22.2．3 因式分解法 知识点一 因式分解法解一元二次方程 （1）把一元二次方程的一边化为 0，而另一边分解成两个一 次因式的积，进而转化为求两个一元一次方程的解，这种解方 程的方法叫做因式分解法. （2）因式分解法的详细步骤： ①移项，将所有的项都移到左边，右边化为 0； ②把方程的左边分解成两个因式的积，可用的方法有提公因 式、平方差公式和完全平方公式； ③令每一个因式分别为零，得到一元一次方程； ④解一元一次方程即可得到原方程的解. 知识点二 用合适的方法解一元一次方程
知识点一 列一元二次方程解应用题的一般步骤：
（1）审：是指读懂题目，弄清题意，明确哪些是已知量，哪
些是未知量以及它们之间的等量关系.
（2）设：是指设元，也就是设出未知数.
（3）列：就是列方程，这是关键步骤,一般先找出能够表达应
用题全部含义的一个相等含义，然后列代数式表示这个相等关
系中的各个量，就得到含有未知数的等式，即方程. （4）解：就是解方程，求出未知数的值. （5）验：是指检验方程的解是否保证实际问题有意义，符合 题意. （6）答：写出答案. 知识点二 列一元二次方程解应用题的几种常见类型 （1）数字问题 三个连续整数：若设中间的一个数为 x，则另两个数分别为 x-1， x+1. 三个连续偶数（奇数）：若中间的一个数为 x，则另两个数分 别为 x-2,x+2.
由于抛物线 y ax2 bx c 的对称轴是直线 x b ，故 2a
如果b 0时，对称轴为 y 轴； 如果 b 0 （即a 、b 同号）时，对称轴在 y 轴左侧；
a
如果 b 0（即a 、b 异号）时，对称轴在 y 轴右侧. a
③c的大小决定抛物线 y ax2 bx c 与 y 轴交点的位置 当 x 0时，y c ，所以抛物线 y ax2 bx c 与 y 轴有且只有一个交点（0， c ），故 如果c 0，抛物线经过原点； 如果c 0 ,与 y 轴交于正半轴；
③交点式：
.已知图象与 轴的交点坐标 、 ，通常
选择交点式.
（4）求抛物线的顶点、对称轴的方法
①公式法： ，∴顶点是 ，对称 y ax2 bx c a x
b
2
4ac
b2
（ b ，4ac b2 ）
2a
4a
2a 4a
轴是直线 x b . 2a
②配方法：运用配方的方法，将抛物线的解析式化为 y ax h2 k
三位数的表示方法：设百位、十位、个位上的数字分别为 a,b,c，
则这个三位数是 100a+10b+c. （2）增长率问题 设初始量为 a，终止量为 b，平均增长率或平均降低率为 x， 则经过两次的增长或降低后的等量关系为 a(1 x)2 b
（3）利润问题 利润问题常用的相等关系式有：①总利润=总销售价-总成本； ②总利润=单位利润×总销售量；③利润=成本×利润率 （4）图形的面积问题 根据图形的面积与图形的边、高等相关 元素的关系，将图形的面积用含有未知数的代数式表示出来， 建立一元二次方程.
（2）一元二次方程求根公式的推导过程，就是用配方法解一 般形式的一元二次方程 ax2 bx c 0(a 0) 的过程. （3）公式法解一元二次方程的具体步骤： ①方程化为一般形式： ax2 bx c 0(a 0)，一般 a 化为正值 ②确定公式中 a,b,c 的值，注意符号； ③求出b2 4ac 的值； ④若 b2 4ac 0 则把 a,b,c 和 b-4ac 的值代入公式即可求解， b2 4ac 0 ，则方程无实数根. 知识点二 一元二次方程根的判别式 式子 b2 4ac 叫做方程 ax2 bx c 0(a 0) 根的判别式，通常用希腊字 母△表示它，即 b2 4ac ,
22.2.2 公式法 知识点一 公式法解一元二次方程 （1）一般地，对于一元二次方程 ，如果 ax2 bx c 0(a 0) b2 4ac 0 ， 那么方程的两个根为 x b b2 4ac ，这个公式叫做一元二次方
2a
程的求根公式，利用求根公式，我们可以由一元二方程的系数 a,b,c 的值直接求得方程的解，这种解方程的方法叫做公式法.
方程有两个 相等实数解
方程没有实 数解
6.拓展：关于直线与抛物线的交点知识 （1） y 轴与抛物线 y ax2 bx c 得交点为(0,c) . （2）与 y 轴平行的直线 x h 与抛物线 y ax2 bx c 有且只有一个交 点( h , ah 2 bh c ). （3）抛物线与 x 轴的交点二次函数 y ax2 bx c 的图像与 x 轴的两 个交点的横坐标 x1、x2 ，是对应一元二次方程 ax2 bx c 0的两个实 数根.抛物线与 x 轴的交点情况可以由对应的一元二次方程的 根的判别式判定： ①有两个交点 0 抛物线与 x 轴相交；
a
0
时，抛物线开口向上，对称轴为
x
b 2a
，顶点坐标为
b 2a
，
当 x b 时，y 随 x的增大而减小；当 x b 时，y 随 x的增大而增大；
2a
2a
当 x b 时， y 有最小值 4ac b2 ．
2a
4a
（2）当a0 时，抛物线开口向下，对称轴为 x b ，顶点坐标为 2a
．
若 一 元 二 次 方 程 x2 px q 0 的 两 个 根 为 x1 , x2 则 有
x1 x2 p , x1x2 q
若 一 元 二 次 方 程 ax2 bx c 0(a 0) 有 两 个 实 数 根 x1 ， x2 则 有
x1
x2
b a
, x1x2
c a
22.3 实际问题与一元二次方程
（1）二次函数基本形式 y ax2 的图象与性质：a 的绝对值越大， 抛物线的开口越小
（2） y ax2 c 的图象与性质：上加下减
（3） y ax h2 的图象与性质： 的图象与性质
3. 二次函数 y ax2 bx c 的图像与性质
（1）当
22.2 降次——解一元二次方程 22.2.1 配方法
知识点一 直接开平方法解一元二次方程 （1）如果方程的一边可以化成含未知数的代数式的平方，另 一边是非负数，可以直接开平方.一般地，对于形如 x2 a(a 0) 的 方程，根据平方根的定义可解得 x1 a x2 a . （2）直接开平方法适用于解形如 x2 p 或（mx a）2 p(m 0) 形式的方 程，如果 p≥0，就可以利用直接开平方法. （3）用直接开平方法求一元二次方程的根，要正确运用平方 根的性质，即正数的平方根有两个，它们互为相反数；零的平 方根是零；负数没有平方根. （4）直接开平方法解一元二次方程的步骤是：①移项；②使 二次项系数或含有未知数的式子的平方项的系数为 1；③两边 直接开平方，使原方程变为两个一元二次方程；④解一元一次 方程，求出原方程的根. 知识点二 配方法解一元二次方程
如果c 0 ,与 y 轴交于负半轴.
知识点三：二次函数与一元二次方程的关系
5.函数 y ax2 bx c ，当 y 0 时，得到一元二次方程 ax2 bx c 0 ，那么
一元二次方程的解就是二次函数的图象与 x轴交点的横坐标，
因此二次函数图象与 x轴的交点情况决定一元二次方程根的情
况.
b 2a
，4ac 4a
b2
当 x b 时，y 随 x的增大而增大；当 x b 时，y 随 x的增大而减小；
2a
2a
当 x b 时， y 有最大值 4ac b2 ．
2a
4a
4. 二次函数常见方法指导
（1）二次函数 y ax2 bx c 图象的画法
①画精确图 五点绘图法（列表-描点-连线）
利用配方法将二次函数 y ax2 bx c 化为顶点式 y a(x h)2 k ，确定其开
口方向对称轴及顶点坐标，然后在对称轴两侧，左右对称地描
点画图.
②画草图 抓住以下几点：开口方向，对称轴，与 x 轴的交点，
顶点.
（2）二次函数图象的平移
平移步骤：
① 将抛物线解析式转化成顶点式 y axh2 k ，确定其顶点坐标
向右(h>0)【或左(h<0)】 平移|k|个单位
向上(k>0)【或下(k<0)】平移|k|个单位
y=a(x-h)2+k
平移规律：概括成八个字“左加右减，上加下减”．
（3）用待定系数法求二次函数的解析式
①一般式：
.已知图象上三点或三对（x, y），的值，通常
选择一般式.
②顶点式：
.已知图象的顶点或对称轴，通常选择顶点式.
通过配成完全平方形式来解一元二次方程的方法，叫做配方 法，配方的目的是降次，把一个一元二次方程转化为两个一元 一次方程来解. 配方法的一般步骤可以总结为：一移、二除、三配、四开. （1）把常数项移到等号的右边； （2）方程两边都除以二次项系数； （3）方程两边都加上一次项系数一半的平方，把左边配成完 全平方式； （4）若等号右边为非负数，直接开平方求出方程的解.
第二十二章 二次函数 知识点一：二次函数的定义 1.二次函数的定义： 一般地，形如 y ax2 bx c（ a，b，c 是常数，a 0 ）的函数，叫做二次 函数． 其中 a 是二次项系数，b 是一次项系数，c 是常数项． 知识点二：二次函数的图象与性质抛物线的三要素：开口、 对称轴、顶点 2.二次函数 y ax h2 k 的图象与性质
方法名称 直接开平方法
配方法 公式法 因式分解法
理论依据 平方根的意义
适用范围 形如 或 x2 p （mx n）2 p( p 0)
完全平方公式
所有一元二次方程
配方法
所有一元二次方程
当 ab=0，则 a=0 或 b=0 一边为 0，另一边易于分解成两个一
次因式的积的一元二次方程.
22.2. 4 一元二次方程的根与系数的关系（了解）
； h，k