苏科版第一学期八年级数学第三次月考试卷（含解析）一、选择题1．在平面直角坐标系中，下列各点在第二象限的是（ ） A ．（3，1） B ．（3，-1） C ．（-3，1） D ．（-3，-1）2．在平面直角坐标系中，把直线34y x =-+沿x 轴向左平移2个单位长度后，得到的直线函数表达式为（ ） A ．31y x =-+ B ．32y x =-+ C ．31y x =-- D ．32y x =-- 3．若一个数的平方等于4，则这个数等于（ ） A ．2± B ．2 C ．16± D ．16 4．估计11的值应在（ ）A ．2和3之间B ．3和4之间C ．4和5之间D ．5和6之间5．若+1x 有意义，则x 的取值范围是（ ）． A ．x ＞﹣1 B ．x ≥0 C ．x ≥﹣1 D ．任意实数 6．下列各组数不是勾股数的是（ ）A ．3，4，5B ．6，8，10C ．4，6，8D ．5，12，137．如图,在ABC ∆中,90C ∠=︒,2AC =,点D 在BC 上,5AD =,ADC 2B ∠=∠,则BC的长为（ ）A ．51-B ．51+C ．31-D ．31+8．在平面直角坐标系中，点()3,2P -关于x 轴对称的点的坐标是（ ） A ．()3,2B ．()2,3-C ．()3,2-D ．()3,2--9．如图，在平面直角坐标系中，A （0，3），B （5，3），C （5，0），点D 在线段OA 上，将△ABD 沿着直线BD 折叠，点A 的对应点为E ，当点E 在线段OC 上时，则AD 的长是（ ）A ．1B ．43C ．53D ．210．在下列各数中，无理数有（ ）33224,3,,8,9,07π A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 11．下列各数中，无理数的是（ ）A ．0B ．1.01001C ．πD ．412．如图，动点P 在平面直角坐标系中按图中箭头所示方向运动，第1次从原点运动到点()1,1，第2次接着运动到点()2,0，第3次接着运动到点()3,2，···，按这样的运动规律，经过第2020次运动后，动点P 的坐标是（ ）A ．()2020,1B ．()2020,0C ．()2020,2D ．()2019,013．下列四个图案中，不是轴对称图案的是（ ） A ．B ．C ．D ．14．2的整数部分用a 表示，小数部分用b 表示，42的整数部分用c 表示，小数部分用d 表示，则b dac+值为（ ） A ．12 B ．14C ．212D ．2+1215．下列各组数是勾股数的是( ) A ．6，7，8 B ．132 C ．5，4，3D ．0.3，0.4，0.5二、填空题16．如图，在ABC ∆中，90ACB ∠=︒，点D 为AB 中点，若4AB =，则CD =_______________.17．关于x 的分式方程211x ax +=+的解为负数，则a 的取值范围是_________. 18．如图，△ABC 中，D 是BC 上一点，AC ＝AD ＝DB ，∠C ＝70°，则∠B ＝_____°．19．地球上七大洲的总面积约为149480000km 2（精确到10000000 km 2），用四舍五入法按要求取近似值，并用科学记数法为_________ km 2． 20．对于分式23x a ba b x++-+，当1x =时，分式的值为零，则a b +=__________．21．若关于x 的方程233x mx +=-的解不小于1,则m 的取值范围是_______． 22．如图，在平面直角坐标系中，已知点A(1，0)、B(0，2)，如果将线段AB 绕点B 顺时针旋转90°至CB ，那么点C 的坐标是 ．23．如图，已知直线l 1：y=kx+4交x 轴、y 轴分别于点A （4，0）、点B （0，4），点C 为x 轴负半轴上一点，过点C 的直线l 2：12y x n =+经过AB 的中点P ，点Q （t ，0）是x 轴上一动点，过点Q 作QM ⊥x 轴，分别交l 1、l 2于点M 、N ，当MN=2MQ 时，t 的值为_____．24．在△ABC 中，AB ＝AC ＝5，BC ＝6，若点P 在边AB 上移动，则CP 的最小值是_____．25．若等腰三角形的顶角为30°，那么这个等腰三角形的底角为_____°三、解答题26．求下列各式中的x ： （1）()2116x -=； （2）321x +=.27．阅读下列材料，然后解答问题： 问题：分解因式：3245x x +-.解答：把1x =带入多项式3245x x +-，发现此多项式的值为0，由此确定多项式3245x x +-中有因式()1x -，于是可设()()322451x x x x mx n +-=-++，分别求出m ，n 的值.再代入()()322451x x x x mx n +-=-++，就容易分解多项式3245x x +-，这种分解因式的方法叫做“试根法”. （1）求上述式子中m ，n 的值；（2）请你用“试根法”分解因式：3299x x x +--.28．如图，在ABC ∆中，4AB =，8BC =，AC 的垂直平分线交AC 于点D ，交BC 于点E ，3CE =，连接AE . （1）求证：ABE ∆是直角三角形； （2）求ACE ∆的面积.29．（1）如图①，小明同学作出ABC ∆两条角平分线AD ，BE 得到交点I ，就指出若连接CI ，则CI 平分ACB ∠，你觉得有道理吗？为什么？（2）如图②，Rt ABC ∆中，5AC =，12BC =，13AB =，ABC ∆的角平分线CD 上有一点I ，设点I 到边AB 的距离为d .（d 为正实数） 小季、小何同学经过探究，有以下发现： 小季发现：d 的最大值为6013. 小何发现：当2d =时，连接AI ，则AI 平分BAC ∠. 请分别判断小季、小何的发现是否正确？并说明理由.30．如图，AD ∥BC ，∠A ＝90°，E 是AB 上的一点，且AD ＝BE ，∠1＝∠2．（1）求证：△ADE ≌△BEC ；（2）若AD ＝3，AB ＝9，求△ECD 的面积．31．在长方形纸片ABCD 中，点E 是边CD 上的一点，将△AED 沿AE 所在的直线折叠，使点D 落在点F 处．（1）如图1，若点F 落在对角线AC 上，且∠BAC ＝54°，则∠DAE 的度数为 °． （2）如图2，若点F 落在边BC 上，且AB ＝6，AD ＝10，求CE 的长．（3）如图3，若点E 是CD 的中点，AF 的沿长线交BC 于点G ，且AB ＝6，AD ＝10，求CG 的长．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．C 解析：C 【解析】 【分析】由第二象限中坐标特点为，横坐标为负，纵坐标为正，由此即可判断. 【详解】A. （3，1）位于第一象限；B. （3，-1）位于第四象限；C. （-3，1）位于第二象限；D. （-3，-1）位于第三象限； 故选C. 【点睛】此题主要考察直角坐标系的各象限坐标特点.2．D解析：D 【解析】 【分析】根据左加右减,上加下减的平移规律解题. 【详解】解：把直线34y x =-+沿x 轴向左平移2个单位长度后，得到的直线函数表达式为3(2)4y x =-++,整理得：32y x =--, 故选D. 【点睛】本题考查了直线的平移变换,属于简单题,熟悉直线的平移规律是解题关键.3．A解析：A 【解析】 【分析】平方为4，由此可得出答案． 【详解】±2． 所以这个数是：±2． 故选：A ． 【点睛】本题考查了平方根的知识，比较简单，注意不要漏解．4．B解析：B 【解析】 【分析】直接利用32=9，42=16的取值范围． 【详解】 ∵32=9，42=16，在3和4之间． 故选：B ． 【点睛】本题考查了估算无理数的大小，正确得出接近无理数的有理数是解题的关键．5．C解析：C 【解析】 【分析】根据二次根式的意义可得出x +1≥0，即可得到结果． 【详解】解：由题意得：x +1≥0， 解得：x ≥﹣1， 故选：C ． 【点睛】本题主要是考查了二次根式有意义的条件应用，计算得出的不等式是关键．6．C解析：C 【解析】 【分析】根据勾股数的定义：有a 、b 、c 三个正整数，满足a 2+b 2=c 2，称为勾股数．由此判定即可． 【详解】解：A 、32+42=52，能构成勾股数，故选项错误； B 、62+82=102，能构成勾股数，故选项错误 C 、42+62≠82，不能构成勾股数，故选项正确； D 、52+122=132，能构成勾股数，故选项错误． 故选：C ． 【点睛】本题考查勾股数，解答此题要深刻理解勾股数的定义，并能够熟练运用．7．B解析：B 【解析】 【分析】根据ADC 2B ∠=∠，可得∠B=∠DAB ，即BD AD ==Rt △ADC 中根据勾股定理可得DC=1，则1. 【详解】解：∵∠ADC 为三角形ABD 外角 ∴∠ADC=∠B+∠DAB ∵ADC 2B ∠=∠ ∴∠B=∠DAB∴BD AD ==在Rt △ADC 中，由勾股定理得：DC 1===∴1 故选B 【点睛】本题考查勾股定理的应用以及等角对等边，关键抓住ADC 2B ∠=∠这个特殊条件.8．D解析：D 【解析】 【分析】根据“关于x 轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数”解答． 【详解】解：点()3,2P -关于x 轴对称的点的坐标为()3,2--． 故选：D ． 【点睛】本题考查坐标与图形变化——轴对称.熟记①关于x 轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数；②关于y 轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数.是解决此题的关键.9．C解析：C 【解析】 【分析】先根据勾股定理求出EC 的长，进而可得出OE 的长，在Rt △DOE 中，由DE=AD 及勾股定理可求出AD 的长. 【详解】解：根据各点坐标可得AB=OC=BE=5，AO=BC=3， 设AD=x ，则DE=x ，DO=3-x∴=4, ∴OE=1，在Rt △DOE 中，DO 2+OE 2=DE 2， 解得x=53， ∴AD=53， 故选C.【点睛】本题考查了勾股定理的应用，找准直角三角形，设出未知数列出方程即可解答.10．B解析：B 【解析】 【分析】先将能化简的进行化简，再根据无理数的定义进行解答即可． 【详解】，∴这一组数中的无理数有：32个． 故选：B ． 【点睛】本题考查的是无理数的定义，注意带根号的要开不尽方才是无理数，无限不循环小数为无理数．11．C解析：C【解析】 【分析】根据无理数的三种形式：①开方开不尽的数，②无限不循环小数，③含有π的数，找出无理数的个数． 【详解】解：A.0是整数，属于有理数； B.1.01001是有限小数，属于有理数； C ．π是无理数；2=，是整数，属于有理数． 故选：C ． 【点睛】本题考查了无理数的知识，解答本题的关键是掌握无理数的三种形式：①开方开不尽的数，②无限不循环小数，③含有ππ的数．12．B解析：B 【解析】 【分析】观察可得点P 的变化规律，“()()()()44 1 4243 4, 041, 1 42, 0 43, 2n n n n P n P n P n P n ++++++，，， (n 为自然数)”，由此即可得出结论. 【详解】观察， ()()()()()()0123450,01,12,0,3,2,4,0,5,1....P P P P P P ，，，， 发现规律:()()()()44 1 4243 4, 041, 1 42, 0 43, 2n n n n P n P n P n P n ++++++，，， (n 为自然数) .∵20204505=⨯∴2020P 点的坐标为()2020,0. 故选: B. 【点睛】本题考查了规律型中的点的坐标，解题的关键是找出规律“()()()()44 1 4243 4, 041, 1 42, 0 43, 2n n n n P n P n P n P n ++++++，，， (n 为自然数)”，本题属于中档题，难度不大，解决该题型题目时，根据点P 的变化罗列出部分点的坐标，再根据坐标的变化找出规律是关键.13．B解析：B 【解析】 【分析】根据轴对称的概念对各选项分析判断利用排除法求解．【详解】解：A ．此图案是轴对称图形，不符合题意；B ．此图案不是轴对称图形，符合题意；C ．此图案是轴对称图形，不符合题意；D ．此图案是轴对称图形，不符合题意；故选：B ．【点睛】本题考查了轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．14．A解析：A【解析】【分析】和4的值，确定其整数部分，再用原数减去其整数部分可得小数部分，将求得的值代入求解即可.【详解】解：∵1＜2＜4，∴1＜2．∴a ＝1，b ﹣1，∵2＜4＜3∴c ＝2，d ＝4﹣2＝2．∴b +d ＝1，ac ＝2． ∴b d ac +＝12． 故选：A ．【点睛】本题考查了实数的估算，灵活的利用估算确定无理数的整数部分与小数部分是解题的关键. 15．C解析：C【解析】【分析】欲求证是否为勾股数，这里给出三边的长，只要验证222+=a b c 即可．【详解】解：A 、222768+≠，故此选项错误；BC 、222345+=，故此选项正确；D 、0.3，0.4，0.5，勾股数为正整数，故此选项错误．故选：C．【点睛】本题考查了勾股数的概念，一般是指能够构成直角三角形三条边的三个正整数．验证两条较小边的平方和与最大边的平方之间的关系，从而作出判断．二、填空题16．【解析】【分析】根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可求出CD．【详解】∵D是AB的中点，∴CDAB=2．故答案为：2．【点睛】本题主要是运用了直角三角形的性质：直角三角形斜解析：2【解析】【分析】根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可求出CD．【详解】∵D是AB的中点，∴CD12=AB=2．故答案为：2．【点睛】本题主要是运用了直角三角形的性质：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．17．【解析】【分析】分式方程去分母转化为整式方程,由分式方程的解为负数,求出a的范围即可【详解】分式方程去分母得:2x+a=x+1解得:x=1-a,由分式方程解为负数,得到1-a<0,且1解析：12a a>≠且【解析】【分析】分式方程去分母转化为整式方程,由分式方程的解为负数,求出a的范围即可【详解】分式方程去分母得:2x+a=x+1解得:x=1-a,由分式方程解为负数,得到1-a<0,且1-a≠-1解得:a＞1且a≠2,故答案为: a＞1且a≠2【点睛】此题考查分式方程的解，解题关键在于求出x的值再进行分析18．【解析】【分析】根据等腰三角形的性质得到∠ADC=70，再根据三角形外角的性质和等腰三角形可求∠B的度数．【详解】∵AC=AD，∠C=70，∴∠ADC=∠C=70，∵AD=DB，∴∠解析：【解析】【分析】根据等腰三角形的性质得到∠ADC=70︒，再根据三角形外角的性质和等腰三角形可求∠B 的度数．【详解】∵AC=AD，∠C=70︒，∴∠ADC=∠C=70︒，∵AD=DB，∴∠B=∠BAD，∴∠B=12∠ADC=35︒．故答案为：35．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质：①等腰三角形的两腰相等；②等腰三角形的两个底角相等，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键．19．5×108【解析】试题解析：将149480000用科学记数法表示为：1.4948×108≈1.5×108．故答案为：1.5×108．点睛：科学记数法的表示形式为的形式，其中 为整数．解析：5×108【解析】试题解析：将149480000用科学记数法表示为：1.4948×108≈1.5×108．故答案为：1.5×108．点睛：科学记数法的表示形式为10n a ⨯的形式，其中110a ≤<， n 为整数． 20．-1且．【解析】【分析】根据分式的值为零的条件为0的条件可得且，则可求出的值．【详解】解：∵分式，当时，分式的值为零，∴且，∴，且故答案为：-1且．【点睛】此题主要考查了分式值为解析：-1且5233ab ，． 【解析】【分析】 根据分式的值为零的条件为0的条件可得10a b且230a b ，则可求出+a b 的值．【详解】 解：∵分式23x a b a b x++-+，当1x =时，分式的值为零， ∴10a b 且230a b ， ∴1a b +=-，且5233ab ， 故答案为：-1且5233ab ，． 【点睛】此题主要考查了分式值为零的条件，关键是掌握分式值为零的条件是分子等于零且分母不等于零，注意：“分母不为零”这个条件不能少． 21．m≥-8 且m≠-6【解析】【分析】首先求出关于x 的方程的解，然后根据解不小于1列出不等式，即可求出.【详解】解：解关于x的方程得x=m+9因为的方程的解不小于，且x≠3所以m+解析：m≥-8 且m≠-6【解析】【分析】首先求出关于x的方程233x mx+=-的解，然后根据解不小于1列出不等式，即可求出.【详解】解：解关于x的方程233x mx+=-得x=m+9因为x的方程233x mx+=-的解不小于1，且x≠3所以m+9≥1 且m+9≠3解得m≥-8 且m≠-6 .故答案为：m≥-8 且m≠-6【点睛】此题主要考查了分式方程的解，是一个方程与不等式的综合题目，重点注意分式方程存在的意义分母不为零.22．.【解析】【分析】【详解】如图，过点C作CD⊥y轴于点D，∵∠CBD+∠ABO=90°，∠ABO+∠BAO=90°，∴∠CBD=∠BAO，在△ABO与△BCD中，∠CBD=∠BAO,解析：(21)-，.【解析】【分析】【详解】如图，过点C作CD⊥y轴于点D，∵∠CBD+∠ABO=90°，∠ABO+∠BAO=90°，∴∠CBD=∠BAO，在△ABO 与△BCD 中，∠CBD=∠BAO,∠BDC=∠AOB, BC=AB ，∴△ABO ≌△BCD （AAS ）， ∴CD=OB ，BD=AO ，∵点A （1，0），B （0，2），∴CD=2，BD=1，∴OD=OB-BD=1，又∵点C 在第二象限，∴点C 的坐标是（-2，1）．23．10或【解析】【分析】先求出的值，确定的关系式，然后根据一次函数图象上点的坐标特征求得点M 、N 的坐标，由两点间的距离公式求得MN ，MQ 的代数式，由已知条件，列出方程，借助于方程求得t 的值即可；解析：10或227 【解析】【分析】先求出k n ，的值，确定12l l ，的关系式，然后根据一次函数图象上点的坐标特征求得点M 、N 的坐标，由两点间的距离公式求得MN ，MQ 的代数式，由已知条件，列出方程，借助于方程求得t 的值即可；【详解】解：把()40A ，代入到4y kx =+中得：440k +=，解得：1k =-， ∴1l 的关系式为：4y x =-+，∵P 为AB 的中点，()40A ，，()0,4B ∴由中点坐标公式得：()2,2P ，把()2,2P 代入到12y x n =+中得：1222n ⨯+=，解得：1n =， ∴2l 的关系式为：112y x =+， ∵QM x ⊥轴，分别交直线1l ，2l 于点M N 、，()0Q t ，，∴(),4M t t -+,1,12N t t ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，∴()1341322MN t t t ⎛⎫=-+-+=- ⎪⎝⎭，44MQ t t =-+=-， ∵2MN MQ =, ∴33242t t -=-， 分情况讨论得：①当4t ≥时，去绝对值得：()33=242t t --， 解得：10t =；②当24t ≤<时，去绝对值得：()33=242t t --， 解得：227t =； ③当2t <时，去绝对值得：()33=242t t --， 解得：102t =>，故舍去；综上所述：10t =或227t =； 故答案为：10或227． 【点睛】本题属于一次函数综合题，需要熟练掌握待定系数法确定函数关系式，一次函数图象上点的坐标特征，两点间的距离公式等知识点，能够表示出线段的长度表达式，合理的使用分类讨论思想是解决本题的关键，有一定的难度．24．8【解析】【分析】作BC 边上的高AF ，利用等腰三角形的三线合一的性质求BF ＝3，利用勾股定理求得AF 的长，利用面积相等即可求得AB 边上的高CP 的长．【详解】解：如图，作AF⊥BC 于点F ，作解析：8【解析】【分析】作BC边上的高AF，利用等腰三角形的三线合一的性质求BF＝3，利用勾股定理求得AF的长，利用面积相等即可求得AB边上的高CP的长．【详解】解：如图，作AF⊥BC于点F，作CP⊥AB于点P，根据题意得此时CP的值最小；解：作BC边上的高AF，∵AB＝AC＝5，BC＝6，∴BF＝CF＝3，∴由勾股定理得：AF＝4，∴S△ABC＝12AB•PC＝12BC•AF＝12×5CP＝12×6×4得：CP＝4.8故答案为4.8．【点睛】此题主要考查直角三角形的性质，解题的关键是熟知勾股定理及三角形的面积公式的运用. 25．75【解析】【分析】根据等腰三角形两个底角相等可得解．【详解】依题意知，等腰三角形两个底角相等．当顶角=30°时，两底角的和=180°-30°=150°．所以每个底角=75°．故答案解析：75【解析】【分析】根据等腰三角形两个底角相等可得解．【详解】依题意知，等腰三角形两个底角相等．当顶角=30°时，两底角的和=180°-30°=150°．所以每个底角=75°．故答案为75.考点：三角形内角和与等腰三角形性质．点评：本题难度较低．已知角为顶角，根据等腰三角形性质与三角形内角和性质计算即可．三、解答题26．（1）5x =或－3；（2）1x =-【解析】【分析】（1）根据平方根的定义求解；（2）先移项，再根据立方根的定义求解.【详解】解：（1）（x-1）2=16，x-1=±4，x=5或x=-3；（2）321x +=，x 3=-1，x=-1．【点睛】本题考查平方根与立方根，解题的关键是正确理解平方根与立方根的定义，本题属于基础题型．27．（1）5m =，5n =；（2）()()()133x x x ++-【解析】【分析】（1）先找出一个x 的值，进而找出一个因式，再将多项式设成分解因式的形式，即可得出结论；（2）先找出x=-1时，得出多项式的值，进而找出一个因式，再将多项式设成分解因式的形式，即可得出结论．【详解】解：（1）把1x =带入多项式3245x x +-，发现此多项式的值为0，∴多项式3245x x +-中有因式()1x -，于是可设322451xx x x mx n ， 得出：3232451x x x m x n m x n ，∴14m ，0n m，∴5m =，5n =， （2）把1x =-代入3299x x x +--，多项式的值为0，∴多项式3299x x x +--中有因式()1x +，于是可设322329911x x x x x mx n x m x n m x n ，∴11m +=，9n m，9n =- ∴0m =，9n =-，∴3229133991x x x x x x x x【点睛】此题是分解因式，主要考查了试根法分解因式的理解和掌握，解本题的关键是理解试根法分解因式．28．（1）详见解析；（2）185. 【解析】【分析】（1）根据线段垂直平分线性质得AE=CE=3，利用勾股定理逆定理可得；（2）作AH ⊥BC,由1122AB AE BE AH •=•可得高AH ，再求面积. 【详解】 （1）因为AC 的垂直平分线交AC 于点D ，所以AE=CE=3因为BC=BE+CE所以BE=BC-CE=8-3=5因为32+42=52所以AB 2+AE 2=BE 2所以ABE ∆是直角三角形；（2）作AH ⊥BC由（1）可知1122AB AE BE AH •=• 所以435AH ⨯=所以AH=125所以ACE ∆的面积=11121832255EC AH •=⨯⨯= 【点睛】 考核知识点：线段垂直平分线、勾股定理逆定理.理解线段垂直平分线性质和勾股定理逆定理是关键.29．（1）有道理，理由详见解析；（2）小季和小何都正确，理由详见解析【解析】【分析】（1）过I 点分别作IM ，IN ，IK 垂直于AB ，BC ，AC 于点M ，N ，K ，根据角平分线的性质即可得解； （2）根据等积法的相关方法进行求解即可.【详解】（1）如下图，过I 点分别作IM ，IN ，IK 垂直于AB ，BC ，AC 于点M ，N ，K ，连接IC∵AI 平分∠BAC ，IM ⊥AB ，IK ⊥AC∴IM =IK ，同理IM =IN∴IK =IN又∵IK ⊥AC ，IN ⊥BC∴CI 平分∠BCA ；（2）如下图，过C 点作CE ⊥AB 于点E ，则d 的最大值为CE 长∵5AC =，12BC =∴115123022ABC S AC BC ∆=⋅=⨯⨯= 又∵11133022ABC S AB CE CE ∆=⋅=⨯⨯= ∴6013CE = ∴d 的最大值为6013 ∴小季正确；假设此时AI 平分BAC ∠，如下图，连接AI ，BI ，过I 点作IG ，IH ，IF 分别垂直于AC ，BC ，AB 于点G ，H ，F∵AI 平分BAC ∠，CD 平分∠ACB∴BI 平分∠CBA∵IG ⊥AC ，IH ⊥BC ，ID ⊥AB∴IG=IH=IF=d∵ACB AIC BIC ABI S S S S ∆∆∆∆=++ ∴11112222AC BC AC IG BC IH AB IF ⋅=⋅+⋅+⋅ ∴1111512512132222d d d ⨯⨯=⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯ ∴2d =∴假设成立，当2d =时，连接AI ，则AI 平分BAC ∠∴小何正确.【点睛】本题主要考查了等积法及角平分线的性质，熟练掌握等积法的运用及角平分线性质的证明是解决本题的关键.30．（1）见解析；（2）452【解析】【分析】（1）根据已知可得到∠A =∠B =90°，DE =CE ，AD =BE 从而利用HL 判定两三角形全等； （2）由三角形全等可得到对应角相等，对应边相等，由已知可推出∠DEC =90°，由已知我们可求得BE 、AE 的长，再利用勾股定理求得ED 的长，利用三角形面积公式解答即可．【详解】（1）∵AD ∥BC ，∠A =90°，∠1=∠2，∴∠A =∠B =90°，DE =CE ．∵AD =BE ，在Rt △ADE 与Rt △BEC 中 AD BE DE CE =⎧⎨=⎩， ∴Rt △ADE ≌Rt △BEC （HL ）（2）由△ADE ≌△BEC 得∠AED =∠BCE ，AD =BE ．∴∠AED +∠BEC =∠BCE +∠BEC =90°．∴∠DEC =90°．又∵AD =3，AB =9，∴BE =AD =3，AE =9﹣3=6．∵∠1=∠2，∴ED =EC∴△CDE 的面积=14522⨯=． 【点睛】此题主要考查全等三角形的判定与性质的运用，熟练掌握，即可解题.31．（1）18；（2）CE的长为83；（3）CG的长为910．【解析】【分析】（1）由矩形的性质可知∠BAD＝90°，易知∠DAC的度数，由折叠的性质可知∠DAE＝12∠DAC，计算可得∠DAE的度数.（2）由矩形四个角都是直角及对边相等的性质及折叠后图形对应边相等的性质，结合勾股定理可得BF长，由CF＝BC﹣BF可求出CF长，设CE＝x，则EF＝ED＝6﹣x，在Rt△CEF 中，根据勾股定理求出x值即可；（3）连接EG，由中点及折叠的性质利用HL定理可证Rt△CEG≌△FEG，结合全等三角形对应边相等的性质可设CG＝FG＝y，可用含y的代数式表示出AG、BG，在Rt△ABG中，根据勾股定理求解即可.【详解】解：（1）∵四边形ABCD是矩形，∴∠BAD＝90°，∵∠BAC＝54°，∴∠DAC＝90°﹣54°＝36°，由折叠的性质得：∠DAE＝∠FAE，∴∠DAE＝12∠DAC＝18°；故答案为：18；（2）∵四边形ABCD是矩形，∴∠B＝∠C＝90°，BC＝AD＝10，CD＝AB＝6，由折叠的性质得：AF＝AD＝10，EF＝ED，∴BF8，∴CF＝BC﹣BF＝10﹣8＝2，设CE＝x，则EF＝ED＝6﹣x，在Rt△CEF中，由勾股定理得：22+x2＝（6﹣x）2，解得：x＝83，即CE的长为83；（3）连接EG，如图3所示：∵点E是CD的中点，∴DE＝CE，由折叠的性质得：AF＝AD＝10，∠AFE＝∠D＝90°，FE＝DE，∴∠EFG＝90°＝∠C，在Rt △CEG 和△FEG 中，EG EG CE FE=⎧⎨=⎩， ∴Rt △CEG ≌△FEG （HL ），∴CG ＝FG ，设CG ＝FG ＝y ，则AG ＝AF +FG ＝10+y ，BG ＝BC ﹣CG ＝10﹣y ，在Rt △ABG 中，由勾股定理得：62+（10﹣y ）2＝（10+y ）2，解得：y ＝910， 即CG 的长为910．【点睛】本题考查了四边形的折叠问题，涉及了矩形的性质、折叠的性质、直角三角形的判定、勾股定理，灵活利用矩形与折叠的性质是解题的关键.。