( c为任意常数 )
( 此式含分离变量时丢失的解 y = 0 )
三、齐次方程
一阶常微分方程
dy
dx
f
y x
(1)
称为齐次方程. 这里 f 是一元函数.
齐 次 方 程 的 求 解:
设 u y( x) u( x) x
则 y u x
dy dx
u
x
du dx
代 入(1) 式 得 :
u
x
du dx
y2x
2xy
c 可取任意实数,
包括负数和零.
例2 y y ln y x
解
dy dx
y ln y x
dy y ln y
dx x
积 分 得:
lnln y ln x lnc
ln y c x
y e cx . ( 通解)
结论 : 如果一个一阶常微分方程能化成
g( y) dy f (x) dx
(隐 式 通 解)
四、一阶线性微分方程
dy P( x) y Q( x)
(1)
dx
(1) 叫做一阶线性常微分方程;
dy P( x) y 0
(2)
dx
(2) 叫做齐次线性方程;
dy dx
P(x)
y
Q( x)
Q( x)/ 0
(3)
(3) 叫做非齐次线性方程;
(2) 叫做对应于(3) 的齐次线性方程.
的通解. 例如:
y x2 c 为 y 2x 的 通 解. y 4.9x2 c1 x c2 为 y 9.8 的 通 解.
y 4.9x2 c1 c2 不 是 y 9.8 的 通 解.
5. 用 来 确 定 任 意 常 数 的件条称 为 定 解 条 件.
定 解 条 件 按 物 理 意 义 可分 为 初 始 条 件 和 边 界 条件 .
例如自由落体的路程函数 s s(t) 适合:
s 9.8
(6)
s(0) h, s(0) 0 (7)
(6) 的 通 解 为 s(t ) 4.9t 2 c1t c2
s 9.8
(6)
s(0) h, s(0) 0 (7)
(6) 的通解为 s(t) 4.9t 2 c1t c2
s(0) h c2 h ,
解
dy
x2
3y2
1
3
y xLeabharlann 2dx 2xy令
u
y x
,
2
y x
则
y xu,
dy dx
u
x
du dx
积 分 得:
ln(1 u2 ) ln x ln c
1 u2 cx
所以
u
x
du dx
1
3u2 2u
x
du dx
1
u 2u
2
2udu 1 u2
dx x
1
y2 x2
c
x
x2 y2 c x3.
我 们 已 经 会 解 能 直 接 积分 的 微 分 方 程.
例1 y sin x e x
解 y (sin x e x )dx cos x e x c1,
y sin x e x c1 x c2 .
例2
y ln x
y(1)
e
解 y ln xdx x ln x x c.
(1)
的形式, 则称这个方程是可分离变量的.
解这个方程只需将(1) 两边积分即可.
例3. 求微分方程
的通解.
解: 分离变量得 d y 3x2 dx y
两边积分
得
ln y x3 c1 或
说明: 在求解过程中 每一步不一定是同解 变形, 因此可能增、 减解.
即
令c ec1
ln y x3 ln c
f (u)
x
du dx
f (u) u
f
du (u)
u
dx x
变 量 已 经 分 离,
可求出 u u( x), 进而 y x u( x).
例1. 解微分方程 y y tan y .
解:
令u
y,
则y
u
x
x u,
x
代入原方程得
x
u x u u tan u
分离变量 cos u d u dx
第七章 微分方程
已知 y f (x), 求 y — 积分问题 推广
已知含 y 及其若干阶导数的方程 , 求 y — 微分方程问题
一、 微分方程的基本概念
1. 含有未知函数的导数或微分的方程称为微分方程 .
例如:
y 2x
(1)
y 9.8
(2)
x3 y x2 y 4xy 3x2
(3)
y(4) 4 y 10 y 12 y 5 y sin 2x (4)
dy P( x) y 0
(2)
dx
求解(2), 可用分离变量法:
dy dx
P(x)
y
1 y
dy
P(
x ) dx
ln y P( x)dx ln C y Ce P( x)dx
此为(2) 的通解, 可作公式使用. 例1 dy 2 y 0
s(0) 0 9.8t c1 t0 0 c1 0 .
s s(t) 4.9t 2 h
是 (6), (7) 的解 . (7) 为(6) 的 定解 条件,初始条件. (初位移, 初速度.)
6. 满 足 定 解 条 件 的 解 称微为分 方 程 的 特 解.
前面, s s(t) 4.9t 2 h 为方程(6) 满足条件(7)的特解.
(2) y 9.8 , y 9.8x c1, y 4.9x2 c1x c2 .
y 4.9x2 c1 x c2 为 y 9.8 的解 .
4. 如 果 微 分 方 程 的 解 中有含任 意 常 数, 且 任 意 常 数 的
个数(相互独立)与微分方程的阶相同, 此解叫做微分方程
y(1) 1 c e c e 1
(通 解)
(通 解)
y x ln x x e 1.
(特 解)
二、可分离变量的微分方程
先 举 几 个 例 子:
例1 y 2 xy
解
d d
y x
2
xy
1 y
d
y
2x
dx
1 y
d
y
2
x
d
x
ln y x2 ln c
y cex2
( 通解)
验证:
y ce x2 y ce x2 2x
都 是 微 分 方 程.
2. 方 程 中 未 知 函 数 的 导的数最 高 阶 称 为 微 分 方的程阶.
3. 函 数 y y( x) , 代 入 微 分 方 程 能 使 方成程为 恒 等 式,
则 y y( x) 称为该方程的解.
例如:
(1) y 2x , y x2 c 为 y 2x 的 解.
sin u
x
两边积分
cos u sin u
d
u
dx x
得 ln (sin u) ln x ln c , 即 sin u c x
故原方程的通解为sin y c x ( c 为任意常数 ) x
( 当 c = 0 时, y = 0 也是方程的解)
例 2 (x2 3 y2 )dx 2xydy 0