第二章 数 列§2.1 数列的概念与简单表示法(一)一、基础过关1．数列23，45，67，89，…的第10项是( )A.1617B.1819C.2021 D.2223 2．数列{n 2＋n }中的项不能是( )A ．380B ．342C ．321D ．306 3．数列1,3,6,10，…的一个通项公式是( )A ．a n ＝n 2－n ＋1B ．a n ＝n (n －1)2C ．a n ＝n (n ＋1)2D ．a n ＝n 2＋14．已知数列12，23，34，45，…，那么0.94,0.96,0.98,0.99中属于该数列中某一项值的应当有( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个5．在数列2，2，x,22，10，23，…中，x ＝______. 6．用火柴棒按下图的方法搭三角形：按图示的规律搭下去，则所用火柴棒数a n 与所搭三角形的个数n 之间的关系式可以是 ____________．7．写出下列数列的一个通项公式：(可以不写过程) (1)3,5,9,17,33，…； (2)23，415，635，863，…； (3)1,0，－13，0，15，0，－17，0，….8．已知数列{n (n ＋2)}：(1)写出这个数列的第8项和第20项；(2)323是不是这个数列中的项？如果是，是第几项？ 二、能力提升9．数列0.3,0.33,0.333,0.333 3，…的一个通项公式a n 等于( )A.19(10n －1) B.13(10n －1) C.13(1－110n )D.310(10n －1) 10．设a n ＝1n ＋1＋1n ＋2＋1n ＋3＋…＋12n (n ∈N *)，那么a n ＋1－a n 等于( )A.12n ＋1B.12n ＋2C.12n ＋1＋12n ＋2D.12n ＋1－12n ＋211．由花盆摆成以下图案，根据摆放规律，可得第5个图形中的花盆数为________．12．在数列{a n }中，a 1＝2，a 17＝66，通项公式a n 是n 的一次函数．(1)求{a n }的通项公式； (2)88是否是数列{a n }中的项？ 三、探究与拓展13．已知数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫9n 2－9n ＋29n 2－1： (1)求这个数列的第10项；(2)98101是不是该数列中的项，为什么？ (3)求证：数列中的各项都在区间(0,1)内；(4)在区间⎝⎛⎭⎫13，23内有无数列中的项？若有，有几项？若没有，说明理由．答案1．C 2.C 3.C 4.C 5.6 6．a n ＝2n ＋1 7．解 (1)a n ＝2n ＋1. (2)a n ＝2n(2n －1)(2n ＋1).(3)a n ＝sinn π2n.8．解 (1)a n ＝n (n ＋2)＝n 2＋2n ， ∴a 8＝80，a 20＝440.(2)由a n ＝n 2＋2n ＝323，解得n ＝17. ∴323是数列{n (n ＋2)}中的项，是第17项． 9．C 10.D 11.6112．解 (1)设a n ＝kn ＋b ，则⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＝k ＋b ＝2a 17＝17k ＋b ＝66解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝4b ＝－2. ∴a n ＝4n －2.(2)令a n ＝88，即4n －2＝88，解得n ＝22.5∉N *. ∴88不是数列{a n }中的项．13．(1)解 设f (n )＝9n 2－9n ＋29n 2－1＝(3n －1)(3n －2)(3n －1)(3n ＋1)＝3n －23n ＋1.令n ＝10，得第10项a 10＝f (10)＝2831. (2)解 令3n －23n ＋1＝98101，得9n ＝300.此方程无正整数解，所以98101不是该数列中的项．(3)证明 ∵a n ＝3n －23n ＋1＝1－33n ＋1，又n ∈N *，∴0<33n ＋1<1，∴0<a n <1.∴数列中的各项都在区间(0,1)内．(4)解 令13<a n ＝3n －23n ＋1<23，∴⎩⎪⎨⎪⎧3n ＋1<9n －69n －6<6n ＋2，∴⎩⎨⎧n >76n <83.∴当且仅当n ＝2时，上式成立，故区间⎝⎛⎭⎫13，23上有数列中的项，且只有一项为a 2＝47.§2.1 数列的概念与简单表示法(二)一、基础过关1．已知数列{a n }的首项为a 1＝1，且满足a n ＋1＝12a n ＋12n ，则此数列的第4项是( )A ．1B.12C.34D.582．数列{a n }中，a 1＝1，对所有的n ≥2，都有a 1·a 2·a 3·…·a n ＝n 2，则a 3＋a 5等于 ( ) A.259B.2516C.6116D.3115 3．若a 1＝1，a n ＋1＝a n3a n ＋1，则给出的数列{a n }的第7项是( )A.116B.117C.119D.1254．由1,3,5，…，2n －1，…构成数列{a n }，数列{b n }满足b 1＝2，当n ≥2时，b n ＝ab n －1，则b 6的值是( )A ．9B ．17C ．33D ．655．已知数列{a n }满足：a 1＝a 2＝1，a n ＋2＝a n ＋1＋a n ，n ∈N *，则使a n >100的n 的最小值是________．6．已知数列{a n }满足a 1＝－1，a n ＋1＝a n ＋1n (n ＋1)，n ∈N *，则通项公式a n ＝________.7．根据下列5个图形及相应点的个数的变化规律，试猜测第n 个图中有多少个点．8．已知函数f (x )＝2x －2－x ，数列{a n }满足f (log 2a n )＝－2n . (1)求数列{a n }的通项公式； (2)证明：数列{a n }是递减数列． 二、能力提升9．已知数列{a n }满足a n ＋1＝⎩⎨⎧2a n ⎝⎛⎭⎫0≤a n <12，2a n－1 ⎝⎛⎭⎫12≤a n<1.若a 1＝67，则a 2 012的值为( )A.67B.57C.37D.1710．已知a n ＝n －98n －99，则这个数列的前30项中最大项和最小项分别是( )A ．a 1，a 30B ．a 1，a 9C．a10，a9D．a10，a3011．已知数列{a n}满足：a n≤a n＋1，a n＝n2＋λn，n∈N*，则实数λ的最小值是________．12．已知数列{a n}满足a1＝12，a n a n－1＝a n－1－a n，求数列{a n}的通项公式．三、探究与拓展13．设{a n}是首项为1的正项数列，且(n＋1)a2n＋1－na2n＋a n＋1a n＝0(n＝1,2,3，…)，求{a n}的通项公式．答案1．B 2.C 3.C 4.C 5.12 6．－1n7．解 图(1)只有1个点，无分支；图(2)除中间1个点外，有两个分支，每个分支有1个点；图(3)除中间1个点外，有三个分支，每个分支有2个点；图(4)除中间1个点外，有四个分支，每个分支有3个点；…；猜测第n 个图中除中间一个点外，有n 个分支，每个分支有(n －1)个点，故第n 个图中点的个数为1＋n (n －1)＝n 2－n ＋1. 8．(1)解 因为f (x )＝2x －2－x ，f (log 2a n )＝－2n ， 所以2log 2 a n －2－log 2a n ＝－2n ，a n －1a n＝－2n ，所以a 2n ＋2na n －1＝0，解得a n ＝－n ±n 2＋1.因为a n >0，所以a n ＝n 2＋1－n .(2)证明 a n ＋1a n ＝(n ＋1)2＋1－(n ＋1)n 2＋1－n ＝n 2＋1＋n (n ＋1)2＋1＋(n ＋1)<1.又因为a n >0，所以a n ＋1<a n ， 所以数列{a n }是递减数列． 9．B 10.C 11.－312．解 ∵a n a n －1＝a n －1－a n ， ∴1a n －1a n －1＝1. ∴1a n ＝1a 1＋⎝⎛⎭⎫1a 2－1a 1＋⎝⎛⎭⎫1a 3－1a 2＋…＋⎝⎛⎭⎫1a n －1a n －1＝2＋ 1111个n +++＝n ＋1. ∴1a n ＝n ＋1，∴a n ＝1n ＋1. 13．解 ∵(n ＋1)a 2n ＋1－na 2n ＋a n a n ＋1＝0，∴[(n ＋1)a n ＋1－na n ]·(a n ＋1＋a n )＝0， ∵a n >0，∴a n ＋a n ＋1>0， ∴(n ＋1)a n ＋1－na n ＝0. (n ＋1)a n ＋1－na n ＝0，∴na n ＝(n －1)a n －1＝…＝1×a 1＝1， ∴na n ＝1，a n ＝1n .§2.2 等差数列(一)一、基础过关1．已知数列{a n }满足a 1＝2，a n ＋1－a n ＋1＝0，则数列的通项a n 等于( )A ．n 2＋1B ．n ＋1C ．1－nD ．3－n 2．等差数列20,17,14,11，…中第一个负数项是( )A ．第7项B ．第8项C ．第9项D ．第10项3．若5，x ，y ，z,21成等差数列，则x ＋y ＋z 的值为( )A ．26B ．29C ．39D ．52 4．{a n }是首项a 1＝1，公差d ＝3的等差数列，若a n ＝2 011，则n 等于( )A ．671B ．670C ．669D ．668 5．已知等差数列{a n }中，a 7＋a 9＝16，a 4＝1，则a 12的值是( )A ．15B ．30C ．31D ．646．已知a ＝13＋2，b ＝13－2，则a 、b 的等差中项是________． 7．等差数列{a n }中，已知a 1＝13，a 2＋a 5＝4，a n ＝33，求n 的值．8．某市出租车的计价标准为1.2元/km ，起步价为10元，即最初的4 km(不含4 km)计费10元．如果某人乘坐该市的出租车去往14 km 处的目的地，且一路畅通，等候时间为0，那么需要支付多少车费？ 二、能力提升9．一个首项为23，公差为整数的等差数列，第7项开始为负数，则它的公差是 ( ) A ．－2B ．－3C ．－4D ．－610．若m ≠n ，两个等差数列m 、a 1、a 2、n 与m 、b 1、b 2、b 3、n 的公差为d 1和d 2，则d 1d 2的值为________．11．一个等差数列{a n }中，a 1＝1，末项a n ＝100(n ≥3)，若公差为正整数，那么项数n 的取值有____种可能． 12．若1b ＋c ，1c ＋a ，1a ＋b是等差数列，求证：a 2，b 2，c 2成等差数列． 三、探究与拓展13．已知等差数列{a n }：3,7,11,15，….(1)135,4m ＋19(m ∈N *)是{a n }中的项吗？试说明理由．(2)若a p，a q(p，q∈N*)是数列{a n}中的项，则2a p＋3a q是数列{a n}中的项吗？并说明你的理由．答案1．D 2.B 3.C 4.A 5.A 6.3 7．解 由a n ＝23n －13＝33，解得n ＝50.8．解 根据题意，当该市出租车的行程大于或等于4 km 时，每增加1 km ，乘客需要支付1.2元．所以，可以建立一个等差数列{a n }来计算车费．令a 1＝11.2，表示4 km 处的车费，公差d ＝1.2，那么，当出租车行至14 km 处时，n ＝11，此时需要支付车费a 11＝11.2＋(11－1)×1.2＝23.2(元)． 即需要支付车费23.2元． 9．C 10.4311.512．证明 ∵1b ＋c ，1c ＋a ，1a ＋b 是等差数列，∴1b ＋c ＋1a ＋b ＝2c ＋a. ∴(a ＋b )(c ＋a )＋(b ＋c )(c ＋a )＝2(a ＋b )(b ＋c )， ∴(c ＋a )(a ＋c ＋2b )＝2(a ＋b )(b ＋c )，∴2ac ＋2ab ＋2bc ＋a 2＋c 2＝2ab ＋2ac ＋2bc ＋2b 2， ∴a 2＋c 2＝2b 2，∴a 2，b 2，c 2成等差数列． 13．解 a 1＝3，d ＝4，a n ＝a 1＋(n －1)d ＝4n －1. (1)令a n ＝4n －1＝135，∴n ＝34， ∴135是数列{a n }中的第34项．令a n ＝4n －1＝4m ＋19，则n ＝m ＋5∈N *. ∴4m ＋19是{a n }中的第m ＋5项． (2)∵a p ，a q 是{a n }中的项， ∴a p ＝4p －1，a q ＝4q －1.∴2a p ＋3a q ＝2(4p －1)＋3(4q －1)＝8p ＋12q －5＝4(2p ＋3q －1)－1∈N *， ∴2a p ＋3a q 是{a n }中的第2p ＋3q －1项．§2.2 等差数列(二)一、基础过关1．在等差数列{a n }中，若a 3＋a 4＋a 5＋a 6＋a 7＝450，则a 2＋a 8的值等于( )A ．45B ．75C ．180D ．3002．设{a n}是递增等差数列，前三项的和为12，前三项的积为48，则它的首项是() A．1 B．2 C．4 D．63．等差数列{a n}的公差d<0，且a2·a4＝12，a2＋a4＝8，则数列{a n}的通项公式是() A．a n＝2n－2 (n∈N*)B．a n＝2n＋4 (n∈N*)C．a n＝－2n＋12 (n∈N*)D．a n＝－2n＋10 (n∈N*)4．若a，b，c成等差数列，则二次函数y＝ax2－2bx＋c的图象与x轴的交点的个数为() A．0 B．1 C．2 D．1或25．设{a n}是公差为正数的等差数列，若a1＋a2＋a3＝15，a1a2a3＝80，则a11＋a12＋a13等于() A．120 B．105 C．90 D．756．在等差数列{a n}中，已知a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝20，那么a3＝________.7．在等差数列{a n}中，已知a m＝n，a n＝m，求a m＋n的值．8．成等差数列的四个数之和为26，第二个数与第三个数之积为40，求这四个数．二、能力提升9．一个等差数列的首项为a1＝1，末项a n＝41 (n≥3)且公差为整数，那么项数n的取值个数是() A．6 B．7C．8 D．不确定10．等差数列{a n}中，公差为12，且a1＋a3＋a5＋…＋a99＝60，则a2＋a4＋a6＋…＋a100＝______.11．已知方程(x2－2x＋m)(x2－2x＋n)＝0的四个根组成一个首项为14的等差数列，则|m－n|＝______.12．已知数列{a n}满足a1＝4，a n＝4－4a n－1(n≥2)，令b n＝1a n－2.(1)求证：数列{b n}是等差数列；(2)求数列{a n}的通项公式．三、探究与拓展13．已知数列{a n}满足a1＝15，且当n>1，n∈N*时，有a n－1a n＝2a n－1＋11－2a n，设b n＝1a n，n∈N*.(1)求证：数列{b n}为等差数列．(2)试问a1a2是否是数列{a n}中的项？如果是，是第几项；如果不是，请说明理由．答案1．C 2.B 3.D 4.D 5.B 6.4 7．解 设公差为d ，则d ＝a m －a n m －n ＝n －m m －n＝－1，从而a m ＋n ＝a m ＋(m ＋n －m )d ＝n ＋n ·(－1)＝0.8．解 设这四个数为a －3d ，a －d ，a ＋d ，a ＋3d ，则由题设得 ⎩⎪⎨⎪⎧(a －3d )＋(a －d )＋(a ＋d )＋(a ＋3d )＝26，(a －d )(a ＋d )＝40，∴⎩⎪⎨⎪⎧4a ＝26，a 2－d 2＝40. 解得⎩⎨⎧a ＝132，d ＝32或⎩⎨⎧a ＝132，d ＝－32.所以这四个数为2,5,8,11或11,8,5,2. 9．B 10.85 11.1212．(1)证明 ∵a n ＝4－4a n －1 (n ≥2)， ∴a n ＋1＝4－4a n (n ∈N *)．∴b n ＋1－b n ＝1a n ＋1－2－1a n －2＝12－4a n－1a n －2＝a n 2(a n －2)－1a n －2＝a n －22(a n －2)＝12.∴b n ＋1－b n ＝12，n ∈N *.∴{b n }是等差数列，首项为12，公差为12.(2)解 b 1＝1a 1－2＝12，d ＝12.∴b n ＝b 1＋(n －1)d ＝12＋12(n －1)＝n2.∴1a n －2＝n 2，∴a n ＝2＋2n .13．(1)证明 当n >1，n ∈N *时，a n －1a n ＝2a n －1＋11－2a n⇔1－2a n a n ＝2a n －1＋1a n －1⇔1a n －2＝2＋1a n －1⇔1a n －1a n －1＝4⇔b n －b n －1＝4，且b 1＝1a 1＝5.∴{b n }是等差数列，且公差为4，首项为5.(2)解 由(1)知b n ＝b 1＋(n －1)d ＝5＋4(n －1)＝4n ＋1. ∴a n ＝1b n ＝14n ＋1，n ∈N *.∴a 1＝15，a 2＝19，∴a 1a 2＝145.令a n ＝14n ＋1＝145，∴n ＝11.即a 1a 2＝a 11，∴a 1a 2是数列{a n }中的项，是第11项．§2.3 等差数列的前n 项和(一)一、基础过关1．设S n 为等差数列{a n }的前n 项和，若a 1＝1，公差d ＝2，S k ＋2－S k ＝24，则k 等于( ) A ．8 B ．7C ．6D ．52．设S n 是等差数列{a n }的前n 项和，已知a 2＝3，a 6＝11，则S 7等于( )A ．13B ．35C ．49D ．633．含2n ＋1项的等差数列，其奇数项的和与偶数项的和之比为 ( )A.2n ＋1nB.n ＋1nC.n －1nD.n ＋12n4．已知等差数列{a n }中，a 23＋a 28＋2a 3a 8＝9，且a n <0，则S 10为 ( )A ．－9B ．－11C ．－13D ．－155．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 3＝9，S 6＝36.则a 7＋a 8＋a 9等于( )A ．63B ．45C ．36D ．276．设S n 为等差数列{a n }的前n 项和，若S 3＝3，S 6＝24，则a 9＝________. 7．已知等差数列{a n }中，a 1＝1，a 3＝－3. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)若数列{a n }的前k 项和S k ＝－35，求k 的值．8．已知等差数列{a n }中，a 3a 7＝－16，a 4＋a 6＝0，求{a n }的前n 项和S n .二、能力提升9．一个等差数列的项数为2n ，若a 1＋a 3＋…＋a 2n －1＝90，a 2＋a 4＋…＋a 2n ＝72，且a 1－a 2n＝33，则该数列的公差是( )A ．3B ．－3C ．－2D ．－110．在项数为奇数的等差数列中，所有奇数项的和为165，所有偶数项的和为150，则该数列有____项．11．已知等差数列{a n }中，|a 5|＝|a 9|，公差d ＞0，则使得前n 项和S n 取得最小值时的正整 数n 的值是________．12．有一等差数列共有偶数项，它的奇数项之和与偶数项之和分别是24和30，若最后一项与第一项之差为212，试求此数列的首项、公差和项数．三、探究与拓展13．已知公差大于零的等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足：a 3a 4＝117，a 2＋a 5＝22.(1)求数列{a n }的通项公式a n ；(2)若数列{b n }是等差数列，且b n ＝S nn ＋c，求非零常数c .答案1．D 2.C 3.B 4.D 5.B 6.157．解 (1)设等差数列{a n }的公差为d ，则a n ＝a 1＋(n －1)d . 由a 1＝1，a 3＝－3，可得1＋2d ＝－3，解得d ＝－2. 从而a n ＝1＋(n －1)×(－2)＝3－2n . (2)由(1)可知a n ＝3－2n ， 所以S n ＝n [1＋(3－2n )]2＝2n －n 2.由S k ＝－35，可得2k －k 2＝－35， 即k 2－2k －35＝0，解得k ＝7或k ＝－5. 又k ∈N *，故k ＝7.8．解 S n ＝－8n ＋n (n －1)＝n (n －9)， 或S n ＝8n －n (n －1)＝－n (n －9)． 9．B 10.21 11.6或712．解 设此数列的首项、公差和项数分别为a 1、d 和2k (k ∈N *)，根据题意有⎩⎪⎨⎪⎧12k (a 1＋a 2k －1)＝24，12k (a 2＋a 2k)＝30，a 2k－a 1＝212，解得a 1＝32，d ＝32，k ＝4.∴首项为32，公差为32，项数为8.13．解 (1)设等差数列{a n }的公差为d ，且d >0. ∵a 3＋a 4＝a 2＋a 5＝22，又a 3a 4＝117， ∴a 3，a 4是方程x 2－22x ＋117＝0的两个根． 又公差d >0，∴a 3<a 4， ∴a 3＝9，a 4＝13.∴⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＋2d ＝9a 1＋3d ＝13，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1d ＝4， ∴a n ＝4n －3.(2)由(1)知，S n ＝n ×1＋n (n －1)2×4＝2n 2－n ，∴b n ＝S nn ＋c ＝2n 2－n n ＋c.∴b 1＝11＋c ，b 2＝62＋c ，b 3＝153＋c .∵{b n }是等差数列，∴2b 2＝b 1＋b 3， ∴2c 2＋c ＝0，∴c ＝－12 (c ＝0舍去)．§2.3 等差数列的前n 项和(二)一、基础过关1．若数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2－1，则a 4等于( )A ．7B ．8C ．9D ．17 2．已知数列{a n }的前n 项和S n ＝n 3，则a 5＋a 6的值为( )A ．91B ．152C ．218D ．279 3．设S n 是等差数列{a n }的前n 项和，若a 5a 3＝59，则S 9S 5等于( )A ．1B ．－1C ．2D.12 4．设S n 是等差数列{a n }的前n 项和，若S 3S 6＝13，则S 6S 12等于( ) A.310B.13C.18D.195．数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n ＝n 2－n (n ∈N *)，则通项a n ＝________.6．设S n 为等差数列{a n }的前n 项和，若a 4＝1，S 5＝10，则当S n 取得最大值时，n 的值为________． 7．已知数列{a n }的前n 项和公式为S n ＝2n 2－30n . (1)求数列{a n }的通项公式a n ； (2)求S n 的最小值及对应的n 值． 8．设等差数列{a n }满足a 3＝5，a 10＝－9. (1)求{a n }的通项公式；(2)求{a n }的前n 项和S n 及使得S n 最大的序号n 的值． 二、能力提升9．已知数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2－9n ，第k 项满足5<a k <8，则k 为( )A ．9B ．8C ．7D ．610．设{a n }是等差数列，S n 是其前n 项和，且S 5<S 6，S 6＝S 7>S 8，则下列结论错误的是( )A ．d <0B ．a 7＝0C．S9>S5D．S6与S7均为S n的最大值11．若数列{a n}是等差数列，首项a1＞0，a2 003＋a2 004＞0，a2 003·a2 004＜0，则使前n项和S n ＞0成立的最大自然数n是________．12．数列{a n}中，a1＝8，a4＝2，且满足a n＋2－2a n＋1＋a n＝0 (n∈N*)．(1)求数列{a n}的通项公式；(2)设S n＝|a1|＋|a2|＋…＋|a n|，求S n.三、探究与拓展13．设等差数列{a n}的前n项和为S n，已知a3＝12，且S12>0，S13<0.(1)求公差d的取值范围；(2)问前几项的和最大，并说明理由．答案1．A 2.B 3.A 4.A 5.2n －2 6．4或5 7．解 (1)∵S n ＝2n 2－30n ， ∴当n ＝1时，a 1＝S 1＝－28.当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝(2n 2－30n )－[2(n －1)2－30(n －1)]＝4n －32. ∴a n ＝4n －32，n ∈N ＋. (2)∵a n ＝4n －32， ∴a 1<a 2<…<a 7<0，a 8＝0， 当n ≥9时，a n >0.∴当n ＝7或8时，S n 最小，且最小值为S 7＝S 8＝－112. 8．解 (1)由a n ＝a 1＋(n －1)d 及a 3＝5，a 10＝－9得⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＋2d ＝5，a 1＋9d ＝－9，可解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝9，d ＝－2，所以数列{a n }的通项公式为a n ＝11－2n . (2)由(1)知，S n ＝na 1＋n (n －1)2d ＝10n －n 2.因为S n ＝－(n －5)2＋25， 所以当n ＝5时，S n 取得最大值． 9．B 10.C 11.4 00612．解 (1)∵a n ＋2－2a n ＋1＋a n ＝0. ∴a n ＋2－a n ＋1＝a n ＋1－a n ＝…＝a 2－a 1. ∴{a n }是等差数列且a 1＝8，a 4＝2， ∴d ＝－2，a n ＝a 1＋(n －1)d ＝10－2n . (2)∵a n ＝10－2n ，令a n ＝0，得n ＝5. 当n >5时，a n <0；当n ＝5时，a n ＝0； 当n <5时，a n >0.∴当n >5时，S n ＝|a 1|＋|a 2|＋…＋|a n | ＝a 1＋a 2＋…＋a 5－(a 6＋a 7＋…＋a n ) ＝S 5－(S n －S 5)＝2S 5－S n ＝2·(9×5－25)－9n ＋n 2 ＝n 2－9n ＋40，当n ≤5时，S n ＝|a 1|＋|a 2|＋…＋|a n | ＝a 1＋a 2＋…＋a n ＝9n －n 2.∴S n ＝⎩⎪⎨⎪⎧9n －n 2 (n ≤5)n 2－9n ＋40 (n >5).13．解 (1)根据题意，得⎩⎨⎧12a 1＋12×112d >0，13a 1＋13×122d <0，a 1＋2d ＝12，整理得：⎩⎪⎨⎪⎧2a 1＋11d >0，a 1＋6d <0，a 1＋2d ＝12.解得：－247<d <－3.(2)∵d <0，∴a 1>a 2>a 3>…>a 12>a 13>…， 而S 13＝13(a 1＋a 13)2＝13a 7<0，∴a 7<0.又S 12＝12(a 1＋a 12)2＝6(a 1＋a 12)＝6(a 6＋a 7)>0，∴a 6>0. ∴数列{a n }的前6项和S 6最大．习题课 等差数列1．已知等差数列{a n }的公差为d (d ≠0)，且a 3＋a 6＋a 10＋a 13＝32，若a m ＝8，则m 为( ) A ．12B ．8C ．6D ．4 2．等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 3＋a 7＋a 11＝6，则S 13等于( )A ．24B ．25C ．26D ．27 3．在小于100的自然数中，所有被7除余2的数之和为( )A ．765B ．665C ．763D ．6634．若{a n }为等差数列，S n 为其前n 项和，若a 1>0，d <0，S 4＝S 8，则S n >0成立的最大自然数n 为( )A ．11B ．12C ．13D ．145．设{a n }是公差为正数的等差数列，若a 1＋a 2＋a 3＝15，a 1a 2a 3＝80，则a 11＋a 12＋a 13等于( )A ．120B ．105C ．90D ．756．首项为－24的等差数列，从第10项起开始为正数，则公差d 的取值范围是________． 7．设数列{a n }是公差不为零的等差数列，S n 是数列{a n }的前n 项和，且S 23＝9S 2，S 4＝4S 2，求数列{a n }的通项公式．8．已知两个等差数列{a n }：5,8,11，…，{b n }：3,7,11，…，都有100项，试问它们有多少个共同的项？ 二、能力提升9．在等差数列{a n }中，a 10<0，a 11>0，且|a 10|<a 11，S n 为{a n }的前n 项的和，则下列结论正确的是( )A ．S 1，S 2，…，S 10都小于零，S 11，S 12，…都大于零B ．S 1，S 2，…，S 5都小于零，S 6，S 7，…都大于零C ．S 1，S 2，…，S 20都小于零，S 21，S 22，…都大于零D ．S 1，S 2，…，S 19都小于零，S 20，S 21，…都大于零 10．在如下数表中，已知每行、每列中的数都成等差数列，11．等差数列{a n }中，|a 3|＝|a 9|，公差d <0，则使前n 项和S n 取得最大值的自然数n 是______． 12．设等差数列{a n }的首项a 1及公差d 都为整数，前n 项和为S n .(1)若a 11＝0，S 14＝98，求数列{a n }的通项公式；(2)若a 1≥6，a 11>0，S 14≤77，求所有可能的数列{a n }的通项公式． 三、探究与拓展13．设{a n }是公差不为零的等差数列，S n 是其前n 项和，满足a 22＋a 23＝a 24＋a 25，S 7＝7.(1)求数列{a n }的通项公式及前n 项和S n ；(2)试求所有的正整数m ，使得a m a m ＋1a m ＋2为数列{a n }中的项．答案1．B 2.C 3.B 4.A 5.B 6.83<d ≤37．解 设等差数列{a n }的公差为d ，由S n ＝na 1＋n (n －1)2d 及已知条件得(3a 1＋3d )2＝9(2a 1＋d )， ① 4a 1＋6d ＝4(2a 1＋d )．②由②得d ＝2a 1，代入①有a 21＝49a 1， 解得a 1＝0或a 1＝49.当a 1＝0时，d ＝0，舍去． 因此a 1＝49，d ＝89.故数列{a n }的通项公式为 a n ＝49＋(n －1)·89＝49(2n －1)．8．解 在数列{a n }中，a 1＝5，公差d 1＝8－5＝3. ∴a n ＝a 1＋(n －1)d 1＝3n ＋2.在数列{b n }中，b 1＝3，公差d 2＝7－3＝4， ∴b n ＝b 1＋(n －1)d 2＝4n －1. 令a n ＝b m ，则3n ＋2＝4m －1， ∴n ＝4m 3－1.∵m 、n ∈N *，∴m ＝3k (k ∈N *)，又⎩⎪⎨⎪⎧0<m ≤1000<n ≤100，解得0<m ≤75. ∴0<3k ≤75，∴0<k ≤25， ∴k ＝1,2,3， (25)∴两个数列共有25个公共项． 9．D 10.n 2＋n 11.5或612．解 (1)由⎩⎪⎨⎪⎧S 14＝98，a 11＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧14a 1＋14×132d ＝98，a 1＋10d ＝0，⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝20，d ＝－2.因此数列的通项a n ＝22－2n . (2)由⎩⎪⎨⎪⎧a 1≥6，a 11>0，S 14≤77.得⎩⎪⎨⎪⎧a 1≥6，a 1＋10d ＞0，2a 1＋13d ≤11.即⎩⎪⎨⎪⎧－2a 1≤－12， ①－2a 1－20d ＜0， ②2a 1＋13d ≤11. ③由②＋③得－7d <11，即d >－117.由①＋③得13d ≤－1，即d ≤－113.于是－117<d ≤－113.又∵d ∈Z ，∴d ＝－1.将d ＝－1代入②③两式得10<a 1≤12. 又∵a 1∈Z ， ∴a 1＝11或a 1＝12.∴所有可能的数列{a n }的通项公式是a n ＝12－n 和a n ＝13－n . 13．解 (1)由题意，设等差数列{a n }的通项公式为 a n ＝a 1＋(n －1)d ，d ≠0.由a 22＋a 23＝a 24＋a 25知2a 1＋5d ＝0.① 又因为S 7＝7，所以a 1＋3d ＝1.② 由①②可得a 1＝－5，d ＝2.所以数列{a n }的通项公式a n ＝2n －7， S n ＝na 1＋n (n －1)2d ＝n 2－6n .(2)因为a m a m ＋1a m ＋2＝(a m ＋2－4)(a m ＋2－2)a m ＋2＝a m ＋2－6＋8a m ＋2为数列{a n }中的项，故8a m ＋2为整数．又由(1)知a m ＋2为奇数，所以a m ＋2＝2m －3＝±1，即m ＝1,2. 经检验，符合题意的正整数只有m ＝2.§2.4 等比数列(一)一、基础过关1．在等比数列{a n }中，a 1＝1，公比|q |≠1.若a m ＝a 1a 2a 3a 4a 5，则m 等于( )A ．9B ．10C ．11D ．122．已知a ，b ，c ，d 成等比数列，且曲线y ＝x 2－2x ＋3的顶点是(b ，c )，则ad 等于( ) A ．3 B ．2C ．1D ．－2 3．如果－1，a ，b ，c ，－9成等比数列，那么( )A ．b ＝3，ac ＝9B ．b ＝－3，ac ＝9C ．b ＝3，ac ＝－9D ．b ＝－3，ac ＝－94．一个数分别加上20,50,100后得到的三个数成等比数列，其公比为( )A.53B.43C.32D.125．若a ，b ，c 成等比数列，m 是a ，b 的等差中项，n 是b ，c 的等差中项，则a m ＋cn 等于( )A ．4B ．3C ．2D ．16．已知等比数列{a n }的前三项依次为a －1，a ＋1，a ＋4，则a n ＝________. 7．已知等比数列{a n }，若a 1＋a 2＋a 3＝7，a 1a 2a 3＝8，求a n .8．在四个正数中，前三个成等差数列，和为48，后三个成等比数列，积为8 000，求这四个数． 二、能力提升9．若正项等比数列{a n }的公比q ≠1，且a 3，a 5，a 6成等差数列，则a 3＋a 5a 4＋a 6等于( )A.5－12B.5＋12C.12D ．不确定10．已知数列－1，a 1，a 2，－4成等差数列，－1，b 1，b 2，b 3，－4成等比数列，则a 2－a 1b 2的值是________．11．设{a n }是公比为q 的等比数列，|q |>1，令b n ＝a n ＋1(n ＝1,2，…)，若数列{b n }有连续四项在集合{－53，－23,19,37,82}中，则6q ＝________. 12．已知(b －c )log m x ＋(c －a )log m y ＋(a －b )log m z ＝0.(1)若a，b，c依次成等差数列且公差不为0，求证：x，y，z成等比数列；(2)若正数x，y，z依次成等比数列且公比不为1，求证：a，b，c成等差数列．三、探究与拓展13．互不相等的三个数之积为－8，这三个数适当排列后可成为等比数列，也可排成等差数列，求这三个数排成的等差数列．答案1．C 2.B 3.B 4.A 5.C 6．4·(32)n －17．解 由等比数列的定义知a 2＝a 1q ，a 3＝a 1q 2代入已知得，⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋a 1q ＋a 1q 2＝7a 1·a 1q ·a 1q 2＝8， 即⎩⎪⎨⎪⎧a 1(1＋q ＋q 2)＝7，a 31q 3＝8， 即⎩⎪⎨⎪⎧a 1(1＋q ＋q 2)＝7， ①a 1q ＝2， ② 将a 1＝2q 代入①得2q 2－5q ＋2＝0，∴q ＝2或q ＝12，由②得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1q ＝2或⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝4，q ＝12.∴a n ＝2n－1或a n ＝23－n .8．解 设前三个数分别为a －d ，a ，a ＋d ， 则有(a －d )＋a ＋(a ＋d )＝48，即a ＝16. 设后三个数分别为bq ，b ，bq ，则有bq·b ·bq ＝b 3＝8 000，即b ＝20， ∴这四个数分别为m,16,20，n ， ∴m ＝2×16－20＝12，n ＝20216＝25.即所求的四个数分别为12,16,20,25. 9．A 10.1211.－912．证明 (1)∵a ，b ，c 成等差数列且d ≠0， ∴b －c ＝a －b ＝－d ，c －a ＝2d ， ∴(b －c )log m x ＋(c －a )log m y ＋(a －b )log m z ＝2d log m y －d log m x －d log m z ＝d (2log m y －log m x －log m z ) ＝d log m (y 2xz)＝0.∵d ≠0，∴log m y 2xz ＝0，∴y 2xz ＝1.∴y 2＝xz ，即x ，y ，z 成等比数列． (2)∵x ，y ，z 成等比数列，且公比q ≠1， ∴y ＝xq ，z ＝xq 2，∴(b －c )log m x ＋(c －a )log m y ＋(a －b )log m z ＝(b －c )log m x ＋(c －a )log m (xq )＋(a －b )log m (xq 2)＝(b －c )log m x ＋(c －a )log m x ＋(c －a )log m q ＋(a －b )log m x ＋2(a －b )log m q ＝(c －a )log m q ＋2(a －b )log m q ＝(a ＋c －2b )log m q ＝0， ∵q ≠1，∴log m q ≠0，∴a ＋c －2b ＝0，即a ，b ，c 成等差数列．13．解 设三个数为aq ，a ，aq ，∴a 3＝－8，即a ＝－2，∴三个数为－2q，－2，－2q .(1)若－2为－2q 和－2q 的等差中项，则2q ＋2q ＝4，∴q 2－2q ＋1＝0，q ＝1，与已知矛盾；(2)若－2q 为－2q 与－2的等差中项，则1q ＋1＝2q ，2q 2－q －1＝0，q ＝－12或q ＝1(舍去)，∴三个数为4,1，－2；(3)若－2q 为－2q 与－2的等差中项，则q ＋1＝2q ，∴q 2＋q －2＝0， ∴q ＝－2或q ＝1(舍去)， ∴三个数为4,1，－2.综合(1)(2)(3)可知，这三个数排成的等差数列为 4,1，－2或－2,1,4.§2.4 等比数列(二)一、基础过关1．在等比数列{a n }中，a n >0，且a 2＝1－a 1，a 4＝9－a 3，则a 4＋a 5的值为( )A ．16B ．27C ．36D ．81 2．已知等比数列{a n }满足a 1＋a 2＝3，a 2＋a 3＝6，则a 7等于( )A ．64B ．81C ．128D ．2433．在由正数组成的等比数列{a n }中，若a 4a 5a 6＝3，log 3a 1＋log 3a 2＋log 3a 8＋log 3a 9的值为( ) A.43B.34C ．2D ．3434．已知各项均为正数的等比数列{a n }中，a 1a 2a 3＝5，a 7a 8a 9＝10，则a 4a 5a 6等于 ( )A ．5 2B ．7C ．6D ．425．设数列{a n }为公比q >1的等比数列，若a 4，a 5是方程4x 2－8x ＋3＝0的两根，则a 6＋a 7＝________.6．已知等差数列{a n }的公差为2，若a 1，a 3，a 4成等比数列，则a 2＝________. 7．已知数列{a n }成等比数列．(1)若a 2＝4，a 5＝－12，求数列{a n }的通项公式；(2)若a 3a 4a 5＝8，求a 2a 3a 4a 5a 6的值．8．已知正项等比数列{a n }中，a 1a 5＋2a 2a 6＋a 3a 7＝100，a 2a 4－2a 3a 5＋a 4a 6＝36.求数列{a n }的通项公式． 二、能力提升9．在正项等比数列{a n }中，a n ＋1<a n ，a 2·a 8＝6，a 4＋a 6＝5，则a 5a 7等于( )A.56B.65C.23D.3210．已知等比数列{a n }中，各项都是正数，且a 1，12a 3,2a 2成等差数列，则a 9＋a 10a 7＋a 8等于( )A ．1＋ 2B ．1－2C ．3＋2 2D ．3－2211．首项为3的等比数列的第n 项是48，第2n －3项是192，则n ＝________. 12．等比数列{a n }同时满足下列三个条件：①a 1＋a 6＝11 ②a 3·a 4＝329 ③三个数23a 2，a 23，a 4＋49依次成等差数列，试求数列{a n }的通项公式． 三、探究与拓展13．从盛满a (a >1)升纯酒精的容器里倒出1升然后添满水摇匀，再倒出1升混合溶液后又用水添满摇匀，如此继续下去，问：第n 次操作后溶液的浓度是多少？若a ＝2时，至少应倒几次后才能使酒精的浓度低于10%?答案1．B 2.A 3.A 4.A 5.18 6.－6 7．解 (1)由a 5＝a 2q 3，得－12＝4·q 3，所以q ＝－12.a n ＝a 2q n －2＝4⎝⎛⎭⎫－12n －2. (2)由a 3a 5＝a 24，得a 3a 4a 5＝a 34＝8.解得a 4＝2.又因为a 2a 6＝a 3a 5＝a 24，所以a 2a 3a 4a 5a 6＝a 54＝25＝32.8．解 a n ＝12×2n －1＝2n －2或a n ＝32×⎝⎛⎭⎫12n －1＝26－n . 9．D 10.C 11.512．解 由等比数列的性质知a 1a 6＝a 3a 4＝329，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋a 6＝11a 1·a 6＝329， 解得⎩⎨⎧ a 1＝13a 6＝323或⎩⎨⎧ a 1＝323a 6＝13.当⎩⎨⎧a 1＝13a 6＝323时q ＝2，∴a n ＝13·2n －1.23a 2＋a 4＋49＝329，2a 23＝329， ∴23a 2，a 23，a 4＋49成等差数列，∴a n ＝13·2n －1. 当⎩⎨⎧a 1＝323a 6＝13时q ＝12，a n ＝13·26－n ，23a 2＋a 4＋49≠2a 23， ∴不符合题意，故数列{a n }的通项公式为a n ＝13·2n －1.13．解 设开始的浓度为1，操作一次后溶液浓度a 1＝1－1a，设操作n 次后溶液的浓度为a n .则操作n ＋1次后溶液的浓度为a n ＋1＝a n (1－1a )，从而建立了递推关系．∴{a n }是以a 1＝1－1a 为首项，公比为q ＝1－1a 的等比数列．∴a n ＝a 1q n －1＝(1－1a)n ，即第n 次操作后酒精的浓度是(1－1a )n .当a ＝2时，由a n ＝(12)n ＜110，解得n ≥4.故至少应操作4次后才能使酒精浓度低于10%.§2.5 等比数列的前n 项和(一)一、基础过关1．已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 1＝－1，a 4＝64，则S 4等于( )A ．48B ．49C ．50D ．512．在等比数列{a n }中，公比q 是整数，a 1＋a 4＝18，a 2＋a 3＝12，则此数列的前8项和为( ) A ．513B ．512C ．511D ．510 3．设S n 为等比数列{a n }的前n 项和，8a 2＋a 5＝0，则S 5S 2等于( )A ．11B ．5C ．－8D ．－11 4．设等比数列{a n }的公比q ＝2，前n 项和为S n ，则S 4a 2等于( )A ．2B ．4C.152D.1725．等比数列{a n }的前n 项和为S n ，已知S 1,2S 2,3S 3成等差数列，则{a n }的公比为________． 6．若等比数列{a n }中，a 1＝1，a n ＝－512，前n 项和为S n ＝－341，则n 的值是________． 7．设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a 2＝6,6a 1＋a 3＝30，求a n 和S n . 8．在等比数列{a n }中，已知S n ＝48，S 2n ＝60，求S 3n . 二、能力提升9．已知{a n }是等比数列，a 2＝2，a 5＝14，则a 1a 2＋a 2a 3＋…＋a n a n ＋1等于( )A ．16(1－4－n ) B ．16(1－2－n ) C.323(1－4－n )D.323(1－2－n )10．设{a n }是由正数组成的等比数列，S n 为其前n 项和，已知a 2a 4＝1，S 3＝7，则S 5等于( ) A.152B.314C.334D.17211．设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 1＝1，S 6＝4S 3，则a 4＝________. 12．已知等比数列{a n }中，a 1＝2，a 3＋2是a 2和a 4的等差中项．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)记b n ＝a n log 2a n ，求数列{b n }的前n 项和S n . 三、探究与拓展13．已知等差数列{a n }满足a 2＝0，a 6＋a 8＝－10.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)求数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n 2n －1的前n 项和．答案1．D 2.D 3.D 4.C 5.13 6.107．解 当a 1＝3，q ＝2时，a n ＝3×2n －1， S n ＝a 1(1－q n )1－q ＝3(1－2n )1－2＝3(2n －1)；当a 1＝2，q ＝3时，a n ＝2×3n －1， S n ＝a 1(1－q n )1－q ＝2(1－3n )1－3＝3n－1.8．解 因为S 2n ≠2S n ，所以q ≠1，由已知得⎩⎪⎨⎪⎧a 1(1－q n )1－q＝48a 1(1－q2n )1－q＝60①②②÷①得1＋q n ＝54，即q n ＝14.③将③代入①得a 11－q＝64，所以S 3n ＝a 1(1－q 3n )1－q ＝64×⎝⎛⎭⎫1－143＝63. 9．C 10.B 11.312．解 (1)设数列{a n }的公比为q ，由题意知：2(a 3＋2)＝a 2＋a 4，∴q 3－2q 2＋q －2＝0，即(q －2)(q 2＋1)＝0. ∴q ＝2，即a n ＝2·2n －1＝2n . (2)b n ＝n ·2n ，∴S n ＝1·2＋2·22＋3·23＋…＋n ·2n .① 2S n ＝1·22＋2·23＋3·24＋…＋(n －1)·2n ＋n ·2n ＋1.②①－②得－S n ＝21＋22＋23＋24＋…＋2n －n ·2n ＋1＝－2－(n －1)·2n ＋1. ∴S n ＝2＋(n －1)·2n ＋1. 13．解 (1)a n ＝2－n .(2)设数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n 2n －1的前n 项和为S n ，即S n ＝a 1＋a 22＋…＋a n2n －1，① 故S 1＝1，S n 2＝a 12＋a 24＋…＋a n2n .②所以，当n ＞1时，①－②得 S n2＝a 1＋a 2－a 12＋…＋a n －a n －12n －1－a n 2n ＝1－(12＋14＋…＋12n －1)－2－n 2n＝1－(1－12n －1)－2－n 2n ＝n 2n .所以S n ＝n2n －1.当n ＝1时也成立．综上，数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n 2n －1的前n 项和S n ＝n2n －1.§2.5 等比数列的前n 项和(二)一、基础过关1．在各项都为正数的等比数列{a n }中，首项a 1＝3，前3项和为21，则a 3＋a 4＋a 5等于( ) A ．33B ．72C ．84D ．1892．已知{a n }是首项为1的等比数列，S n 是{a n }的前n 项和，且9S 3＝S 6，则数列{1a n}的前5项和为( )A.158和5B.3116和5C.3116D.1583．一弹性球从100米高处自由落下，每次着地后又跳回到原来高度的一半再落下，则第10次着地时所经过的路程和是(结果保留到个位)( )A ．300米B ．299米C ．199米D ．166米4．某企业在今年年初贷款a 万元，年利率为γ，从今年年末开始每年偿还一定金额，预计五年内还清，则每年应偿还( )A.a (1＋γ)(1＋γ)5－1万元B.aγ(1＋γ)5(1＋γ)5－1万元C.aγ(1＋γ)5(1＋γ)4－1万元D.aγ(1＋γ)5万元 5．等比数列{a n }共2n 项，其和为－240，且奇数项的和比偶数项的和大80，则公比q ＝________.6．等比数列{a n }中，前n 项和为S n ，S 3＝2，S 6＝6，则a 10＋a 11＋a 12＝________. 7．在等比数列{a n }中，已知S 30＝13S 10，S 10＋S 30＝140，求S 20的值．8．一个热气球在第一分钟上升了25 m 的高度，在以后的每一分钟里，它上升的高度都是它在前一分钟里上升高度的80%.这个热气球上升的高度能超过125 m 吗？ 二、能力提升9．数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 1＝1，a n ＋1＝3S n (n ≥1)，则a 6等于( )A ．3×44B ．3×44＋1C ．45D ．45＋110．某工厂月生产总值的平均增长率为q ，则该工厂的年平均增长率为( )A ．qB ．12qC ．(1＋q )12D ．(1＋q )12－111．银行一年定期储蓄存款年息为r ，三年定期储蓄存款年息为q ，银行为吸收长期资金，鼓励储户存三年定期的存款，那么q 的值应略大于________． 12．利用等比数列前n 项和公式证明a n＋an －1b ＋a n －2b 2＋…＋b n ＝a n ＋1－b n ＋1a －b，其中n ∈N *a ，b 是不为0的常数，且a ≠b . 三、探究与拓展13．已知{a n }是以a 为首项，q 为公比的等比数列，S n 为它的前n 项和．(1)当S 1，S 3，S 4成等差数列时，求q 的值；(2)当S m ，S n ，S l 成等差数列时，求证：对任意自然数k ，a m ＋k ，a n ＋k ，a l ＋k 也成等差数列．答案1．C 2.C 3.A 4.B 5.2 6.16 7．解 ∵S 30≠3S 10，∴q ≠1.由⎩⎪⎨⎪⎧ S 30＝13S 10S 10＋S 30＝140，∴⎩⎪⎨⎪⎧S 10＝10S 30＝130， ∴⎩⎪⎨⎪⎧a 1(1－q 10)1－q＝10a 1(1－q 30)1－q＝130，∴q 20＋q 10－12＝0. ∴q 10＝3，∴S 20＝a 1(1－q 20)1－q＝S 10(1＋q 10)＝10×(1＋3)＝40.8．解 用a n 表示热气球在第n 分钟上升的高度，由题意，得a n ＋1＝45a n ，因此，数列{a n }是首项a 1＝25，公比q ＝45的等比数列．热气球在前n 分钟内上升的总高度为S n ＝a 1＋a 2＋…＋a n ＝a 1(1－q n )1－q＝25×⎣⎡⎦⎤1－⎝⎛⎭⎫45n 1－45＝125×⎣⎡⎦⎤1－⎝⎛⎭⎫45n <125. 故这个热气球上升的高度不可能超过125 m. 9．A 10.D 11.13[(1＋r )3－1]12．证明 ∵a ≠0，b ≠0，a ≠b ，∴ba≠1.∴左端＝a n ＋a n －1b ＋a n －2b 2＋…＋b n ＝a n ⎣⎡⎦⎤1＋b a ＋⎝⎛⎭⎫b a 2＋…＋⎝⎛⎭⎫b a n ＝a n ⎣⎡⎦⎤1－⎝⎛⎭⎫b a n ＋11－b a＝a n ＋1⎣⎡⎦⎤1－⎝⎛⎭⎫b a n ＋1a －b ＝a n ＋1－b n ＋1a －b ＝右端．∴a n＋an －1b ＋a n －2b 2＋…＋b n ＝a n ＋1－b n ＋1a －b.13．(1)解 由已知，得a n ＝aq n －1，因此S 1＝a ，S 3＝a (1＋q ＋q 2)，S 4＝a (1＋q ＋q 2＋q 3)． 当S 1，S 3，S 4成等差数列时，S 4－S 3＝S 3－S 1， 可得aq 3＝aq ＋aq 2，化简得q 2－q －1＝0.解得q ＝1±52.(2)证明 若q ＝1，则{a n }的各项均为a ，此时a m ＋k ，a n ＋k ，a l ＋k 显然成等差数列． 若q ≠1，由S m ，S n ，S l 成等差数列可得S m ＋S l ＝2S n ， 即a (q m －1)q －1＋a (q l －1)q －1＝2a (q n －1)q －1，整理得q m ＋q l ＝2q n .因此，a m ＋k ＋a l ＋k ＝aq k －1(q m ＋q l )＝2aq n ＋k －1＝2a n ＋k .所以a m ＋k ，a n ＋k ，a l ＋k 成等差数列．习题课 数列求和一、基础过关1．数列12·5，15·8，18·11，…，1(3n －1)·(3n ＋2)，…的前n 项和为( )A.n 3n ＋2B.n 6n ＋4C.3n 6n ＋4D.n ＋1n ＋22．已知数列{a n }的通项a n ＝2n ＋1，由b n ＝a 1＋a 2＋a 3＋…＋a nn 所确定的数列{b n }的前n 项之和是( )A ．n (n ＋2)B.12n (n ＋4)C.12n (n ＋5)D.12n (n ＋7) 3．已知数列{a n }前n 项和为S n ＝1－5＋9－13＋17－21＋…＋(－1)n －1(4n －3)，则S 15＋S 22－S 31的值是( )A ．13B ．－76C ．46D ．764．数列{a n }满足a 1，a 2－a 1，a 3－a 2，…，a n －a n －1是首项为1，公比为2的等比数列，那么a n 等于( )A ．2n －1B ．2n －1－1C ．2n ＋1D ．4n －15．一个数列{a n }，其中a 1＝3，a 2＝6，a n ＋2＝a n ＋1－a n ，那么这个数列的第5项是________． 6．在数列{a n }中，a n ＋1＝2a n2＋a n 对所有正整数n 都成立，且a 1＝2，则a n ＝______.7．已知等差数列{a n }满足：a 3＝7，a 5＋a 7＝26，{a n }的前n 项和为S n . (1)求a n 及S n ；(2)令b n ＝1a 2n －1(n ∈N *)，求数列{b n }的前n 项和T n .8．已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1＝2a n ＋1. (1)求证：数列{a n ＋1}是等比数列；(2)求数列{a n }的通项公式a n 和前n 项和S n . 二、能力提升9．如果一个数列{a n }满足a n ＋a n ＋1＝H (H 为常数，n ∈N *)，则称数列{a n }为等和数列，H 为公和，S n 是其前n 项的和，已知等和数列{a n }中，a 1＝1，H ＝－3，则S 2 011等于( ) A ．－3 016B ．－3 015C ．－3 014D ．－3 013 10．在数列{a n }中，a 1＝2，a n ＋1＝a n ＋ln ⎝⎛⎭⎫1＋1n ，则a n 等于( )A ．2＋ln nB ．2＋(n －1)ln nC ．2＋n ln nD ．1＋n ＋ln n11．数列{a n }中，S n 是其前n 项和，若a 1＝1，a n ＋1＝13S n (n ≥1)，则a n ＝____________.12．设数列{a n }满足a 1＝2，a n ＋1－a n ＝3·22n －1.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)令b n ＝na n ，求数列{b n }的前n 项和S n . 三、探究与拓展13．等比数列{a n }中，a 1，a 2，a 3分别是下表第一、二、三行中的某一个数，且a 1，a 2，a 3中的任何两个数不在下表的同一列．(1)求数列{a n }(2)若数列{b n }满足：b n ＝a n ＋(－1)n ln a n ，求数列{b n }的前n 项和S n .。