《重叠问题》教学案例衡东城关三小刘丽华【教学内容】人教版小学数学三年级下册第九单元108页【教学目标】1.让学生经历集合图的产生过程，能借助直观图，利用集合的思想方法解决简单的实际问题，体验解决问题策略的多样性。
2.使学生在解决实际问题的过程中体会集合的思想方法。
3.培养学生善于观察、善于思考，养成良好的学习习惯。
【教具、学具准备】课件、皮圈、20个磁片、11同样大小的长方形、两个板书圈【教学过程】一.游戏渗透，初步感知课前谈话：刘老师知道咱班的同学很聪明，特别是学数学善于观察，还善于发现问题和解决问题，并且还有数学小天才呢！想展示一下你们的聪明才智吗？好，请看智力游戏：（课件出示游戏一）两块磁片放入两个圈，每个圈内必须有一块磁片。
指名置黑板演示。
师：简单吧，再来一个。
（课件出示游戏二）4块磁片放入两个圈中，每个圈内必须有2块磁片。
指名置黑板演示。
师：摆对了吗？看来难不住你们，再来个难一点的，（课件出示游戏三）3块磁片放入两个圈中，每个圈内必须有2块磁片。
请一个学生上台演示。
师：大家觉的他摆的符合游戏要求吗？生：符合。
一共3片磁片，黄圈内有2块磁片，红圈内也有2块磁片。
师：他摆的好，你也说的很好！他是怎样实现3块磁片放入两个圈中，每个圈内都有2块磁片的？（想了什么办法？仔细观察两个圈是怎么摆的？）生：交叉重叠放的。
师：（竖起大拇指）你真是太聪明了，老师想采访你一个问题，你为什么要这样摆？生：这样摆的话，中间重叠部分里的磁片，既可以看作是黄圈里的，又可以看作是红圈里的。
师：说的棒极了！他用了一个很重要的关联词“既……又……”像这样的两个圈交叉重叠，重叠部分的数量既属于其中的一个圈，又属于另一个圈，在数每个圈内的数量时，重叠部分被数了两次，而实际只有一次的数量，这种现象，数学里叫重叠问题，今天我们就来研究重叠问题。
（板书课题：重叠问题）评析：简短的智力小游戏不仅把学生领进了一个轻松愉悦的学习时空，同时为韦恩图的探索埋下了很好的伏笔，有效的促进了知识的正迁移。
（圆圈就代表着集合圈，磁片就代表着集合圈中的元素）二.创设情境，引发冲突1、出示通知。
师：时间过的很快，七一党的生日马上就要到了，让我们一起来看一下，光明小学准备怎样庆祝党的生日。
（课件出示通知）师：根据学校的通知要求，每个班一共要选多少人参加这两项比赛？生：（齐）11人！师：怎么算的？生：5+6＝11(人)。
（板书算式5+6＝11(人)）师：你们同意这种做法吗？生：同意。
师（稍顿）：真同意？生：同意！2、查看原始数据，引发冲突。
师：果真是这样吗？（在算式后打问号）请看我从三（１）班记录的参加比赛的学生名单（课件出示两组学生名单），左边这几个同学就是参加书法比赛的那5个人，右边这几个同学就是参加绘画比赛的那6个人。
书法比赛 绘画比赛通 知为迎接党的生日，学校定于6月29日、30日下午分别举行书法、绘画比赛。
要求：每班选5名同学参加书法比赛，6名同学参加绘画比赛。
光明小学教导处2010年6月18日师：请仔细观察这份参赛的学生名单，参赛的总人数是11人吗？生：错了。
师：怎么会错了呢？再仔细看看，谁来说说？生：有重复的。
师：你这里的“重复”是什么意思？生1：有的同学参加了两项比赛。
生2：有的同学既参加了书法比赛又参加了绘画比赛。
师：谁重复了？有几个人重复了？生：曹帆和周晓晓两个人重复了。
师：因为有重复的，如果还是直接用5+6怎么样？生：不行了，那样的话曹帆和周晓晓就算了2次了。
评析：北宋张载曾说：“有不知，则有知；无不知，则无知。
”“于无疑处有疑，方是进矣。
”这启迪我们，激起学生内心的疑问是引发学生主动求知的动力源泉。
当教师问学生“每个班一共要选多少人参加这两项比赛？”的问题时，学生异口同声地作出了回答，声音响亮、语气肯定。
“果真是这样吗？”，随着教师轻轻的一句反问，加上“学生名单”的适时呈现，学生的头脑里跃出一个大大的问号——过去求总数就是直接把各部分的数量加起来的呀，怎么在这里行不通了呢？新情况出现了，遇到新问题了，于是研究“重叠问题”变成了学生源自内心的学习需求。
三.合作探究，整理成图师：刚才，我们通过仔细地查看三（1）班参赛的学生名单，发现有2个同学重复了，但是从这份名单中你能一下子就看出是哪2个人重复了吗？（生流露出困难的神情）有难度是吧？师：看来我这样记录不够清楚，大家想想办法，怎样重新设计一下这份名单能让我们看得更清楚一些?（课件出示要求:既要能让人很清楚地看出参加书法比赛的是哪5个人，参加绘画比赛的是哪6个人，又要能让人很明显地看出两项比赛都参加的是哪两个人。
）请同学们思考一下（约10秒钟后），大家现在有办法了吗？先不急着说，请把你想到的方法在练习纸上表示出来，行吗？你可以自己画，如果感觉有些困难也可以和你小组内的同学合作完成。
2、学生探究画法，师巡视，从中找出有代表性的作品准备交流。
3、展示交流。
师：我发现咱们班同学的画法很有创意，我从中选了几份，咱们共同来分享一下。
我们不让画图的同学自己介绍，只把他们画的图让大家看，我觉得，不用自己介绍就能让别人看懂的方法那才是好方法。
评析：这个过程中，我们被教师的语言魅力所感染。
没有声嘶力竭的叫喊，没有故作惊人的造作，没有无病装病的呻吟，教师说得随意，学生听得轻松，教师问得精彩，学生答得从容。
如“刚才，我们通过仔细地查看三（1）班参赛的学生名单，发现有2个同学重复了，但是从这份名单中你能一下子就看出是哪2个人重复了吗？”“你可以自己画，如果感觉有些困难也可以和你小组内的同学合作完成。
”“我们不让画图的同学自己介绍，只把他们画的图让大家看，我觉得，不用自己介绍就能让别人看懂的方法那才是好方法。
”随处可见教师语言功底，如清风徐来，波澜不惊。
师（作品1）：我们来看这位同学的方法，他这样画的意思谁看懂了?书法比赛绘画比赛生：他把曹帆和周晓晓都放在前面了，我们就能看出是他们俩重复了。
师：那你觉得这种画法比刚才我的画法怎么样？生：这样能更清楚地看出谁重复了。
师（作品2如下图）：我们再来看这位同学的方法，他这样表示你们觉得怎么样？书法比赛绘画比赛生：他把重复的同学圈出来了，比刚才的方法更清楚。
师（作品3如下图）：我们再来看这位同学的表示方法，大家觉得怎么样？书法比赛绘画比赛生1：我觉得这种方法很好。
能一下子就看出重复参加两项比赛的同学是曹帆和周晓晓。
生2:而且重复的两个同学他只写了一次。
师：他把参加两项比赛的同学单独放到一个圈里，更清楚了。
而且重复的两个同学他只写了一遍，比刚才两边都要写的方法更简便了。
可是参加书法比赛的是几个人？生：5个人。
师：那为什么圈中只有3个人呀？生：下面那个圈内还有两个同学是两项比赛都参加的，所以他们也是参加书法小组的，加起来就是5个了。
师：把参加书法比赛和参加绘画比赛的同学都分到了两个圈里，你觉得这样表示怎么样？清楚吗？生：我觉得还是放在一个圈里比较清楚。
师：大家觉得呢？生齐：放在一个圈里更清楚。
师：那我们能不能把这种方法改进一下？让参加书法比赛和参加绘画比赛的同学还在一个圈里呢？（学生思考）师请作品3的作者把参加书法比赛的那5个同学用一个圈圈出来，再把参加绘画比赛的那6个同学圈出来，此时出现了不规则的韦恩图“雏形”。
书法比赛绘画比赛陈名王东王强单奇刘玲朱宇李丽曹帆周晓晓师：你们觉得这样表示怎么样？生1：这样表示很清楚。
生2：我觉得这种方法很好，能一下子就看出参加书法比赛和参加绘画比赛的各是哪些人，还能很清楚地看出两项比赛都参加的是哪两个人。
4、揭示韦恩图。
师：同学们的表现这么精彩，让我不禁想起了一个人，他就是英国的逻辑学家韦恩，在100多年以前，他第一个想到了这样的图，因此这种图就以他的名字命名叫韦恩图（课件出示韦恩图）。
你们真了不起，要是你们比韦恩早出生，或许是用你的名字命名呢！太不简单了，掌声表扬自己。
5、整理画法，完成板书。
师:下面我们把同学们创造出来的韦恩图搬到黑板上来。
用一个圈来表示参加书法比赛的同学，再用一个圈来表示参加绘画比赛的同学（师边说边用红笔和蓝笔画了两个交叉的椭圆），还是两个圈，不同的是这两个圈不是分开的，而是有一部分重叠在一块的，利用两个圈重叠的这一部分我们恰好可以用来表示什么？生：既参加书法比赛又参加绘画比赛的。
师：有几个人？是谁？生：曹帆和周晓晓。
（板书：既……又……）（师贴两个小长方形表示人名）。
评析：教师没有板书学生的姓名，而是用小长方形代替，向学生渗透了符号思想，也为日后进一步优化韦恩图（直接用数字表示）起了重要的“桥梁”作用。
师：我们只把参加两项比赛的同学写了一遍，但是参加书法比赛的圈里有了吗？参加绘画比赛的圈里有了吗？这可真是一举——（生答）两得！师：参加书法比赛的除了曹帆和周晓晓。
还有几个人？（生：3个人。
）应该写在哪里？生：左边。
师：（在左边月牙形里画3个小长方形）同是参加书法比赛的5个同学，这3个人与这2个人有什么不同？生：这3个同学是只参加书法比赛的。
这两个人不但参加了书法比赛，还参加了绘画比赛。
（板书：只……没……）师：那右边月牙形的这一部分表示什么？生：只参加绘画比赛的。
（板书：只……没……）师：有几个人？生：4 个。
师：（在右边月牙形里画4个小长方形）同学们请看，我们只用了简单的两个圈，就清楚地表示出了这么多的信息，韦恩图好不好？韦恩的发明简单不简单？原来发明创造就这么简单！你们可以吗？其实我们每个人都可以有自己的创造！评析：寥寥数语让学生更进一步体会到简单之美！创造之美！数学之美！使学生相信“我们每个人都可以有自己的创造！”从而激发起学生强烈的创造意识！6、深化对韦恩图的认识。
师：对于韦恩图各部分表示的意思你都明白吗？请同桌两个同学互相说一说。
（学生同伴互说）四.数形结合，算法多样师：现在，你能不能根据韦恩图列算式来解决三（１）班一共有多少人参加了这两项比赛？整理算法：生1：5＋6－2＝9（人）生2：3＋2＋4＝9（人）生3：5－2＋6＝9（人）生4：6－2＋5＝9（人）师：现在我们能用这么多的方法算出三（1）班参加比赛的一共是9个人，是谁帮了我们的大忙啊？生：韦恩图。
师：韦恩图确实好吧？评析：荷兰数学家弗赖登塔尔说过：“学习数学的唯一正确方法是实行再创造，也就是由学生把本人要学习的东西自己去发现或创造出来，教师的任务是引导和帮助学生去进行这种再创造工作，而不是把现成的知识灌输给学生。
”此话虽有“矫枉过正”之嫌（把“再创造”视为学习数学的唯一正确方法），但他所推崇的“再创造”学习法确实有独特的教育价值。
课堂上，教师先明确提出了要达成的学习目标——创造一种新的记录两组学生名单的方法，使其充分体现出重叠问题中信息的特殊性。
尽管学生无法在一节课内“创造”出与前辈数学家同样的韦恩图，但他们对“重叠问题”的理解会因为自己的“创造”而变得更加深刻、丰富、灵动。