运用数学方法研究铸件和铸型的传热，主要是利用传热学 原理，建立表征凝固过程传热特征的各物理量之间的方程式，
即铸件和铸型的温度场数学模型并加以求解。
凝固是一个相当复杂的过程，涉及到传热、传质、相变等各
种复杂的初始和边界条件。要建立一个符合实际情况的微分方
程式很困难，即使建立了微分方程式也未必能够求解。因此， 用数学分析法研究凝固过程时，必须对过程进行合理的简化。
(2) 数学解析法
理论根据：压力恒定时，金属状态是温度的函数。 方法：建立数学解析式直接求解。是用数值计算法分析热流 传递规律，预测凝固过程。 优点：能得出温度场、凝固区域及变化规律。 缺点：计算复杂，只对形状简单的铸坯有效；需要做大量假 设，影响其精确性；需要有关热物性参数；难以直观反映固-液
界面的形貌。
第一章 凝固过程的传热
第一节 凝固过程的传热特点 第二节 非金属型、金属型铸造的凝固传热
第三节 凝固区域的结构和液态金属的凝固方式
第四节 凝固方式与铸件宏观组织
第一节 凝固过程的传热特点
合金从液态转变成固态的过程，称为一次结晶或凝固。
一次结晶和“凝固”这两个术语虽然指的是同一个状态变化
过程，但它们的含意是有区别的。
一次结晶是从物理化学观点出发，研究液态金属的生核、长
大、结晶组织的形成规律。 凝固则是从传热学观点出发，研究铸件和铸型的传热过程、 铸件断面上凝固区域的变化规律、凝固方式与铸件质量的关 系、凝固缺陷形成机制等。
凝固过程的传热特点：“一热、二迁、三传”
“一热”指热量的传输是第一重要；
“二迁”指存在两个界面，即固－液相间界 面和金属－铸型间界面。 “三传”动量传输、质量传输和热量传输的 三传耦合的三维热物理过程。
二、凝固区域的结构
铸件在凝固过程中，除纯
Ⅲ区 Ⅱ区 Ⅰ区
金属和共晶成分合金外，断面
上一般都存在三个区域，即固 相区，凝固区和液相区。铸件 的质量与凝固区域有密切的关 系。
图7是凝固区域结构示意图，
其中凝固区域由倾出边界和补 缩边界又分割成三个区域。
Ⅰ区（从液相边界到倾出边界）。这个区的特征为固相处 于悬浮状态而未连成一片，液相可以自由移动，用倾出法做试 验时，固体能够随液态金属一起被倾出。 Ⅱ区（从倾出边界到补缩边界），这个区的特征为固相已 经连成骨架，但液相还能在固相骨架间自由移动，这时某一部 位的体积收缩能够得到其它部位液体的补充，而不至于产生缩 孔或缩松。 Ⅲ区（从补缩边界到固相边界）这个区的特征为固相不但 连成骨架而且已经充分长大，存在于固相间隙中的少量液体被 分割成一个个互不沟通的小“溶池”。这时液体再发生凝固收 缩，不能得到其它液体的补缩。 根据以上的分析可以看出，对铸坯质量影响最大的是Ⅲ区 的宽度。可以推断凝固区域越宽，则Ⅲ区的宽度也就越宽。
边界元法等，这些方法各有特点。
以有限差分法为例，介绍如下：
微分方程转变为差分方程
向前差分
网格傅立叶数
温度对时间向后差分
凝固潜热
铸件－铸型界面模型
边界条件
初始条件
轴对称问题的差分方程
单元热平衡法建Βιβλιοθήκη 差分方程3、温度场的实测法
铸件温度场实测法的示意图如图4所示。 将一组热电偶的热端固定在型腔中的不同位置，利用多点自 动记录电子电位计作为温度测量和记录装置，即可记录自金属液 注入型腔起至任意时刻铸件断面上各测温点的温度-时间曲线(图 5a)。根据该曲线可绘制出铸件断面上不同时刻的温度场（图5b）
和铸件的凝固动态曲线。
第三节 凝固区域的结构 和液态金属的凝固方式
一、凝固动态曲线
图6为凝固动态曲线，它是根据直接测量的温度— 时间曲线绘
制的。首先在图6a上给出合金的液相线tl和固相线温度ts，把二 直线与温度—时间相交的各点分别标注在图6b的(x/R ，τ)坐标 系上，再将各点连接起来，即得凝固动态曲线。 纵坐标x是铸件表面向中心方向的距离，R是铸件壁厚之半或圆 柱体和球体的半径。由于凝固是从铸件壁两侧同时向中心进行， 所以当x / R=1时表示已凝固至铸件中心。 图6c为根据凝固动态曲线绘制的自测温度开始后2分20秒的凝固 状况。根据凝固动态曲线可以获得任一时刻的凝固状态。
(6) 激冷法（液淬法）
方法：将多个一定尺寸的试样，隔一定时间淬入水中，然后在金相显微镜 下观察其凝固组织 。 优点：既可得到某一时刻凝固区域的大小，又可得到组织、界面形貌。 缺点：固相在液淬时也会发生异常相变。在液淬过程中，凝固还在进行。 不能研究大体积金属的凝固过程。
(7) 模拟物质法
方法：用蛋白质、盐溶液等模拟金属凝固过程，直接观察。 优点：信息量大，研究方便。 缺点：模拟物质是否能全面真实反映金属凝固过程还需要认证。
金属凝固方式与金属化学成分及外部条件的 关系如图11所示：
第四节 凝固方式与铸件宏观组织
从凝固区域的结构分析可知，铸件的致密性 和健全性与合金的凝固方式密切相关，而影
响凝固方式的因素为结晶温度范围和铸件断
面的温度梯度。
一、化学成分、结晶温度范围与铸件质量的关系
化学成分决定了合金结晶的温度范围。纯金属和共晶成
三、界面温度Ti
四、凝固系数φ
五、虚拟凝固层厚度S0
换热系数hi ，通过实验测得：
s,t
β
hi
s0
φ
Ti
Ts
Tm
2、 数值计算法
计算机的出现为解决数值计算法计算量大的问题提供了有力 的工具。因此近十年来，凝固过程的数值模拟有了很大的进展。 金属凝固过程传热、传质及流动的耦合模拟，已经能够作为 预测和控制铸件质量的依据。 导热微分方程的数值解法主要有有限差分法、有限单元法、
(8) 彩色金相法
方法：利用凝固层推进过程中位置不同，成分也不同的特点，用彩色金相 对已经凝固的合金做特种处理，可得到其凝固过程的动态描述。 优点：可视形貌 。 缺点：由于找不到合适的处理方法，不总是有效。
第二节
非金属型、金属型铸造的凝固传热
1．数学解析法(mathematical analysis method)
(3) 数值模拟法
方法：将数学解析方程离散为差分方程，进行求解。近年
来随着计算机的普及而发展较快。 优点：能得出温度场、凝固区域及其变化规律。相对于数 学解析法，可解更复杂的函数式。 缺点：需要做大量假设，影响其精确性。需要有关热物性 参数。难以直观反映固-液界面形貌。
(4) 多点热分析法——凝固曲线法
分合金在凝固时，由于结晶温度范围是零，因此没有液固共存
的凝固区，以逐层方式凝固，其凝固前沿直接与液态金属接触。
当液态凝固成为固体而发生体积收缩时，可以不断地得到液体 的补充，所以产生分散性缩松的倾向性很小，而是在铸件最后
三、凝固方式
一般将金属的凝固方式分为三种类型； 逐层凝固方式； 体积凝固方式或称糊状凝固方式； 中间凝固方式； 凝固方式取决于凝固区域的宽度,而凝固区域的宽 度取决于合金的结晶温度范围和冷却强度。
逐层凝固方式
图8a为恒温下结晶的纯金属或共晶成分合金（图8a）。某瞬 间的凝固情况。tC是结晶温度，T1和T2 是铸件断面上两个不 同时刻的温度场。从图中可观察到，恒温下结晶的金属，在凝 固过程中其铸件断面上的凝固区域宽度为零。断面上的固体和 液体由一条界线（凝固前沿）清楚地分开。随着温度的下降， 固体层不断加厚，逐步达到铸件中心。
内容提要
第一章：凝固过程的传热 第二章：凝固热力学 第三章：凝固动力学 第四章：单相合金的凝固
第五章：多相合金凝固
第六章：金属凝固组织的控制 第七章：凝固过程中液态金属的流动 第八章：金属中的气体与气孔 第九章：缩孔和缩松
第十章：铸造应力
参考书
1. 金属凝固原理（第2版），胡汉起主编，北京：机械工业出版社，2000 2. Merton C. Flemings, Solidification processing, New York : McGraw-Hill, 1974. 凝固过程 (美) 弗莱明斯 著 关玉龙 等译，北京 : 冶金工业出版社, 1981 3. Fundamentals of solidification / W. Kurz, D.J. Fisher. Rockport, MA : Trans Tech Pub., 1986. 库尔. 费希尔 著 毛协民 等译，凝固原理，西安 : 西北工业大学出版社, 1987 4. I. Minkoff., Solidification and cast structure, Chichester : Wiley, c1986. 5. 周尧和、胡壮麒、介万奇编著，凝固技术，北京 : 机械工业出版社, 1998 6. (日) 大野笃美 著 唐彦斌, 张正德，金属凝固学，北京 : 机械工业出版社, 1983 7. Davies, G. J. , Solidification and casting , London : Applied Science Publishers Ltd., 1973. (英)戴维斯 著 陈邦迪, 舒震 译，凝固与铸造，北京 : 机械工业出版社, 1981 8.Tiller, William A., The science of crystallization : microscopic interfacial phenomena, Cambridge [England] : Cambridge University Press, 1991.
方法：实测不同部位铸坯温度随时间变化的曲线，据 此得到凝固动态曲线、温度场等。 优点：结果可靠。 缺点：不能反映固-液界面组织、界面形貌。有些情况 下实测困难。
(5) X-射线衍射法
方法：用X-射线直接观察、记录凝固过程。 优点：将不透明的金属透视，可直接观察其形貌。 缺点：只有固、液两相对X-射线的减弱系数有较大差 别时才有效。对金属厚度有限制。
如果合金（图8b）。的结晶温度范围很小，或断面温度梯度