《量子力学》复习资料第一章 绪论1、经典物理学的困难：①黑体辐射；②光电效应；③氢原子线性光谱；④固体在低温下的比热。

2、★★★普朗克提出能量子假说：黑体只能以νh E =为能量单位不连续的发射和吸收辐射能量，⋯⋯==,3,2,1 n nh E n ν，能量的最小单元νh 称为能量子。

意义：解决了黑体辐射问题。

3、★★★（末考选择）爱因斯坦提出光量子假说：电磁辐射不仅在发射和吸收时以能量νh 的微粒形式出现，而且以这种形式在空间以光速c 传播，这种粒子叫做光量子，也叫光子。

意义：解释了光电效应。

【注】光电效应方程为0221W hv v m m e -= 4、★★★玻尔的三个基本假设：①定态假设：原子核外电子处在一些不连续的定常状态上，称为定态，而且这些定态相应的能量是分立的。

②跃迁假设：原子在与能级m E 和n E 相对应的两个定态之间跃迁时，将吸收或辐射频率为ν的光子，而且有m n E E hv -=.③角动量量子化假设：角动量必须是 的整数倍，即 ,3,2,1,==n n L意义：解决了氢原子光谱问题。

（末考选择）5、★★★玻尔理论后来也遇到了困难，为解决这些困难，德布罗意提出了微观粒子也具有波粒二象性的假说。

6、德布罗意公式：⇒⎪⎩⎪⎨⎧===k n h p h Eλν意义：将光的波动性和粒子性联系起来，两式的左端描述的是粒子性（能量和动量），右端描述的是波动性（频率和波长）。

7、（填空）德布罗意波长的计算：meUhmE h p h 22===λ 8、★★★康普顿散射实验的意义：证明了光具有粒子性。

（末考填空）同时也证实了普朗克和爱因斯坦理论的正确性。

9、★★★证实了电子具有波动性的典型实验：戴维孙-革末的电子衍射实验（也证实了德布罗意假说的正确性）、电子双缝衍射实验。

10、微观粒子的运动状态和经典粒子的运动状态的区别：（1）描述方式不同：微观粒子的运动状态用波函数描述，经典粒子的运动状态用坐标和动量描述；（2）遵循规律不同：微观粒子的运动遵循薛定谔方程，经典粒子的运动遵循牛顿第二定律。

11、德布罗意波假设的基本内容：（1）任何微观粒子都具有波粒二象性。

与实物粒子相联系的波叫德布罗意波，也叫物质波。

（2）德布罗意波的频率和波长与粒子的能量和动量通过德布罗意公式联系起来，即kn h p h E===λν ，【例题1】在K 0附近，钠的价电子动能为eV 3，求其德布罗意波长。

解：根据德布罗意公式，得 λνhp h E ==, ①已知钠的价电子动能为eV c eV E e k 621051.03⨯=<<=μ所以考虑粒子为非相对论性的电子，则有ep E μ22= ②根据①②式，得nmm mE c hc E h p h e e 71.01071.031051.021024.1229662=⨯=⨯⨯⨯⨯====--μμλ其中m eV hc ⋅⨯=-61024.1*【例题2】钾的光电效应红限为m 70102.6-⨯=λ，求：（1）电子的脱出功；（2）在m -7010.3⨯=λ的紫外线照射下，截止电压为多少？ （3）电子的初速度为多少？解：（1）设脱出功为W ，根据题意，得J hch W 19783401021.3102.6100.31063.6---⨯=⨯⨯⨯⨯===λν （2）根据能量守恒定律，得W mv h m +=221ν ① eU mv m =221 ② V eWe hc e W h U 14.2=-=-=⇒λν（3）设初速度为0v ，由（2），得s m s m m eU v /1067.8/101.914.2106.122531190⨯=⨯⨯⨯⨯==-- 第二章 波函数和薛定谔方程1、基本假设：波函数假设、态叠加原理和薛定谔方程。

2、★★★（末考选择）玻恩提出波函数假设：波函数的统计解释是，微观粒子的状态用波函数描述，波函数在空间中某点的强度和在该点找到粒子的概率成比例。

（波函数是一个复数）3、★★★态叠加原理：如果1ψ和2ψ是体系的可能状态，那么它们的线性叠加),(212211是复数c c c c ψ+ψ=ψ也是这个体系的一种可能状态。

推广：设⋅⋅⋅ψ⋅⋅⋅ψψ,,21n ，，，是体系的可能状态，则这些态的线性叠加 ∑ψ=⋅⋅⋅+ψ+⋅⋅⋅+ψ+ψ=ψnn n n n c c c c 2211.（⋅⋅⋅⋅⋅⋅,,,,21n c c c 为复数）也是这个体系的一种可能状态。

说明：态叠加原理指的是波函数（概率幅）的叠加，而不是概率的叠加。

4、薛定谔方程：★★★（1）自由粒子的薛定谔方程：ψ∇-=∂ψ∂222mt i （2）非自由粒子的薛定谔方程：ψ+ψ∇-=∂ψ∂)(222r U mt i（含时薛定谔方程） （3）多粒子体系的薛定谔方程：ψ+ψ∇-=∂ψ∂∑=U m t i i N i i2122【注】①是量子力学的基本假设；②是线性方程；③是微观粒子的基本方程，相当于牛顿运动定律；④是非相对论的方程。

5、归一化条件：⎰∞=ψ1|),,,(|2τd t z y x6、归一化常数：⎰∞ψ=τd C 2||1⇒★★★ 归一化因子：⎰∞ψ=τd C 2||17、几率密度：2),(),(t r C t r ψω= 8、拉普拉斯算符：zk y j x i ∂∂+∂∂+∂∂=∇9、概率流密度：)(2ψ∇ψ-ψ∇ψ=**mi J J 的物理意义：它在S 面上的法向分量表示单位时间内流过S 面上单位面积的概率。

*10、概率守恒定律（微分形式）：0=⋅∇+∂∂J t w*积分形式：⎰⎰⋅-=∂∂s V S d J d t τω*11、质量流密度：)(2ψ∇ψ-ψ∇ψ==** i J m J m *12、质量守恒定律：0=⋅∇+∂∂m mJ tω13、★★★波函数的标准化条件：单值性、有限性、连续性。

（末考填空） 14、★★★定态问题：势能函数)(r U与时间无关。

*15、定态的性质：一切力学量的平均值和粒子的分布几率不随时间变化，只与位置有关。

16、★★★定态薛定谔方程：①ψψψ)(222r U m E +∇-= ②ψ=ψE H ˆ（本征方程） 17、★★★定态：能量具有确定值的状态：（末考选择）tiEe r t r -=ψ)(),(ψ（定态波函数）18、★★★束缚态：（末考填空）在无限远处为零的波函数所描写的状态称为束缚态。

束缚态所处的能级是分立的。

19、一维无限深方势阱：★★★ 能量是量子化的，但动量是连续变化的！！！（1）若势阱宽度为a 2，如⎩⎨⎧∞<<-=其他，，0)(a x a x U ，则①体系的能级：⋯⋯==,3,2,1,82222n man E n π②波函数：⎪⎩⎪⎨⎧<<-⋯⋯=+=其他 ,0 ,3,2,1),(2sin 1a x a n a x a n an πψ（2）若势阱宽度为a ，如⎩⎨⎧∞<<=其他 ,0, 0)(a x x U ，则①体系的能级：⋯⋯==,3,2,1,22222n ma n E n π②波函数：⎪⎩⎪⎨⎧<<⋯⋯==其他 ,00 ,3,2,1,sin 2a x n axn a n πψ 20、重要公式：①节点1-=n ②概率密度最大值的个数n = 21、★★★线性谐振子的能级：⋯⋯=+=,3,2,1,0 ),21(n n E n ω22、线性谐振子的势能：2221)(x m x U ω=【注1】线性谐振子是一个束缚态。

【注2】 能量是量子化的，但动量是连续变化的！！！*23、线性谐振子的能量本征方程：ψψωψE x m dx d m =+-22222212 24、★★★两相邻能级间的间距：ω =-+n n E E 125、★★★基态的能量（也叫零点能）：ω 210=E（在绝对零度的条件下） *26、厄米波函数：)()(22ξξψξn n n H e N -= 三部分： ⎪⎩⎪⎨⎧渐进因子厄米多项式归一化因子)(::ξn nH N*【注】归一化因子表示为：2121!2⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=n N n n πα27、★★隧道效应：粒子在能量E 小于势垒高度是仍然能够贯穿势垒的现象。

应用：基于量子隧道效应的扫描隧穿显微镜。

【例题1】★★★ 一粒子在一维势场⎪⎩⎪⎨⎧>∞≤≤<∞=a x a x x x U ，，，0 00)(中运动，求粒子的能级和对应的波函数.解：t x U 与)(无关，是定态问题。

其定态薛定谔方程为)()()()(2222x E x x U x dxd m ψψψ=+- 在各区域的具体形式为：1）当0<x 时： )()()()(2 111222x E x x U x dx d m ψψψ=+-① 2）当a x ≤≤0时： )()(222222x E x dx d m ψψ=- ② 3）当a x >时： )()()()(2 333222x E x x U x dx d m ψψψ=+-③ 在①③方程中，由于∞=)(x U ，要等式成立，必须满足：0)(1=x ψ 0)(3=x ψ 即粒子不能运动到势阱以外的地方去。

方程②可变为0)(2)(22222=+x mEdx x d ψψ令222mE k =，则 0)()(22222=+x k dx x d ψψ 其解为 kx B kx A x cos sin )(2+=ψ ④ 根据波函数的标准条件确定系数A ，B ，由连续性条件，得 )0()0(12ψψ=⑤ )()(32a a ψψ=⑥ ⎩⎨⎧==⇒0sin 0ka A B),3 ,2 ,1( 0sin 0 ==⇒=∴≠n n ka ka A π∴x an A x πψsin )(2= ⑦ 由归一化条件 1)(2=⎰∞dx x ψ，得1s i n22=⎰ax d x a n Aπ⑧ 由mn aba xdx a n x a m δππ⎰=*2sin sin⑨x an a x aA πψsin 2)(22=∴=⇒又 222mEk =⑩ ),3,2,1( 22222 ==⇒n n maE n π可见能量是量子化的。

故对应于n E 的归一化的定态波函数为： ⎪⎩⎪⎨⎧><≤≤=a x x a x axn a x n ,0 , 0 0 ,sin 2)(πψ 【例题2】★★★（末考计算压轴题）一维空间中运动的粒子，它的势能在一定区域内)(a x a <<-为零，而在此区域外势能为无限大，即∞→⎪⎩⎪⎨⎧≥<=00 0)(U ax U ax x U ，求其能级和对应的波函数. 解：（1）在阱内()0)(=<x U a x ，有体系所满足的薛定谔方程为ψψE dx d m =-222 ① 令 mE 2=α，则0222=+ψαψdxd ② 其通解为x B x A ααψcos sin += ③ （2）在阱外)(a x ≥，有0)(U x U =体系所满足的薛定谔方程为ψψψE U dx d m =+-02222 式中∞→0U ④ 根据波函数的连续性和有限性，得0=ψ ⑤⇒边界条件为()()0==-a a ψψ ⑥将⑥代入③，得⎩⎨⎧==⇒⎩⎨⎧=+=+-0cos 0si n 0cos si n 0cos si n a B a A a B a A a B a A αααααα ⑦ B A 和不能同时为零 所以有两种结果sin 0 )(0cos 0 )(=⇒==⇒=a B ii a A i αα ⑧，，，，3212==∴n an πα ⑨ 如果0=α，即0=n ，则B Ax +=⇒=''⇒=+''ψψψαψ002不能满足边界条件0=ψ 故应舍去 （i ）当0cos ,0==a A α时，),5,3,1(2 ==n an πα有.2cos )( ,82222axn B x ma n E n πψπ==⇒（ii ）当0sin ,0==a B α时，有),6,4,2(,2 ==n an πα.2sin )( ,82222axn A x ma n E n πψπ==⇒综上所述，得体系的能级为⋯⋯==,3,2,1 82222n ma n E n π体系的波函数为⎪⎩⎪⎨⎧≥<⋅⋅⋅=+'=a x a x n a x a n A x n 0 ,3,2,1 )(2sin )(πψ由归一化条件，得12=⎰∞∞-dx ψ，得aA aA dx a x an A aa 1)(sin 1222='∴'=+'=⎰-π第三章 量子力学中的力学量1、★★★算符假设：量子力学中表示力学量的算符都是线性厄米算符，它们的本征函数组成完全系。