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文档之家› 高等数学同济第六版上 答案解析第六章
高等数学同济第六版上 答案解析第六章
t
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9 求位于曲线 y=ex 下方该曲线过原点的切线的左方以及 x 轴上 方之间的图形的面积 解 设直线 ykx 与曲线 yex 相切于 A(x0 y0)点 则有
y0 kx0 x y0 e 0 x y( x0 ) e 0 k
积的最小值为
11 把抛物线 y24ax 及直线 xx0(x00)所围成的图形绕 x 轴旋转 计算
ww
因此 抛物线与过焦点的弦所围成的图形的面
A0 2
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w.
显然当 时 A10 当 时 A10 2 2
(2)
A 0 (e e x )dx (ex e x )|1 0 1
1
e dy e (e 1) 1 A 1 ln ydy y ln y |1 1
e
(3)
ww
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12 由 yx3 x2 y0 所围成的图形 分别绕 x 轴及 y 轴旋转 计算所得两个旋转体的体积
0
ww
的体积
解 由对称性 所求旋转体的体积为
w.
13 把星形线 x2/ 3 y 2 / 3 a 2/ 3 所围成的图形 绕 x 轴旋转 计算所得旋转体
tt
a 2 0
32 3 3 y5 64 0 5 5
tt
a
(2) y ach x x0 xa y0 绕 x 轴 a
w.
解 V y 2 ( x)dx a2ch 2 x dx 0 0 a
a
le
1 1 1 解 V ydy ( y 2 )2 dy ( 1 y 2 1 y 5 ) 0 3 0 0 2 5 10
w.
tt
e
解法二 画斜线部分在 y 轴上的投影区间为[1 e] 所求的面积为
le
解法一 画斜线部分在 x 轴上的投影区间为[0 1] 所求的面积为
ar
n.
ne
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解 画斜线部分在 x 轴上的投影区间为[3 1] 所求的面积为
ar
令x au
(1) y x2 x y 2 绕 y 轴
ww
a 4
3 1
a3 ( 1 e2u 2u 1 e2u ) 1 2u 2u ( e 2 e ) du 0 0 4 2 2
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w.
1604 cos2 tdt 8 2 4 3 3
tt
le
ar
32 A 1(2x 3 x 2 )dx ( x 2 3x 1 x3)|3 1 3 3
两切线的交点为 ( 3 , 3) 所求的面积为 2
3 3
解
p 3p 法线的方程为 y p (x ) 即 x y 2 2
ww
2yy2p
p p 在点 ( , p) 处 y ( p , p) 1 法线的斜率 k1 y 2 2
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8 求下列各曲线所围成图形的公共部分的面积 (1)3cos 及1cos 解
(2) 2 sin 及 2 cos 2
解
ww
曲线 2 sin 与 2 cos 2 的交点 M 的极坐标为 M ( 2 , ) 所求的面积为 2 6
A 2[ 1 06 ( 2 sin )2 d 1 4 cos 2d ] 1 3 2 2 6 6 2
a
0
tt
A A0 A1
a 2axdx 8 a x3 8 a2 0 3 3
le
过焦点的弦所围成的图形的面积为
ar
n.
ne
t
所求面积为
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所得旋转体的体积 解 所得旋转体的体积为
2 V y 2dx 4axdx 2a x2 00 2ax0 x 0 0 x0 x0
5 求由下列各曲线所围成的图形的面积 (1)2acos 解
所求的面积为
A 1 2 (2a cos )2 d 4a 2 02 cos2 d a2 2 2
ww
所求的面积为
a
w.
tt
A 40 ydx 4 (a sin 3 t)d (a cos3 t) 4a 2 02 3 cos2 t sin 4 tdt
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习题 62 1 求图 621 中各画斜线部分的面积 (1)
解 画斜线部分在 x 轴上的投影区间为[0 1] 所求的面积为
3 1 A 0 ( x x)dx [ 2 x 2 1 x 2 ]1 1 . 3 2 0 6
绕 y 轴旋转所得旋转体的体积为
n.
Vx y 2dx x6dx 1 x7 0 128 0 0 7 7
2 2 2
ne
解 绕 x 轴旋转所得旋转体的体积为
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4 2 2 4 a 2 (a2 3a 3 x 3 3a 3 x 3 x2 )dx 32 a3 0 105
2 0
12a 2[02 sin 4 tdt 02 sin 6 tdt] 3 a 2 8
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le
ar
(2)xacos3t, yasin3t; 解
n.
ne
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w.
tt
le
ar
n.
A 2[ 1 03 (1 cos )2 d 1 2 (3 cos )2 d ] 5 2 2 3 4
ne
曲线3cos 与1cos交点的极坐标为 A( 3 , ) B( 3 , ) 由对称性 所求的面积为 2 3 2 3
1
ww
(4)y=ln x, y 轴与直线 y=ln a, y=ln b (b>a>0). 解
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w.
所求的面积为
tt
le
ar
n.
(3) yex yex 与直线 x1 解
ne
(3)=2a(2+cos ) 解
所求的面积为
w.
所求的面积为
A 0
2a
tt
2a 2a
ydx 0 a(1 cos t)a(1 cos t)dt a 2 0 (1 cos t)2 dt
ww
a 2 0 (1 2 cos t 1 cos t )dt 3a 2 2
n.
2 2 A 0 1 [2a(2 cos )]2 d 2a 2 0 (4 4 cos cos2 )d 18a 2 2
ne
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所求的面积为
2 A 1 (ae )2 d 1 a 2 e2 d a (e2 e 2 ) 2 2 4
A ( x 1 )dx 3 ln 2 1 x 2
2
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所求的面积为
A ln a e y dy e y ln a b a
ln b ln b
3 求抛物线 yx24x3 及其在点(0 3)和(3 0)处的切线所围成的图形的面积 解
8
V 2 y 2dx 2 (a 3 x 3 )3dx
0
a
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le
2
Vy 22 8 x2dy 32 y 3 dy
0
8
ar
8 2
求得 x01 y0e ke
(e y ln y)dy 2e y
0
e
1
1
2e 0
yln y 0 y 1 dy e 0 y 2
e e
10 求由抛物线 y24ax 与过焦点的弦所围成的图形的面积的最小值 解 设弦的倾角为 由图可以看出 抛物线与
3
n.
ne
t
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(2) y 1 与直线 yx 及 x2 x
解
所求的面积为
A 0 (e x e x )dx e 1 2 e
2a
7 求对数螺线ae()及射线 所围成的图形面积 解
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ar
6 求由摆线 xa(tsin t) ya(1cos t)的一拱(0t2)与横轴所围成的图形的面积 解
14 用积分方法证明图中球缺的体积为 V H 2 (R H ) 3 证明
V
R
R H
x2 ( y)dy
R
R
RH
(R2 y 2 )dy
(R2 y 1 y3) R H H 2 (R H ) 3 3
15 求下列已知曲线所围成的图形 按指定的轴旋转所产生的旋
w.