因为从标准基{1,2,3}到基{1,2,3}的过渡矩阵是
A＝ ,
所以由定理及定理5.3.5知，关于基{1,2,3}的坐标为
＝A－1 ＝
＝(－1，－2，5)T.
教学小结
本节内容可分为下面四个问题讲:
1.基的定义及应用
2.维数的定义及有关结论
3．有限维向量空间中向量的坐标及其求法
4.过渡矩阵及其求法
本节作业
＝A .
例7设1,2是V2中的彼此垂直的单位向量.1,2分别是由1,2逆时针旋转角所得的向量〔如图〕. 那么{1,2}也是V2的一个基.
并且
1＝1cos＋2sin，
2＝1sin＋2cos.
所以由基{1,2}到{1,2}的过渡矩阵是
.
设V2的向量关于{1,2}的坐标是(x1,x2)，关于{1,2}的坐标是(y1,y2)，于是由定理，得
＝ .
即
x1＝y1cosy2sin，
x2＝y1sin＋y2cos.
这正是平面解析几何里，旋转坐标轴的坐标变换公式.
例8F3中向量关于标准基1＝(1, 0, 0)，2＝(0, 1, 0),3＝(0, 0, 1)的坐标是(2, 3, 5)，求关于基1＝(1, 0, 0),2＝(1, 1, 0),3＝(1, 1, 1)的坐标.
(1,2, …,n)＝(1,2, …,n)A(1)
显然矩阵A的第i列就是向量i关于基{1,2, …,n}的坐标. 我们把A叫做由基{1,2, …,n}到基{1,2, …,n}的过渡矩阵.
定理设A是由基{1,2, …,n}到基{1,2, …,n}的过渡矩阵，那么由基{1,2,…,n}到基{1,2, …,n}的过渡矩阵为A－1.
这样，空间V2的维数是2；V3的维数是3；Fn的维数是n；Fn[x]的维数是n＋1. 而向量空间F[x]是无限维的.
定理在n维向量空间中，任何n＋1个向量都是线性相关的.
证设V是n维向量空间, {1,2, …,n}是V的一个基，1,2, …,n,n＋1是V的任意n＋1个向量. 由定义1，每个i都可由1,2, …,n线性表示，且n＋1>n,由推论,1,2, …,n,n＋1线性相关. □
例6在M (F)中，由上一节例7知向量组
, , ,
线性无关，并且，对任一22矩阵 ，都有
＝a1 ＋a2 ＋a3 ＋a4 .
因此，向量组
, , ,
是M (F)的一个基，M (F)的维数是4，矩阵 关于这个基的坐标是(a1,a2,a3,a4) .
四、过渡矩阵及求法
1．过渡矩阵的定义
设{1,2, …,n}和{1,2, …,n}是n维向量空间V的基. 那么向量组{1,2, …,n}和向量组{1,2, …,n}是等价的. 由定理知，存在n阶可逆方阵A使得
从定理可以看出，向量空间V的一个基实际上就是V中所有向量的一个极大无关组.
设n维向量空间V中向量1，2，…,n是线性无关的. 对于V中的任意向量，由定理知，1，2，…,n，线性相关. 所以是1，2，…,n的线性组合. 因此由定义1知有
推论n维向量空间V中的任意一组线性无关的n个向量都可以构成V的一个基. □
本节教育评注
n(r＋1)＝(nr)1＝k＋11＝k，
由归纳假设即知1,2, …,r,r＋1可以扩大为V的基. 因此1,2, …,r可扩大为V的一个基. □
三、向量坐标的定义及求法
定义3设{1,2, …,n}是n维向量空间V的一个基，是V中任一个向量. 我们把满足等式
＝a11＋a22＋…＋ann
的n元有序数组(a1,a2, …,an)称为关于基{1,2, …,n}的坐标.
定理设{1,2, …，r}是n维向量空间V的一组线性无关的向量，那么总可以添加nr个向量r＋1, …,an,使1, …,r,
r＋1, …,n作成V的一个基.
证对nr作归纳法. 当nr＝0时，1,a2, …,r已经是V的基，故定理成立.
假设nr＝k时定理成立，考虑nr＝k＋1的情形.
因为1,2, …,r线性无关，并且不是V的基. 那么在V中必存在向量r＋1不能由1, …,r线性表示. 把r＋1添加进去，1, …,r,r＋1也线性无关. 又
§
教学目的
让学生纯熟掌握向量的基、维数、坐标及过渡矩阵的概念，并通过例题的讲解使学生结实的掌握各自的求法
教学难点
过渡矩阵的定义与求法
教学重点
基、维数及过渡矩阵的定义与求法
教学课时
教学过程
备 注
教学引入
对于有些向量空间，我们可以用其中的有限个向量把该空间的所有向量线性表示出来. 例如，在平面V2中建立直角坐标系，令1,2分别表示x轴和y轴上的单位向量. 那么1,2线性无关，且平面V2中每个向量都可由1,2唯一地线性表示：
证因为A是由基{1,2, …,n}到基{1,2, …,n}的过渡矩阵，所以(1)式成立. 给(1)式两端右乘以A－1，即得
(1,2, …,n)＝ (1,2, …,n)A－1.
即由基{1,2, …,n}到{1,2, …,n}的过渡矩阵为A－1. □
设是V中的一个向量，它关于基{1,2, …,n}和基{1,2, …,n}的坐标分别为(x1，x2，…，xn)和(y1，y2，…，yn)，那么有
对实数域上向量空间V2来说，前面介绍的{1,2}就是V2的一个基.
例1在V3中，沿x轴，y轴，z轴正方向的三个单位向量依次记作1,2,3，它们线性无关，且V3中每个向量都可由1,2,3线性表示，因此{1,2,3}是V3的一个基.
例2Fn中向量1＝(1, 0, …, 0),2＝(0, 1, 0,…, 0),…,
＝(1,2, …,n) ，(2)
＝(1,2, …,n) . (3)
将(1)式代入(2)，由引理得
＝(1,2, …,n) . (4)
(3)、(4)两式相减，得
(1,2, …,n) ＝0.
因为1,2, …,n线性无关，所以有
＝A .
2．过渡矩阵的求法
定理设V是n(n>0)维向量空间，A是由基{1,2, …,n}到基{1,2, …,n}的过渡矩阵，那么V中的向量关于基{1,2, …,n}的坐标(x1，x2，…，xn)与关于基{1,2, …,n}的坐标(y1，y2，…，yn)有如下的关系
例4Fn中向量＝ (a1,a2, …,an)关于标准基{1，2，…，n}的坐标是(a1,a2, …,an).
例5F2[x]中多项式f(x)＝2＋3xx2关于基{1,x,x2}的坐标是(2, 3,1).
同理在Fn[x]中，多项式f(x)＝a0＋a1x＋…＋anxn关于基{1,x,x2, .
＝x1＋y2. 对向量空间V2来说，向量组{1,2}具有特殊意义. 一般地，我们引入以下的
教学内容
一、 基的定义和应用
定义1设1,2, …,n是数域F上向量空间V中n个向量. 假设向量组{1,2, …,n}线性无关，并且V中每个向量可由1,2, …,n线性表示，那么{1,2, …,n}叫做V的一个基 .
n＝(0, …,0, 1)是Fn的一个基. 这个基叫做Fn的标准基.
例3在向量空间Fn[x]中，{1,x, …,xn}是Fn[x]的一个基.
二、维数的定义及有关结论
定义2向量空间V的基所含向量的个数叫做V的维数，记作dimV.
零空间的维数定义为0.
假如对任意的正整数t，向量空间V中都含有t个向量构成的线性无关的向量组，那么V叫做无限维的.