一次函数压轴题之新定义1．在平面直角坐标系中，对于点P（x，y）和Q（x，y′），给出如下定义：如果y′＝，那么称点Q为点P的“伴随点”．例如：点（5，6）的“伴随点”为点（5，6）；点（﹣5，6）的“伴随点”为点（﹣5，﹣6）．（1）点A（2，1）的“伴随点”A′的坐标为．（2）点B（m，m+1）在函数y＝kx+3的图象上，若其“伴随点”B′的纵坐标为2，求函数y＝kx+3的解析式．（3）在（2）的条件下，点C在函数y＝kx+3的图象上，点D是点C关于原点的对称点，点D的“伴随点为D'．若点C在第一象限，且CD＝DD'，直接写出此时“伴随点”D′的坐标，2．定义：对于给定的一次函数y＝ax+b（a≠0），把形如y＝的函数称为一次函数y＝ax+b （a≠0）的衍生函数．已知矩形ABCD的顶点坐标分别为A（1，0），B（1，2），C（﹣3，2），D（﹣3，0）．（1）已知函数y＝2x+1．①若点P（﹣1，m）在这个一次函数的衍生函数图象上，则m＝．②这个一次函数的衍生函数图象与矩形ABCD的边的交点坐标分别为．（2）当函数y＝kx﹣3（k＞0）的衍生函数的图象与矩形ABCD有2个交点时，k的取值范围是．3．在平面直角坐标系xOy中，对于半径为r（r＞0）的⊙O和点P，给出如下定义：若r≤PO≤r，则称P为⊙O的“近外点”．（1）当⊙O的半径为2时，点A（4，0），B（﹣，0），C（0，3），D （1，﹣1）中，⊙O的“近外点”是；（2）若点E（3，4）是⊙O的“近外点”，求⊙O的半径r的取值范围；（3）当⊙O的半径为2时，直线y＝x+b（b≠0）与x轴交于点M，与y轴交于点N，若线段MN上存在⊙O 的“近外点”，直接写出b的取值范围．4．材料阅读：对于一个圆和一个正方形给出如下定义：若圆上存在到此正方形四条边距离都相等的点，则称这个圆是该正方形的“等距圆”．如图1，在平面直角坐标系xOy中，正方形ABCD的顶点A的坐标为（2，4），顶点C、D在x轴上，且点C 在点D的左侧．（1）当r＝2时，在P1（2，0），P2（﹣4，2），P3（2，2），P4（2﹣2，0）中可以成为正方形ABCD 的“等距圆”的圆心的是；（2）若点P坐标为（﹣2，﹣1），则当⊙P的半径r＝时，⊙P是正方形ABCD的“等距圆”．试判断此时⊙P与直线BD的位置关系？并说明理由．（3）如图2，在正方形ABCD所在平面直角坐标系xOy中，正方形EFGH的顶点F的坐标为（8，2），顶点E、H在y轴上，且点H在点E的上方．若⊙P同时为上述两个正方形的“等距圆”，且与BC所在直线相切，求⊙P的圆心P的坐标．5．定义：若函数y1与y2同时满足下列两个条件：①两个函数的自变量x，都满足a≤x≤b；②在自变量范围内对于任意的x1都存在x2，使得x1所对应的函数值y1与x2所对应的函数值y2相等．我们就称y1与y2这两个函数为“兄弟函数”．设函数y1＝x2﹣2x﹣3，y2＝kx﹣1（1）当k＝﹣1时，求出所有使得y1＝y2成立的x值；（2）当1≤x≤3时判断函数y1＝与y2＝﹣x+5是不是“兄弟函数”，并说明理由；（3）已知：当﹣1≤x≤2时函数y1＝x2﹣2x﹣3与y2＝kx﹣1是“兄弟函数”，试求实数k的取值范围？6．在平面直角坐标系xOy中，对于任意两点P1（x1，y1）与P2（x2，y2）的“非常距离”，给出如下定义：若|x1﹣x2|≥|y1﹣y2|，则点P1与点P2的“非常距离”为|x1﹣x2|；若|x1﹣x2|＜|y1﹣y2|，则点P1与点P2的“非常距离”为|y1﹣y2|．例如：点P1（1，2），点P2（3，5），因为|1﹣3|＜|2﹣5|，所以点P1与点P2的“非常距离”为|2﹣5|＝3，也就是图1中线段P1Q与线段P2Q长度的较大值（点Q为垂直于y轴的直线P1Q与垂直于x轴的直线P2Q交点）．（1）已知点A（﹣，0），B为y轴上的一个动点，①若点A与点B的“非常距离”为2，写出一个满足条件的点B的坐标；②直接写出点A与点B的“非常距离”的最小值；（2）已知C是直线y＝x+3上的一个动点，①如图2，点D的坐标是（0，1），求点C与点D的“非常距离”的最小值及相应的点C的坐标；②如图3，E是以原点O为圆心，1为半径的圆上的一个动点，求点C与点E的“非常距离”的最小值及相应的点E与点C的坐标．7．我们知道，当一条直线与一个圆有两个公共点时，称这条直线与这个圆相交．类似地，我们定义：当一条直线与一个正方形有两个公共点时，称这条直线与这个正方形相交．如图，在平面直角坐标系中，正方形OABC的顶点为O（0，0）、A（1，0）、B（1，1）、C（0，1）．（1）判断直线y＝x+与正方形OABC是否相交，并说明理由；（2）设d是点O到直线y＝﹣x+b的距离，若直线y＝﹣x+b与正方形OABC相交，求d的取值范围．1．【解答】解：（1）x＝2＞0，则y＝1，故点A′为（2，1）；（2）当m≥0时，点B′（m，m+1），即m+1＝2，解得：m＝1，故点B（1，2），将点B的坐标代入函数y＝kx+3并解得：k＝﹣1，故函数的表达式为：y＝﹣x+3…①；当m＜0时，则点B（﹣3，﹣2），同理可得：函数的表达式为：y＝x+3；（3）①当点C在直线y＝﹣x+3上时，设点C（a，b），（a＞0，b＞0），则点D（﹣a，﹣b），则点D′（﹣a，b），CD＝DD'，则CD′＝DD'，即CD是一、三象限角平分线，则直线CD的表达式为：y＝x…②，联立①②并解得：x＝y＝，故点D′（﹣，）；②当点C在直线y＝x+3上时，同理可得：a＝﹣（不符合题意，点C在第二象限，舍去）综上，点D′（﹣，）．2．【解答】解：（1）①x＝﹣1＜0，则m＝﹣2×（﹣1）+1＝3，故答案为3；②一次函数的衍生函数图象与矩形ABCD的边的交点位置在BC上，当y＝2时，2x+1＝2，解得：x＝，当y＝2时，﹣2x+1＝2，解得：x＝﹣，故答案为（，2）或（﹣，2）；（2）函数可以表示为：y＝|k|x﹣3，如图所示当直线在位置①时，函数和矩形有1个交点，当x＝3时，y＝|k|x﹣3＝3|k|﹣3＝0，k＝±1，k＞0，取k＝1当直线在位置②时，函数和图象有3个交点，同理k＝3，故在图①②之间的位置，直线与矩形有2个交点，即：1＜k＜3．3．【解答】解：（1）∵⊙O的半径为2，∴r＝3，∵A（4，0），∴OA＝4＞3，∴点A不是⊙O的“近外点”，B （﹣，0），∴OB＝，而2＜＜3，∴B是⊙O的“近外点”，C（0，3），∴OC＝3，∴点C是⊙O的“近外点”，D （1，﹣1），∴OD＝＝＜2，∴点D不是⊙O的“近外点”，故答案为：B，C；（2）∵E（3，4），∴OE＝＝5，∵点E是⊙O的“近外点”，∴，∴≤r≤5；（3）如图，∵直线MN的解析式为y＝x+b，∴OM＞ON，①点N在y轴坐标轴时，当点M是⊙O的“近外点”，此时，点M（﹣2，0），将M（﹣2，0）代入直线MN的解析式y＝x+b中，解得，b＝2，即：b的最小值为2，过点O作OG⊥M'N'于G，当点G是⊙O的“近外点”时，此时OG＝3，在Rt△ON'G中，∠ON'G＝45°，∴ON'＝＝3，b的最大值为3，∴2≤b≤3，②当点N在y轴负半轴时，同①的方法得出﹣3≤b≤﹣2．综上所述，b的取值范围是：2≤b≤3或﹣3≤b≤﹣2．4．【解答】解：（1）连接AC、BD相交于点M，如右图1所示，∵四边形ABCD是正方形，∴点M是正方形ABCD的中心，到四边的距离相等，∴⊙P一定过点M，∵正方形ABCD的顶点A的坐标为（2，4），顶点C、D在x轴上，且点C在点D的左侧．∴点M（0，2），设⊙P的圆心坐标是（x，y），∴（x﹣0）2+（y﹣2）2＝（2 ）2，将P1（2，0），P2（﹣4，2），P3（2，2），P4（2﹣2，0）分别代入上面的方程，只有P1（2，0），P3（2，2）成立，故答案为：P1（2，0）或P3（2，2）；（2）由题意可得，点M的坐标为（0，2），点P（﹣2，﹣1），∴r＝＝，即当P点坐标为（﹣2，﹣1），则当⊙P的半径r是时，⊙P是正方形ABCD的“等距圆”；故答案为．此时⊙P与直线AC的位置关系是相交，理由：∵正方形ABCD的顶点A的坐标为（2，4），顶点C、D在x轴上，且点C在点D的左侧，∴点B（﹣2，4），D（2，0），设过点B（﹣2，4），点D（2，0）的直线的解析式为y＝kx+b，则，解得，，即直线AC的解析式为：y＝﹣x+2①，∴过点P（﹣2，﹣1）垂直于BD的直线解析式为y＝x+1②，记垂足为G，联立①②，解得，G的坐标为（，），∴PG＝∴点P（﹣2，﹣1）到直线BD的距离为：＜；∴此时⊙P与直线AC的位置关系是相交；（3）设点P的坐标为（x，y），连接HF、EG交于点N，则点N为正方形EFGH的中心，其坐标为（4，6）如图2所示，∵点E（0，2），N（4，6），点C（﹣2，0），点B（﹣2，4），⊙P同时为上述两个正方形的“等距圆”，且与BC所在直线相切，∴，解得或即⊙P的圆心P的坐标是（6﹣2，2）或（6+2，﹣2）．5．【解答】解：（1）当k＝﹣1时，y2＝﹣x﹣1，根据题意得：x2﹣2x﹣3＝﹣x﹣1，解得：x＝2或x＝﹣1；∴x的值为2或﹣1．（2）不是若＝﹣x+5，则x2﹣5x+3＝0，解得：x＝，∵3＜＜4∴4＜＜，＜＜1，两根均不在1≤x≤3，∴函数y1＝与y2＝﹣x+5不是“兄弟函数”．（3）∵函数y1＝x2﹣2x﹣3与y2＝kx﹣1是“兄弟函数”，∴x2﹣2x﹣3＝kx﹣1，整理得：x2﹣（2+k）x﹣2＝0，由题意：，解得k＝﹣1∴实数k的取值范围：k＝﹣1．6．【解答】解：（1）①∵B为y轴上的一个动点，∴设点B的坐标为（0，y）．∵|﹣﹣0|＝≠2，∴|0﹣y|＝2，解得，y＝2或y＝﹣2；∴点B的坐标是（0，2）或（0，﹣2）；②点A与点B的“非常距离”的最小值为（2）①如图2，取点C与点D的“非常距离”的最小值时，需要根据运算定义“若|x1﹣x2|≥|y1﹣y2|，则点P1与点P2的“非常距离”为|x1﹣x2|”解答，此时|x1﹣x2|＝|y1﹣y2|．即AC＝AD，∵C是直线y＝x+3上的一个动点，点D的坐标是（0，1），∴设点C的坐标为（x0，x0+3），∴﹣x0＝x0+2，此时，x0＝﹣，∴点C与点D的“非常距离”的最小值为：|x0|＝，此时C（﹣，）；②当点E在过原点且与直线y＝x+3垂直的直线上时，点C与点E的“非常距离”最小，设E（x，y）（点E位于第二象限）．则，解得，，故E（﹣，）．﹣﹣x0＝x0+3﹣，解得，x0＝﹣，则点C的坐标为（﹣，），最小值为1．7．【解答】解：（1）相交．∵直线y＝x+与线段OC交于点（0，），同时直线y＝x+与线段CB交于点（，1），∴直线y＝x+与正方形OABC相交；（2）当直线y＝﹣x+b经过点B时，即有1＝﹣+b，∴b＝+1．即y＝﹣x+1+，记直线y＝﹣x+1+与x、y轴的交点分别为D、E，则D（，0），E（0，1+），解法1：在Rt△BAD中，tan∠BDA＝＝＝，∴∠EDO＝60°，∠OED＝30度，过O作OF1⊥DE，垂足为F1，则OF1＝d1，在Rt△OF1E中，∵∠OED＝30°，∴d1＝；法2：∴DE＝（3+），过O作OF1⊥DE，垂足为F1，则OF1＝d1，∴d1＝×（1+）÷（3+）＝，∵直线y＝﹣x+b与直线y＝﹣x+1+平行，法1：当直线y＝﹣x+b与正方形OABC相交时，一定与线段OB相交，且交点不与点O、B重合．故直线y＝﹣x+b也一定与线段OF1相交，记交点为F，则F不与点O、F1重合，且OF＝d，∴当直线y＝﹣x+b与正方形相交时，有0＜d＜；法2：当直线y＝﹣x+b与直线y＝x（x＞0）相交时，有x＝﹣x+b，即x＝，当0＜b＜1+时，0＜x＜1，0＜y＜1，此时直线y＝﹣x+b与线段OB相交，且交点不与点O、B重合；当b＞1+时，x＞1，此时直线y＝﹣x+b与线段OB不相交．而当b≤0时，直线y＝﹣x+b不经过第一象限，即与正方形OABC不相交．∴当0＜b＜1+时，d随b的增大而增大，则直线y＝﹣x+b与正方形OABC相交，此时有0＜d＜．。