出判断.１、2线性稳定性分析通过上节对稳定性得定义我们知道,要对非线性微分方程组得解得稳定性作出判断，最好就是求出它得解析解。

然而,对于大多数非线性微分方程组很难得到它们得解析解，甚至求近似解析解都就是不可能得。

虽然Ｌyapunov方法避开了这一困难，但寻找一个Lyapｕnov函数仍存在着相当得困难.那么我们能否不去对非线性方程组去求解,而采取一种既简单又有效得方法对非线性方程组定态解得稳定性作出定性得判断.这样得方法就是存在得,那就就是线性稳定性分析方法.它得主要思想就是,在非线性微分方程组定态解得小邻域，把非线性微分方程组线性化，用线性微分方程组来研究定态解对小扰动得稳定性。

因为线性微分方程组就是容易求解得，而且在定态解得小邻域，用线性微分方程组近似取代非线性微分方程组就是合理，所以线性稳定性分析方法既简单又有效，就是一种常用得稳定性分析方法。

首先通过一个简单得例子来了解线性稳定性分析得思路。

设有一非线性微分方程ﻩﻩﻩﻩ（1.2.1)在定态X，，有０ﻩﻩﻩﻩ(1.２.2）由此得到定态解ﻩ,ﻩﻩﻩ(1．2。

3)设就是定态附近得小扰动,即ﻩ(１。

2．4）ﻩﻩﻩﻩﻩ（１．2．5)把方程（１.2。

4)代入方程（1、2、1），有ﻩﻩﻩﻩﻩﻩﻩﻩ(1。

2．6）ﻩﻩ考虑到定态方程（1.2.2），并忽略小扰动得二次项,得ﻩﻩ（1.2.7)其中ﻩﻩﻩﻩﻩﻩﻩﻩ（1。

2。

8)就是线性化系数.方程（１．2．7)就是非线性方程（１、2、1）得线性化方程,容易求出它得解为ﻩ其中就是初始扰动。

讨论：定态解得稳定性取决于得符号。

（1）如果〈０，定态解附近得扰动会随时间指数衰减，最后回到该定态,说明这个定态就是稳定得;(2)如果〉0，定态附近得扰动会随时间指数增加，最后离开这个定态，表明该定态就是不稳定得。

对于定态，，就是稳定得；对于定态，，就是不稳定得。

图１、1 方程(1.２.2）得定态解得稳定性我们可以很容易求得方程（1．２.１)得精确解析解（为一双曲函数），ﻩﻩﻩﻩﻩ (１．2．９）对于不同得初始条件，可以得到一系列得曲线,它们随时间得演化行为如图1、1所示,曲线族趋于X0１=1,离开Ｘ０2=－１。

这证明我们采用线化方程得到得定性结论就是正确得。

上述例子虽然简单，但具有一般性，数学家对此作了证明,并形成线性稳定性定理.设有非线性方程组, ﻩﻩﻩ（１。

2．１0）并设就是定态解附近得小扰动，即，ﻩﻩﻩﻩﻩﻩﻩ（１。

２。

1１）非线性方程组(１。

２.10)在定态解附近得线性化方程为ﻩﻩﻩﻩ（1。

2.12)定理如果线性化方程组(1。

２.12)得零解(）就是渐近稳定得，则非线性方程组（1、2、10）得定态解也就是渐近稳定得；如果零解就是不稳定得，则定态解也就是不稳定得。

线性稳定性定理保证了利用线性得方法来研究非线性方程定态解稳定性得有效性。

利用线性稳定性定理来研究非线性方程定态解稳定性得过程称为线性稳定性分析。

这种分析方法在处理实际问题中经常被用到。

值得提及得就是，线性稳定性定理只就是对线性化方程得零解就是渐近稳定得或就是不稳定得情形给出了结论,而对于零解就是Ｌya ｐunｏｖ稳定得并不就是浙近稳定得情形没有给出任何信息。

这在下节会给予讨论。

1、3奇点分类与极限环现在我们考虑只有两个状态变量(X，Y）得非线性动力系统,即ﻩﻩﻩﻩﻩﻩﻩﻩﻩ(1。

3。

1)现在相空间变为分别以X与Y为坐标轴得二维相平面.如果方程（1。

3。

1）得解存在且唯一,那么它得解在相平面上就表现为一条线。

轨线得斜率就是ﻩﻩﻩﻩﻩ(1。

3．2）只要与不同时为零且连续可微，轨线得斜率就就是唯一得，它意味着轨线不相交。

如果轨线在相平面中某一点相交，则这一点得斜率就不就是唯一得。

换句话说，数学上得解得存在与唯一性定理要求相空间中得轨线不能相交。

如果与同时为零,即ﻩﻩﻩﻩﻩﻩ（１．3.3）则有ﻩﻩﻩﻩﻩﻩﻩﻩﻩﻩﻩﻩ（1．3。

4)这表明轨线得斜率不唯一。

我们把在相平面中使与同时等于零得点称为奇点。

在相平面上除奇点之外得所有其她点都叫做正则点。

根据方程(1.3。

３）我们知道，奇点就就是非线性方程组（１、３、１)得定态解。

因此,我们通过研究相空间中奇点得稳定性就可以知道定态解得稳定性.只要我们弄清楚奇点附近轨线得分布及其流向,就能对奇点得稳定性作出判断。

为此我们设x（t）与y(ｔ）就是奇点附近得小扰动，即ﻩﻩﻩﻩﻩ（１。

３。

５），把非线性方程组(1。

3.1)得右边在奇点附近按Tａytor级数展开,并保留线性项，有,ﻩ（1。

3。

６）根据定态方程(1.3.3),方程(１、3、６)式变为ﻩ，ﻩﻩﻩﻩﻩ（1.3。

7)其中, ﻩ（1.3．8）下标0表示在定态取值.方程(1。

3。

７)可以方便地写为矩阵形式ﻩﻩﻩﻩﻩﻩﻩ（1。

３。

9）由方程（1.3.9）得线性结构，它允许有如下得形式解，ﻩﻩﻩﻩﻩﻩﻩﻩ（１．3．１０）这样得解称为简正模。

把方程（1.3。

10）代入(1、3、9）可以得到对()为一阶得齐次代数方程组ﻩﻩﻩﻩﻩﻩﻩ(1．3。

１１) 这个方程组具有非零解得条件为ﻩﻩﻩ(1．3．12) 即ﻩﻩﻩﻩﻩﻩﻩ（１。

3。

１3）其中，ﻩﻩﻩﻩﻩﻩ（1．３．14) 方程（1。

3.13)称为线性化方程组（1、3、９)得特征方程,称为线性化方程组得特征值。

特征方程（１.3。

1３)就是一个一元二次方程，它允许有两个不同得特征根与,即ﻩﻩﻩﻩﻩ（１．3.１5）这时线性化方程组（1.3.9）有两组如下形式得线性无关解ﻩﻩ，,ﻩﻩﻩﻩﻩ(1.３．１6）其中与分别就是方程组（1。

3.１1）系数矩阵（)得特征值与对应得特征向量.这样,线性化方程组（1、3、９）得一般解应就是两个线性无关解得线性组合，即ﻩﻩﻩﻩﻩ(1．3。

17) 其中与由初始条件确定。

从方程（1．3。

1５）可以瞧到，特征值（ｉ=1，２）可能为复数，而奇点（Ｘ0，Y0）得稳定性只取决于特征值实部得符号。

由此可以根据方程（1、3、１7）直观地得到如下稳定性判据:（ａ)如果两个（i=l,2),则奇点（X0,Ｙ0)就是渐近稳定得;(b)如果至少有一个（=１或２),则奇点(Ｘ0，Y0）就是不稳定得；（ｃ）如果至少有一个(=1或2)，而另一个(=２或１）,则奇点（X0,Y0）就是Lya ｐuｎｏｖ稳定得,而不就是渐近稳定得。

我们称这种情况为临界稳定性。

所谓奇点就就是行为异常得点。

虽然这样得点在相空间得分布就是极为稀少得，但它们却就是人们关注得热点。

通常按奇点得性质把它分为四类：结点；鞍点；焦点；中心点。

现在分别对它们加以介绍。

（１）结点当与时，对应得奇点称为结点。

此时两个特征根不但都就是实得,而且同号（，），即与T同号也与T同号因此，可以根据T得符号来判断结点得稳定性:T<0,渐近稳定结点T＞0,不稳定结点例若线性化方程（1。