E kT
1 e E kT
E kT
=0
而分子速率为 vp 时，它具有的能量为： 1 m v 2 1 m ( 2kT )2 = kT E p p= E= m 2 2
结束
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6-9 设N个粒子的系统的速率分布函数为： d Nv = k dv ( V > v > 0，k 为常量 ) d Nv = 0 (v >V ) (1)画出分布函数图； (2)用N和V定出常量K； (3)用V表示出算术平均速率和方均根速率。
d NE =
2N (kT )
d NE 2N (kT ) Ee = dE π d ( d NE ) 最可几能量可由 dE dE = 0 E 1 1( ) e kT E 1 e 即： E kT 2
3 2
π
3 2
Ee
E kT
dE
E kT
得到
E kT
=0
结束
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1 1( E) e 2 1 ∴ E p = kT 2
结束
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6-4 20个质点的速率如下： 2个具有速率v0, 3个具有速率2v0, 5个具有速率3v0, 4个具有速率4v0, 3个具有速率5v0, 2个具有速率6v0, 1个具有速率7v0。 试计算: (1)平均速率； (2)方均根速率； (3)最概然速率。
结束
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解： Σ vi N i v= N
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6-5 计算在300K温度下，氢、氧和水银 蒸汽分子的方均根速率和平均平动动能。
结束
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解：(1)
32×10-3 kg/mol Mo = MH = 2×10-3 kg/mol 202×10-3 kg/mol MHg =
2 2
2 vH =
2
3 RT v = M
2
vo2 =
2
2 vHg =
(1)平均平动动能 3 3 Ek = kT = ×1.38×10-23×300 2 2 = 6.21×10-21 J
10 ) ( 2182 10 ) ( 2182
(
2182 2 ) 2182
Δ n1 3000 )2 e =( = 0.78 3000 2182 e (2182 ) Δ n2
2
结束
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6-11 求氢气在 300K 时 分 子 速 率 在 vp-10m/s 与 vp+10m/s 之间的分子数所 占的百分比。
2
vF
1 m v 2 v 1 m v 2 dN w= = 0 2 N 2
F
1m 4 A π =2 N

vF
0
1m 4 A 1v 5 π 4 dv = v F 2 N 5
2
结束
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解：
8k T 2 2k T v = = πm πm 1 ) ∞ ( 1 ) f ( v)dv ( v = 0 v mv ∞ 1) m 3 2 e 2k T v 2 v d π π = 0 ( v 4 ( 2 kT )
2
m 32e π π = 0 4 ( 2 kT ) m 3 2 2kT π π = 4 ( 2 kT ) ( ) 2m 2 ( mπ )1 2 4 1 = π 2 kT =π v
2
速率在vp-vp+10 m/s之间的分子数为：
4 n ( 2182 )2 e Δ n 2= π 2182
(
2182 2 ) 2182
10 ) ( 2182
结束
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4 n ( 3000 )2 e Δ n 1= π 2182 4 n ( 2182 )2 e Δ n 2= π 2182
∴
(
3000 2 ) 2182
6-1 有一水银气压计，当水银柱为0.76 m高时，管顶离水银柱液面为0.12m。管的 截面积为2.0×10-4 m2。当有少量氮气混入 水银管内顶部，水银柱高下降为0.60m。此 时温度为270C，试计算有多少质量氮气在 管顶？（氮气的摩尔质量为0.004kg/mol, 0.76m水银柱压强为1.013×105Pa）
3× 8.31×300 2×10-3 3× 8.31×300 32×10-3 3× 8.31×300 202
= 1934m/s
=
=
484m/s
193m/s
结束
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6-6 求速度大小在vp与1.01vp之间的气 体分子数占总分子数的百分比.
结束
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解：将麦克斯韦速率分布公式改写为： v 4 n x 2e -x x 式中 x = Δ n= Δ vp π
2v0+ 6v0 +15v0+ 16v0+ 15v0+12v0 + 7v0 v= 20
Σ v 2N i i 2 v = N =
2 v 0 2 +3(2v0)2 +5(3v0)2 +4(4v0)2 +3(5v0)2 +2(6v0)2 + ( 7 v 0 ) 2 20
= 3.99v0 vp = 3v0
结束
结束
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解： T = 273 + 300 = 573K
2 RT vp = = MH
2
2×8.31×573 2182 m/s = 0.002 4 n x 2e -x x Δ n= Δ π
2
速率在3000-3010m/s之间的分子数为： 3000 4 n ( 3000 )2 e (2182 ) ( 10 ) Δ n 1= π 2182 2182
2 1 - x2 = p 0e dx 0.847

2 ∞ - x2 = p 0e dx 1

结束
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解：(1) v= v 令 x= vp
0 v dN
0 dN
1
vp
vp
=
0 v 3e
0 v 2e
1
vp
v22 v p dv
v22 v p dv
vp
dv = vp dx
3
v=
vp 0 x e
结束
6-2 一体积为1.0×10-3 m3 的容器中， 含有4.0×10-5 kg的氦气和4.0×10-5 kg的 氢气，它们的温度为 300C，试求容器中混 合气体的压强。
结束
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T = 273+30=303 K M 1= 4.1×10-3kg/mol He的摩尔质量
解：
H2的摩尔质量 M 2= 2.0×10-3kg/mol m 1R T 4.0×10-5×8.31×303 P1 = = M 1V 4.0×10-3×1.0×10-3 = 2.52×104Pa m 2R T 4.0×10-5×8.31×303 P2 = = M 2V 2.0×10-3×1.0×10-3 = 5.04×104Pa
∞
2
0 x de
∞
-x 2
1 1) (0 e e = vp 1 π ( 1 0.84 ) 0 e 2 = 1.4 vp
结束
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6-8 遵守麦克斯韦速率分布的分子的
最概然能量Ep等于什么量值？它就是 1m v p 吗？ 2
结束
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解：设每个分子的质量为m ，则一个分子的 1m v 2 动能为： E = 2 根据麦克斯韦能量分布函数
5
结束
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6-17 导体中共有N个自由电子。电子气 中电子的最大速率vF叫费米速率。电子的速 率在 v→v+dv 的概率为: 2 4 v Adv v > v > 0 π F dN N = N v > vF 0 式中A为常量。(1)由归一化条件求A；(2)证 明电子气中电子的平均动能 3( 1m v 2 ) 3 E w= F = F 5 2 5 此处EF 叫做费米能。
结束
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6-15 求压强为1.013×105Pa、质量为 2×10-3kg、容积为1.54×10-3m3的氧气的 分子的平均平动动能。
结束
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解：
mR PV = T M
T = PVM mR
=1.013×105×1.54×10-3× = 3×102 K 3 T w= k 2
3 ×1.38×10-23×3×102 = 2
结束
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解：
Δ n 4 x 2e -x Δ x n =π
2
2 RT = vp = MH
2
2×8.31×300 1579 m/s = 0.002
2 1579-10 2 ( ) 1579
4 1579-10 e Δn n = π 1579 = 1.05%
20 1579
结束
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6-12 试求温度为T，分子质量为m的气体 1) 中分子速率倒数的平均值 ( 它是否等于 v ∞ -bu 1) 1 ( v ？ ( 提示： e udu = ) 0 2b
∞
mv 2 2k T
v dv
1) 1 ∴ ( v v
结束
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6-13 1mol氢气，在温度为270C时，它 的分子平动动能和转动动能各为多少？
结束
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解： 平动动能 3 3 ×8.31×300 E k = RT = 2 2 = 3.74×103 J 转动动能
E´ = R T = 8.31×300 k
2
Δv Δx= v p
∵ v = vp
∴ x =1
Δ v = 0.01vp
Δ n=
Δ x = 0.01
2
π
4 nห้องสมุดไป่ตู้x 2e -x
Δx
4 e -1×0.01 = 0.83% =π
结束
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6-7 求(1)速度大小在0与vp之间的气体分 子的平均速率;(2)速度大小比vp大的气体分子 的平均速率。 提示：
结束
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m1 m2 解： S P l 1= R T1 S P l 2= R T2 1 2 M M P l 1T2 m 1 1 ( l 1 = l 2) = P l 2T1 m 2 2 P1 T2 m1 1×280 7 = = = 34 m2 2×680 P2 T1 P ´ ´T2´ m 1 1 l1 = 平衡时： T1´ = T2´ P ´= P ´ 2 1 P ´ ´T1´ m 2 2 l2 l´ m1 7 1 = ´ m 2 = 34 l2