解 step1
消元
4 x 1 5 x 2 x 3 11 x 2 x x 0 2 3 1
r2 2r1 r3 1 2 r1
2 4 1
1 5 2
7 1 11 1 0 1
3 )r2
2 0 0
1 1 7 3 3 3 2.5 0.5 3.5
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由上例可以看出,为提高算法的数值稳定性, 应选取绝对值 尽可能大的元素作主元. 按列部分选主元的消去法也称列主元消去法。
设已用列主元消去法完 成k 1步消元(1 k n 1) 方程组变为A( k 1) x b( k 1) , 此时增广矩阵为
第二章 线性方程组的直接解法
/* Direct Methord for Solving Linear Systems */
第一节 第二节
第三节
Gauss消去法 直接三角分解方法
方程组的性态与误差估计
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I. 在自然科学与工程技术中，很多问题的解
决常常归结为解线性方程组的问题：
如电学中的网络问题，机械和建筑结构的设计和 计算等。
定义
称第k步消元时保留的第k 个方程为主方程,其首项
( k 1) 系数akk 为第k步的主元.
顺序消去法的缺点为：
1. 当主元akk(k -1)=0时, 消元过程不能继续进行；
2. 当akk (k -1) ≠0时, 虽然消元过程可以进行, 但若
akk (k -1) ≈0时, 计算 lik a
( k n 1, n 2,
,1)
定理
若A的所有顺序主子式 /* determinant of leading principal
submatrices */ 均不为0，则高斯消元无需换行即可进行到底，
得到唯一解。
1 存在，则可通过逐次消 注：事实上，只要 A 非奇异，即 de t(Ai ) ... A ... ... 元及行交换，将方程组化为三角形方程组，求出唯一解。 a i 1 ... a ii
直接法（通过有限步计算得到精确解，适用于低
阶、大型带型阵） 迭代法（通过逐次迭代逼近得到近似解，适用于 大型稀疏、非带型阵，第五章内容）
基本解法
Ann Cramer x b 法则、消元法。 求解线性方程组： 对此方程组进行求解有两种方法：采用
a11 x1 a12 x 2 a1n x n b1 a 21 x1 a 22 x 2 a 2 n x n b2 a n1 x1 a n 2 x 2 a nn x n bn
严重失真.
( k 1) ik
/a
( k 1) kk 时,
会出现很
小的数作除数的现象,使舍入误差增大,导致解的
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二、主元素消去法
例2 解方程组
x1 x2 1.00001 0.00001 x2 3 2 x1
用Gauss消去法计算：
/* 精确解为 x1 1, x2
§1
Gauss消去法
思 首先将A化为上三角阵 /* upper-triangular matrix */， 路 再回代求解 /* backward substitution */。
=
一、 高斯顺序消去法 是一种古老的求解线性方程组的方法, 按自然顺序进 行消元的方法.
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例1 解方程组 2 x 1 x 2 x 3 7
1 */
2 5 1
0.1000 104 0.2000 10
0.1000104 0
0.1000 10 0.1000 10 r 210 r 0.1000 10 0.3000 10
0.100010 0.2000106 0.100010 0.2000106
( k 1) a k ,k 1 (k ) ak 1,k 1
, n)
A( k )
a (0) 11
(0) a12

( k 1) a kk

(k ) an ,k 1
(0) a1 n ( k 1) a kn (k ) ak 1,n (k ) a nn
计算量大
则方程组有唯一解：x1
A1 A
, , xn
An A
其中Ak是将 A 的第 k 列元素依次换成常数项b1,…,bn得到的行列式。
对于20阶的线性方程组, 若用Cramer法则求解, 其乘、除运算 次数为9.7*1020, 用一亿次/秒的计算机, 要30.8万年！若用高斯消去 法进行数值求解，乘、除运算只需约3060次。 5
得同解方程组 2 x 1 x 2 x 3 7 3 x 2 3 x 3 － 3 2 x 3 － 6
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r3 ( 2.5
2 0 0
1 3 0
1 3 2
7 3 6
Step2
对上三角形方程进行回代求解, 得
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然后用第i 行减去第 k行乘以 lik ,即
a
(k) ij
a
( k 1) ij
lik a
( k 1) kj
， ( j k 1, ..., n)
( k 1 ) bi( k ) bi( k1) lik bk
(i k 1, k 2,

6 x 3 2 3 x 2 ( 3 3 x 3 ) / 3 2 x (7 x x ) / 2 1 2 3 1
同解方程组: 2 x 1 x 2 x 3 7 3 x 2 3 x 3 －3 2 x 3 －6
设第k 1步计算已完成,即已计算出与 (1)式等价的方 程组A( k 1) x b( k 1) , 其中A( k 1)具有形式
(0) a11 (0) a12 (1) a22 (0) a1 n (1) a2 n ( k 1) akn ( k 1) ann
(0) b1 (1)式变为A( 0) x b 则 (0) bn
b( 0)
a 0 0
(0) 11
a
a
(0) 12 (1) 22

(1) an 2
x1 b a x 2 b ( 1 ) b (1) x a nn n n a
D D a kk
ann 0
F
消 元 过 程
D D a nn ak ,n1 (ak ,n1
n j k 1
输出失败信息 ,停
k n, n 1, ,1
akj a jn ) / akk ,
回代过程
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输出a k ,n1(即xk )(k 1,, n),系数行列式D, 结束
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a11
... a1i
高斯顺序消去法流程图
输入方程阶数n, 增广矩阵a(n, n 1), k 1, D 1
akk 0 F i k 1,, n,
k=k+1
aik aik / akk
输出失败信息 ,停
j k 1,, n, n 1, aij aij aik akj

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Step 3：继续上述过程, 且设 aii（i-1）≠0(i=1,2,…,n-1),直 到完成第 n-1 次消元, 最后得到与 A(0)x=b(0) 等价的三角 形方程组 A(n-1)x=b(n-1).
A( n1) x b( n1)
(2)
(0) 1 (1) 2
a
下面我们来一般性地讨论求解n阶线性方程组的 高斯顺序消去法.
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消元
( 0) 令A( 0) A (aij )nn ,b ( 0 )
(0) (0) (0) (0) a11 a12 a1 b n 1 (0) (0) A A , b b (0) (0) (0) (0) a a a n2 nn n1 bn ( 0) ( 0) (0) 0 ，计算因子 li 1 ai 1 / a11 (i 2, ..., n) Step 1：设 a11 将增广矩阵/* augmented matrix */ 第 i 行 li1 第1行，得到 与(1)式等价的方程组
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将(1)式化为(2)式的过程称为消元过程.
回代
求解三角形方程组(2), 得求解公式:
( n 1) b n x ( n 1) n ann n ( k 1) ( k 1) ( b a xj) k kj j k 1 ( k 1) xk a kk
回代求解x2 1, x1 0 ? 若将1， 2两行互换得
0.200010 0.100010 0.300010 r2 0.5105 r1 0.100010－4 0.100010 0.100010 0.200010 0.100010 0.300010 x2 1, x1 1 0 0.100010 0.100010 16
若 A 0, 解存在且唯一.
Cramer(克莱姆)法则
定理：如果线性方程组 a11 x1 a1n xn b1 a x a x b nn n n n1 1 的系数行列式非零，即
a11 a1n | A | 0 an1 ann