第四十一讲 双曲线一、选择题：(本大题共6小题，每小题6分，共36分，将正确答案的代号填在题后的括号内．)1．双曲线虚轴的一个端点为M ，两个焦点为F 1、F 2，∠F 1MF 2＝120°，则双曲线的离心率为( )A. 3B.62 C.63 D.33解析：由图易知：cb＝tan60°＝3， 不妨设c ＝3，b ＝1，则a ＝ 2. ∴e ＝c a＝32＝62.故选B. 答案：B2．已知双曲线9y 2－m 2x 2＝1(m >0)的一个顶点到它的一条渐近线的距离为15，则m 等于( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：9y 2－m 2x 2＝1(m >0)⇒a ＝13，b ＝1m ，取顶点⎝ ⎛⎭⎪⎫0，13，一条渐近线为mx －3y ＝0，∵15＝|－3×13|m 2＋9⇒m 2＋9＝25，∴m ＝4，故选D. 答案：D3．已知双曲线的两个焦点为F 1(－10，0)、F 2(10，0)，M 是此双曲线上的一点，且满足12120,||||2,MF MF MF MF ==则该双曲线的方程是( ) A.x 29－y 2＝1 B ．x 2－y 29＝1 C.x 23－y 27＝1 D.x 27－y 23＝1解析：设双曲线方程为x 2a 2－y 2b2＝1，且M 为右支上一点，由已知|MF 1|－|MF 2|＝2a ，∴221212||||2||||MF MF MF MF +- ＝4a 2.又∵12120,.MF MF MF MF =∴⊥∴4c 2－4＝4a 2，即b 2＝1. 又∵c ＝10，∴a 2＝9.∴双曲线方程为x 29－y 2＝1，故选A.答案：A4．我们把离心率为e ＝5＋12的双曲线x 2a 2－y2b 2＝1(a >0，b >0)称为黄金双曲线．给出以下几个说法：①双曲线x 2－2y25＋1＝1是黄金双曲线；②若b 2＝ac ，则该双曲线是黄金双曲线； ③若∠F 1B 1A 2＝90°，则该双曲线是黄金双曲线； ④若∠MON ＝90°，则该双曲线是黄金双曲线． 其中正确的是( )A ．①② B．①③ C ．①③④ D．①②③④解析：①e ＝1＋b 2a2＝1＋5＋12＝5＋32＝5＋12，双曲线是黄金双曲线． ②由b 2＝ac ，可得c 2－a 2＝ac ，两边同除以a 2，即e 2－e －1＝0，从而e ＝5＋12，双曲线是黄金双曲线．③|F 1B 1|2＝b 2＋c 2，|A 2B 1|2＝b 2＋a 2，|F 1A 2|2＝(a ＋c )2，注意到∠F 1B 1A 2＝90°，所以b 2＋c 2＋b 2＋a 2＝(a ＋c )2，即b 2＝ac ，由②可知双曲线为黄金双曲线．④∵|MN |＝2b 2a ，由射影定理知|OF 2|2＝|MF 2|·|F 2N |，即c 2＝b 4a2，从而b 2＝ac ，由②可知双曲线为黄金双曲线．答案：D5．过双曲线x 2－y 2＝8的左焦点F 1有一条弦PQ 在左支上，若|PQ |＝7，F 2是双曲线的右焦点，则△PF 2Q 的周长是( )A ．28B ．14－8 2C ．14＋8 2D ．8 2解析：|PF 2|＋|PQ |＋|QF 2|＝|PF 2|－|PF 1|＋|QF 2|－|QF 1|＋2·|PQ |＝14＋8 2. 答案：C6．已知双曲线x 2a －y 2b＝1(a ＞0，b ＞0)的右焦点为F ，若过点F 且倾斜角为60°的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此双曲线离心率的取值范围是( )A ．[1,2]B ．(1,2)C ．[2，＋∞)D ．(2，＋∞)解析：依题意，应有ba ≥tan60°，又b a＝e 2－1，∴e 2－1≥3，解得e ≥2. 答案：C二、填空题：(本大题共4小题，每小题6分，共24分，把正确答案填在题后的横线上．)7．已知点P 是双曲线x 2a 2－y 2b2＝1上除顶点外的任意一点，F 1、F 2分别为左、右焦点，c为半焦距，△PF 1F 2的内切圆与F 1F 2切于点M ，则|F 1M |·|F 2M |＝________.解析：根据从圆外一点向圆所引的两条切线长相等，|F 1M |－|F 2M |＝|PF 1|－|PF 2|＝2a ，又|F 1M |＋|F 2M |＝2c ， 解得|F 1M |＝a ＋c ，|F 2M |＝c －a ，从而|F 1M |·|F 2M |＝c 2－a 2＝b 2. 答案：b 28．已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1(－c,0)、F 2(c,0)．若双曲线上存在点P ，使sin∠PF 1F 2sin∠PF 2F 1＝ac，则该双曲线的离心率的取值范围是________．解析：∵e ＝c a ＝sin∠PF 2F 1sin∠PF 1F 2＝|PF 1||PF 2|＝2a ＋|PF 2||PF 2|＝1＋2a|PF 2|，∵|PF 2|>c －a ，即e <1＋2e －1，∴e 2－2e －1<0.又∵e >1，∴1<e <2＋1. 答案：(1，2＋1)9．以双曲线的实轴为虚轴，虚轴为实轴的双曲线叫做原双曲线的共轭双曲线，若一条双曲线与它的共轭双曲线的离心率分别为e 1，e 2，则当它们的实、虚轴都在变化时，e 21＋e 22的最小值是________．解析：∵e 21＝a 2＋b 2a 2，e 22＝a 2＋b 2b 2，∴e 21＋e 22＝a 2＋b 2a 2＋a 2＋b 2b2＝2＋b 2a 2＋a 2b2≥2＋2＝4(当且仅当a ＝b 时等号成立)．答案：410．设F 1和F 2为双曲线x 24－y 2＝1的两个焦点，点P 在双曲线上且满足∠F 1PF 2＝60°，则△F 1PF 2的面积是______． 解析：在△F 1PF 2中，由余弦定理，得|F 1F 2|2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－2|PF 1||PF 2|·cos60°，∴|F 1F 2|2＝(|PF 1|－|PF 2|)2＋|PF 1||PF 2|. 又|F 1F 2|2＝20，||PF 1|－|PF 2||＝4.∴|PF 1||PF 2|＝4，∴S △F 1PF 2＝12|PF 1||PF 2|sin60°＝ 3.答案： 3三、解答题：(本大题共3小题，11、12题13分，13题14分，写出证明过程或推演步骤．) 11．如图所示，双曲线的中心在坐标原点，焦点在x 轴上，F 1，F 2分别为左、右焦点，双曲线的左支上有一点P ，∠F 1PF 2＝π3，且△PF 1F 2的面积为23，又双曲线的离心率为2，求该双曲线的方程．解：设双曲线方程为：x 2a －y 2b＝1(a >0，b >0)．F 1(－c,0)，F 2(c,0)，P (x 0，y 0)．在△PF 1F 2中，由余弦定理，得：|F 1F 2|2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－2|PF 1|·|PF 2|·cos π3＝(|PF 1|－|PF 2|)2＋|PF 1|·|PF 2|.即4c 2＝4a 2＋|PF 1|·|PF 2|.又∵S △PF 1F 2＝23.∴12|PF 1|·|PF 2|·sin π3＝2 3.∴|PF 1|·|PF 2|＝8.[来源:学.科.网]∴4c 2＝4a 2＋8，即b 2＝2.又∵e ＝c a ＝2，∴a 2＝23.∴双曲线的方程为：3x 22－y 22＝1.12．已知曲线C ：y 2λ＋x 2＝1.(1)由曲线C 上任一点E 向x 轴作垂线，垂足为F ，动点P 满足3FP EP =，求点P 的轨迹．P 的轨迹可能是圆吗？请说明理由；(2)如果直线l 的斜率为2，且过点M (0，－2)，直线l 交曲线C 于A 、B 两点，又92MA MB =- ，求曲线C 的方程．解：(1)设E (x 0，y 0)，P (x ，y )，则F (x 0,0)，∵3,FP EP =， ∴(x －x 0，y )＝3(x －x 0，y －y 0)．∴00,2.3x x y y =⎧⎪⎨=⎪⎩代入y 20λ＋x 20＝1中，得4y 29λ＋x 2＝1为P 点的轨迹方程．当λ＝49时，轨迹是圆．(2)由题设知直线l 的方程为y ＝2x －2，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，联立方程组22,2 1.y y x λ⎧=-⎪⎨+=⎪⎩消去y 得：(λ＋2)x 2－42x ＋4－λ＝0.∵方程组有两解，∴λ＋2≠0且Δ>0，∴λ>2或λ<0且λ≠－2，x 1·x 2＝4－λλ＋2，而MA MB ＝x 1x 2＋(y 1＋2)·(y 2＋2)＝x 1x 2＋2x 1·2x 2＝3x 1x 2＝3(4－λ)λ＋2，∴4－λλ＋2＝－32，解得λ＝－14.∴曲线C 的方程是x 2－y 214＝1. 13．(2010·南昌调研试题)如图，P 是以F 1、F 2为焦点的双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1上的一点，已知12120,||2||.PF PF PF PF ==且(1)求双曲线的离心率e ；(2)过点P 作直线分别与双曲线的两渐近线相交于P 1、P 2两点，若121227,20.4OP OP PP PP =-+=.求双曲线C 的方程．解：(1)利用向量的垂直及双曲线的定义建立等式即可确定，(2)运用向量的坐标运算，利用待定系数法建立方程组即可解得．(1)由120,PF PF = 得12PF PF ⊥ ，即△F 1PF 2为直角三角形．设21||,||PF r PF == ＝2r ，于是有(2r )2＋r 2＝4c 2和2r －r ＝2a ，也就是5×(2a )2＝4c 2，所以e ＝ 5.(2)b a＝e 2－1＝2，可设P 1(x 1,2x 1)，P 2(x 2，－2x 2)，P (x ，y )，则12OP OP ＝x 1x 2－4x 1x 2＝－274，所以x 1x 2＝94.① 由22112212()2,22(2)0x x x x PP PP x y x y -=--⎧+=⎨--=--⎩ 得即x ＝2x 1＋x 23，y ＝2(2x 1－x 2)3；又因为点P 在双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1上，所以(2x 1＋x 2)29a 2－4(2x 1－x 2)29b2＝1，又b 2＝4a 2，代入上式整理得x 1x 2＝98a 2②，由①②得a 2＝2，b 2＝8，故所求双曲线方程为x 22－y 28＝1. 评析：平面向量与平面解析几何的综合考查是近几年高考考查的热点问题，往往通过向量的运算及其几何意义来解决解析几何问题．在解析几何中当直线与曲线相交时，对于交点坐标，若直接求解有时非常复杂，故往往设而不求，即设出点的坐标，利用点在曲线上或其满足的性质求解．本题借助直线与双曲线相交，利用设而不求的思想，结合向量的坐标运算及韦达定理简捷求出．。