巧用算术平方根的非负性求值
数学中的求值题类型颇多，下面例谈巧用算术平方根的非负性求值。

例1 已知：（1－2a ）2+2-b =0，求（ab ）b 的值。

分析：清楚完全平方数和算术平方根的非负性是解这类题的关键。

解：∵（1－2a ）2≥0，2-b ≥0且（1－2a ）2+2-b =0
∴1－2a =0，b －2=0
∴a =21，b =2
∴（ab ）b =（21
×2）2=1
点评：若干个非负数的和为零，则它们分别为零
例2 已知3+-b a 与5-+b a 互为相反数，求a 2+b 2的值。

分析：利用绝对值的非负性和算术平方根的非负性解题 解：∵3+-b a 与5-+b a 互为相反数 ∴3+-b a +5-+b a =0 又3+-b a ≥0，5-+b a ≥0
∴a －b +3=0且a +b －5=0，解方程即可求得：a =1，b =4
∴a 2+b 2=12+42=17
点评：如果两个非负数互为相反数，则这两个非负数分别为零
例3 若m ＜0，n ＜0，求2)1(m -+（n -）2的值 分析：运用公式2a =a 解题
解：∵m ＜0 ∴2
)1(m -=－m ；
∵n ＜0，∴（n -）2=－n ∴2)1(m -+（n -）2=－m +（－n ）=－m －n 点评：2a =a 中，注意a 的取值范围。

例4 △ABC 的三边长分别为a 、b 、c ，且a 、b 满足1-a +b 2－4b +4=0，求c 的取值范围。

分析：要清楚完全平方数和算术平方根的非负性及三角形的性质。

解：由1-a +b 2－4b +4=0，可得1-a +（b －2）2=0 ∵1-a ≥0，（b －2）2≥0 ∴1-a =0，（b －2）2=0
∴a =1，b =2
由三角形三边关系定理有：b －a ＜c ＜b +a
即1＜c ＜3
点评：此处除用到算术平方根和完全平方数的非负性外，还利用了三角形边的关系。

例5：已知实数，满足等式132--y x +（x －2y +2）4=0，求2x －53y 的平方根。

分析：利用算术平方根的非负性及完全平方数的非负性解题。

解：∵132--y x ≥0，（x －2y +2）4≥0且132--y x +（x －2y +2）4=0
∴2x －3y －1=0，x －2y +2=0
解上二方程组成的方程组，得⎩
⎨⎧==58y x ∴2x －53y =2×8－53×5=13
∴2x －53y 的平方根为±13
点评：已知等式中含有偶次根式要考滤被开方数大于等于零；含有偶次方幂 要考滤偶次方幂大于等于零。

算术平方根非负性之应用
由算术平方根的意义可知，算术平方根a 具有双重非负性：(1)被开方数是非负数；即a ≥0(2)算术平方根a 是非负数,即a ≥0，算术平方根的非负性在解题中的应用极其广泛．下面略举几例说明之． 一、利用a 中a ≥0解题
例1、已知2
34422-+-+-=x x x y ，则x y =__________ 解：由算术平方根的性质(1)得：x 2－4≥0, 4－x 2≥0 ∴x 2=4 ∵x －2≠0
∴x =－2 ∴y =4
3- ∴x y =916)43(2=-- 二、利用a ≥0解题
例2、如果3)3(2-=-x x ，那么化简x x -+-31的结果是( )
(A )－4 (B )－2 (C )2x －4 (D )4－2x
解：由算术平方根的性质(2)及已知得：
x －3≥0, ∴x ≥3 ∴x －1＞0 3－x ≤0
∴原式=x －1+x －3=2x －4 ∴选C
例3、已知0)25.0(822=-++y x ，则20092008y x •=________
解：由算术平方根的性质(2)及非负数的性质得：⎪⎩⎪⎨⎧=-=+0
)25.0(0822y x 即⎩⎨⎧=-=+025.0082y x ∴⎩
⎨⎧=-=25.04y x ∴20092008y x •=20082008)25.04()(⨯-=•y xy ×0.25=0.25 三、同时利用a ≥0和a ≥0解题
例4、若2223+-=+x x x x ，则x 的取值范围是( )
(A )x ≥0 (B )x ≤－2 (C )0≤x ≤2 (D )－2≤x ≤0
解：由算术平方根的性质(1)得x +2≥0 ∴x ≥－2
由算术平方根的性质(2)得：2+-x x ≥0 且2+x ≥0 ∴－x ≥0 ∴x ≤0 ∴－2≤x ≤0 选D。