总 习 题 六
1. 一金属棒长3m , 离棒左端xm 处的线密度为11)(+=x x ρ (kg/m ). 问x 为何值时, [0, x ]一段的质量为全棒质量的一半?
解 x 应满足⎰⎰
+=+30011211
1dt t dt t x . 因为212]12[1
100-+=+=+⎰x t dt t x x , 1]12[2111213030=+=+⎰t dt t , 所以 1212=-+x ,
4
5=x (m). 2. 求由曲线ρ=a sin θ, ρ=a (cos θ+sin θ)(a >0)所围图形公共部分的面积.
解
⎰++⋅=432
222)sin (cos 21)2(21ππθθθπd a a S 2432224
1)2sin 1(28a d a a -=++=⎰πθθπππ. 3. 设抛物线c bx ax y ++=2通过点(0, 0), 且当x ∈[0, 1]时, y ≥0. 试确定a 、b 、c 的值, 使得抛物线c bx ax y ++=2与直线x =1, y =0所围图形的面积为9
4, 且使该图形绕x 轴旋转而成的旋转体的体积最小. 解 因为抛物线c bx ax y ++=2通过点(0, 0), 所以c =0, 从而 bx ax y +=2.
抛物线bx ax y +=2与直线x =1, y =0所围图形的面积为
23)(1
02b a dx bx ax S +=+=⎰. 令9423=+b a , 得9
68a b -=. 该图形绕x 轴旋转而成的旋转体的体积为
)235()(22102
2ab b a dx bx ax V ++=+=⎰ππ )]9
68(2)968(315[22a a a a -+-+=π. 令0)]128(181********[=-+-⋅+2=a a a d dV π, 得3
5-=a , 于是b =2. 4. 求由曲线2
3x y =与直线x =4, x 轴所围图形绕y 轴旋转而成的旋转体的体积.
解 所求旋转体的体积为
πππ7512722240274023=⋅=⋅=⎰x dx x x V . 5. 求圆盘1)2(22≤+-y x 绕y 轴旋转而成的旋转体的体积. 解 )2(1223
12⎰--⋅⋅=dx x x V π
22
224cos )sin 2(4 sin 2ππππ=+=-⎰-tdt t t x 令.
6. 抛物线22
1x y =被圆322=+y x 所需截
下的有限部分的弧长.
解 由⎪⎩⎪⎨⎧==+2222
13x y y x 解得抛物线与圆的两个交点为)1 ,2(-, )1 ,2(, 于是所求的弧长为
202220
2
])1ln(2112[212x x x x dx x s ++++=+=⎰ )32ln(6++=.
7. 半径为r 的球沉入水中, 球的上部
与水面相切, 球的比重与水相同, 现将球
从水中取出, 需作多少功?
解 建立坐标系如图. 将球从水中取
出时, 球的各点上升的高度均为2r . 在x 处取一厚度为dx 的薄片, 在将球从水中取出的过程中, 薄片在水下上升的高度为r +x , 在水上上升的高度为r -x . 在水下对薄片所做的功为零, 在水上对薄片所做的功为 dx x r x r g dW ))((22--=π,
对球所做的功为
g r x d x r x r g W r
r 22234))((ππ=--=⎰-. 8. 边长为a 和b 的矩形薄板, 与液面成α 角斜沉于液体内, 长边平行于液面而位于深h 处, 设a >b , 液体的比重为ρ,
试求薄板每面所受的压力.
解 在水面上建立x 轴, 使长边与x 轴在同一垂面上, 长边的上端点与原点对应. 长边在x 轴上的投影区间为[0, b cos α], 在x 处x 轴到薄板的距离为h +x tan α. 压力元素为
dx x h ga dx a x h g dP )tan (cos cos )tan (αα
ρααρ+=⋅⋅+⋅=, 薄板各面所受到的压力为
)sin 2(2
1)tan (cos cos 0αρααραb h gab dx x h ga P b +=+=⎰. 9. 设星形线t a x 3cos =, t a y 3sin =上每一点处的线密度的大小等于该点到原点距离的立方, 在原点O 处有一单位质点, 求星形线在第一象限的弧段对这质点的引力.
解 取弧微分ds 为质点, 则其质量为
ds y x ds y x 322322)()(+=+, 其中tdt t a dt t a t a ds cos sin 3])sin [(])cos [(2323='+'=.
设所求的引力在x 轴、y 轴上的投影分别为F x 、F y , 则有 ⎰+⋅++⋅⋅=2
02
222322)()(1πds y x x y x y x G F x 2204253sin cos 3Ga tdt t Ga ==⎰π, ⎰+⋅++⋅⋅=202222322)()(1π
ds y x y y x y x G F x 2204253sin cos 3Ga tdt t Ga ==⎰π, 所以)5
3 ,53(22Ga Ga =F .。