均值不等式 姓名
一、均值不等式。

1、二元均值不等式
设+
∈R b a 、,则： 22112
2
2b a b a ab b
a +≤
+≤≤+,当且仅当b a =时取等。

即：调和平均数≤几何平均数≤算术平均数≤平方平均数
2、三元均值不等式
设+
∈R c b a 、、,则： 3311132223
c b a c b a abc c
b a ++≤
++≤≤++,当且仅当c b a ==时取等。

利用最原始的方法先证明：abc c b a 33
3
3
≥++，（+
∈R c b a 、、）。

证明：()abc ab b a c b a abc c b a 33332
233
333---++=-++
()()()[]
()c b a ab c c b a b a c b a ++-+⋅+-+++=32
2
()(
)()[]
ab c c b a b a c b a 322
-+⋅+-+++=
()(
)
ca bc ab c b a c b a ---++++=222
()()()()021*******≥⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡-+-+-++=a c c b b a c b a
所以:abc c b a 33
3
3
≥++
把“3a → a , 3b → b , 3
c → c”得33abc c b a ≥++即
3
3
abc c b a ≥++,当且仅当a = b = c 时上式取”=”号.
*3、n 元均值不等式
设+∈R a a a a n 、、
、、 321, 调和平均数：n
n a a a a n
H 1111321 +++=
几何平均数：n n n a a a a G ⋅⋅= 321 算术平均数：n
a a a a A n
n ++++=
321
平方平均数：n
a a a a Q n
n 2
232221++++=
则n n n n Q A G H ≤≤≤，当且仅当n a a a a ==== 321时取等。

二、利用三元均值不等式求最值 设+
∈R c b a 、、,则：
3
a b c ++≥当且仅当c b a ==时取等。

变形1：
(1)a b c ++≥（a ，,b c R +
∈）等号成立a b c ⇔==。

积为定值时，和有最小值（积定和最小）
变形2：3
3a b c abc ++⎛⎫≤ ⎪
⎝⎭
（a ，,b c R +
∈）等号成立a b c ⇔==。

和为定值时，积有最大值（和定积最大）
注意：一正，二定，三相等
例1、 求函数()2
4
20y x x x
=+
>的最小值。

:变式1：求函数()
()2
4
11y x x x =+>-的最小值。

例2、 求函数()2
11202y x x x ⎛
⎫=-<< ⎪⎝
⎭的最大值。

变式2：求函数()()2
313212y x x x ⎛⎫
=--<<
⎪⎝⎭
的最大值。

变式3
：求函数)01y x x =<<的最大值。

变式4：求函数2
sin cos 02y πθθθ⎛⎫=⋅<< ⎪⎝
⎭的最大值。

例3、 已知0,0a b >>，且3a b +=，求2
y ab =的最大值。

:变式5：已知0,0a b >>，且2
4ab =，求y a b =+的最小值。

例4、 已知0a b >>求()
1
y a b a b =+-的最小值。

:变式6：已知a b c >>求2
1
y a c ab ac bc b
=-+-+-的最小值。