百校联盟最新高考最后一卷（押题卷）文科数学(第一模拟)一、选择题：共10题1．已知集合A ={x|x (x-2)≥0},B ={-1,0,1,2,3},则(∁R A )∩B =A.{-1,0,2,3}B.{-1,0,1,2}C.{0,1,2}D.{1}【答案】D【解析】本题主要考查集合的交、补运算和不等式的解法.根据不等式的解法求出集合A ,在求补集时注意等号能否取到,根据集合的运算法则容易得出结论.通解 由题意知,∁R A ={x|0<x <2},又B ={-1,0,1,2,3},则(∁R A )∩B ={1},故选D. 优解 因为0∈A ,所以0∉∁R A ,故0∉(∁R A )∩B ,排除选项A 、B 和C,故选D.2．已知i 是虚数单位,复数z 满足(√3+i)z =√3-i,则|z |=A.1B.√72C.√3D.2【答案】A【解析】本题主要考查复数的概念和基本运算.由复数的除法运算法则将z 化简成a+b i(a ,b ∈R )的形式,根据共轭复数的定义和复数模的运算性质容易得出结论.通解 z =√3−√3+i=(√3−2(√3+i )(√3−i )=12-√32i,则z −=12+√32i,|z −|=√14+34=1,故选A. 优解 由题意知|z−|=|z|=|√3−√3+i|=|√3−|√3+i |=22=1,故选A.3．“m >2”是“函数f (x )=m+log 2x (x ≥12)不存在零点”的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】本题主要考查充要关系的判断和函数的性质.首先判断函数f (x )是单调递增函数,最多有一个零点,求出不存在零点时m 的取值范围,根据充要关系的定义,能够得出结论.常用逻辑用语是每年高考的必考知识点,经常和其他知识结合考查,难度不大,但容易出错,高考中以客观题的形式出现,属于易错题.函数f (x )的值域是[m-1,+∞),当m >2时,f (x )>1,不存在零点.若函数f (x )不存在零点,则m >1,所以“m >2”是“函数f (x )=m+log 2x (x ≥12)不存在零点”的充分不必要条件,故选A.4．已知b ∈{x|3−zz≥0},则直线x+by =0与圆(x-2)2+y 2=2相离的概率为 A.13B.12C.23D.34【答案】A【解析】本题考查直线与圆的位置关系和几何概型,先解不等式求出b的取值范围,再通过直线与圆相离解出b的取值范围,最后利用几何概型的知识求解.b∈{x|3−zz≥0}=(0,3],若直线x+by=0与圆(x-2)2+y2=2相离,则2√1+z2>√2,得-1<b<1,故所求概率P=1−03−0=13,故选A.5．执行如图所示的程序框图,如果输入x的值为1 024,则输出y的值为A.-74B.-34C.0D.2【答案】A【解析】本题主要考查循环结构的程序框图以及指数、对数的运算等,意在考查考生对程序框图基本功能的理解和运用,以及运算求解能力.程序运行的过程:当x=1 024时,满足x>0,这时x=log21 024-2=8;x=8满足x>0,这时x=log28-2=1;x=1满足x>0,这时x=log21-2=-2;x=-2不满足x>0,这时y=2-2-2=14-2=-74,故选A.6．如图,正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1,E,F分别为线段AA1,B1C上的点,则三棱锥D1-EDF的体积为A.18B.16C.13D.12【答案】B【解析】本题考查棱锥体积的求解.解题的关键是明确三棱锥D1-EDF的体积等于三棱锥F-EDD1的体积.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,易知B1C∥平面EDD1,又三棱锥D1-EDF的体积等于三棱锥F-EDD 1的体积,而三棱锥F-EDD 1的高为正方体的棱长1,底面EDD 1是以DD 1=1为底,1为高的三角形,所以z 三棱锥z −zzz 1=13z △zzz 1·CD =16,故选B.7．将函数f (x )=4sin 2x 的图象向右平移φ(0<φ<π2)个单位长度后得到函数g (x )的图象,若对于满足|f (x 1)-g (x 2)|=8的x 1,x 2,有|x 1-x 2|min =π6,则φ=A.π6B.π4C.π3D.5π12【答案】C【解析】本题主要考查三角函数的图象与性质,考查考生运用数形结合思想解决问题的能力.先求出g (x )的解析式,要使|f (x 1)-g (x 2)|=8,则f (x 1)=4,g (x 2)=-4,或f (x 1)=-4,g (x 2)=4,可以求出φ的值.三角函数的图象和性质是高考必考内容,常与三角恒等变换、解三角形结合在一起考查,属于中档题.由题意知,g (x )=4sin(2x-2φ),-4≤g (x )≤4,又-4≤f (x )≤4,若x 1,x 2满足|f (x 1)-g (x 2)|=8,则x 1,x 2分别是函数f (x ),g (x )的最值点,不妨设f (x 1)=-4,g (x 2)=4,则x 1=3π4+k 1π(k 1∈Z ),x 2=(π4+φ)+k 2π(k 2∈Z ),|x 1-x 2|=|π2-φ+(k 1-k 2)π|(k 1,k 2∈Z ),又|x 1-x 2|min =π6,0<φ<π2,所以π2-φ=π6,得φ=π3,故选C.8．如图所示,在△ABC 中,N 为AC 上靠近点A 的四等分点,P 为BN 上一点,若zz ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(m+29)zz ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +29zz ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,则实数m 的值为A.19B.13C.1D.3【答案】A【解析】本题主要考查平面向量的线性运算、平面向量基本定理等知识,考查考生分析问题、解决问题的能力.由题意知,zz ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =14zz ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,设zz ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λzz ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,则zz ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =zz ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +zz ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =zz ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +λzz ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =zz ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +λ(zz ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ -zz ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )=(1-λ)zz ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +λzz ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(1-λ)zz ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +z4zz⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ .又zz ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(m+29)zz ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +29zz ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =m zz ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +29zz ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,所以{z 4=291−z =z,即{z =89z =19,故选A.9．已知双曲线C :z 23-y 2=1的左、右焦点分别为F 1,F 2,过点F 2的直线与双曲线C 的右支相交于P ,Q 两点,且点P 的横坐标为2,则△PF 1Q 的周长为 A.16√33B.5√3C.14√33D.4√3【答案】A【解析】本题主要考查双曲线的方程和性质、直线与双曲线的位置关系,考查考生的运算求解能力和分析问题、解决问题的能力.易知双曲线C :z 23-y 2=1中,a =√3,b =1,所以c =√z 2+z 2=2,则F 1(-2,0),F 2(2,0).因为点P 的横坐标为2,所以PQ ⊥x 轴.令x =2,则y 2=43-1=13,则y =±√33,即|PF 2|=√33,则|PF 1|=√|zz 2|2+|z 1z 2|2=7√33,故△PF 1Q 的周长为|PF 1|+|QF 1|+|PQ|=16√33,故选A.10．已知函数f (x )=a-x 2(1e ≤x ≤e)(其中e 为自然对数的底数)与函数g (x )=2ln x 的图象上存在关于x 轴对称的点,则实数a 的取值范围是 A.[1,1e 2+2]B.[1e2+2,e 2-2]C.[1,e 2-2]D.[e 2-2,+∞)【答案】C【解析】本题主要考查函数图象的对称性、方程根的存在性及运算求解能力.题目可转化为函数y =-f (x )=-a+x 2的图象与函数g (x )=2ln x 的图象在[1e ,e]上有交点,利用分离变量法求出a 的取值范围.由已知得方程-(a-x 2)=2ln x ,即-a =2ln x-x 2在[1e,e ]上有解,设h (x )=2ln x-x 2,求导得h'(x )=2z -2x =2(1−z )(1+z )z,因为1e ≤x ≤e,所以h (x )在x =1处有唯一的极大值点,且为最大值点,则h (x )max ==h (1)=-1,h (1e )=-2-1e2,h (e)=2-e 2,且h (e)<h (1e),所以h (x )的最小值为h (e)=2-e 2.故方程-a =2ln x-x 2在[1e ,e]上有解等价于2-e 2≤-a ≤-1,从而解得a 的取值范围为[1,e 2-2],故选C.二、填空题：共5题11．已知函数f (x )={(12)z +34,z ≥2log 2z ,0<z <2,若f [1z (z )]=1,则实数a = .【答案】√2【解析】本题主要考查分段函数的单调性,指数、对数运算.对于这个复合函数的求值,可以由外到内,先求出1z (z )的值,再求出a .由f (x )的单调性可知,f (x )max =f (2)=1,所以1z (z )=2,f (a )=12,当x ≥2时,f (x )>34,不符合题意,所以f (a )=12=log 2a ,a =√2.12．如图所示的茎叶图记录了甲、乙两人在某5次综合测评中的成绩(均为整数),其中一个数字模糊不清,则甲的平均成绩不超过乙的平均成绩的概率为 .【答案】15【解析】本题主要考查古典概型概率的计算、茎叶图的有关知识,考查考生的数据处理能力和运算求解能力.由茎叶图可知,z 甲=88+89+90+91+925=90,设模糊不清的数字为a (0≤a ≤9,a ∈N),则z 乙=83+83+87+90+z +995=88.4+z5.若甲的平均成绩不超过乙的平均成绩,则88.4+z5≥90,解得a ≥8,所以a =8或a =9,所以甲的平均成绩不超过乙的平均成绩的概率为15.13．已知A ,B ,C 三点的坐标分别为(3,0),(0,3),(cos α,sin α),若zz ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·zz ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =-1,则1+tan z 2sin 2z +sin2z的值为 .【答案】−95【解析】本题以平面向量为基础考查三角恒等变换的有关知识以及考生的计算能力.首先根据向量数量积的坐标运算化简已知条件,再把所求的式子进行化简,整体代换,得出结论.平面向量的运算和三角恒等变换都是高考必考知识点,要注意三角与向量知识的交汇考题.易知zz ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(cos α-3,sin α),zz ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(cos α,sin α-3),由zz ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·zz ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =-1,得sin α+cos α=23, 两边同时平方得2sin αcos α=-59,故1+tan z2sin 2z +sin2z=cos z +sin zcos z2sin z (sin z +cos z )=12sin z cos z =-95.14．在平面直角坐标系xOy 中,M 为不等式组{z −2≤0z −1≤0z +2z −z ≥0所表示的区域内的一动点,若目标函数z =x-2y 的最大值为2,则|OM|的取值范围是 .【答案】[2√55,√5]【解析】本题主要考查线性规划的有关知识,考查考生用数形结合思想解决问题的能力.由约束条件画出可行域,根据z max =2求出a 的值,再结合图形求出|OM|的取值范围.不等式组{z −2≤0z −1≤0z +2z −z ≥0所表示的平面区域如图中△ABC 所示,作直线x-2y =0并平移,由图可知,当直线y =12x-12z 经过A 点时,在y 轴上的截距最小,此时目标函数z =x-2y 取得最大值2,由{z =2z −2z =2得{z =2z =0,A (2,0)是直线x+2y =a 与直线x-2=0的交点,代入直线x+2y-a =0,得a =2.原点O 到点B (2,1)的距离是√5,到直线x+2y-2=0的距离是√12+2=2√55,所以|OM|的取值范围是[2√55,√5].15．已知函数f (x )=x 2-6|x|+2,x ∈[a-2,a+2],记函数f (x )的最大值为M (a ),则M (a )的最小值为 . 【答案】-3【解析】本题主要考查含绝对值的函数的综合问题,意在考查考生的分类讨论、数形结合等数学思想.解题的思路是在平面直角坐标系中,画出函数f (x )=x 2-6|x|+2的图象,对a 分类讨论求出M (a )的表达式,进而求M (a )的最小值.由于f (x )={z 2−6z +2,z >0z 2+6z +2,z ≤0,①当a-2≤0且0<a+2,即-2<a ≤2时,M (a )=2;②当0<a-2且a ≤3,即2<a ≤3时,f (x )在x =a-2处取得最大值,M (a )=a 2-10a+18;③当0<a-2且a >3,即a >3时,f (x )在x =a+2处取得最大值,M (a )=a 2-2a-6;④当a+2≤0且-3≤a ,即-3≤a ≤-2时,f (x )在x =a+2处取得最大值,M (a )=a 2+10a+18;⑤当a+2≤0且-3>a ,即a <-3时,f (x )在x =a-2处取得最大值,M (a )=a 2+2a-6.所以M (a )的最小值为-3.三、解答题：共6题16．已知函数f (x )=√3cos 2x+2sin(3π+x )sin(π-x ),x ∈R .(1)求f (x )的图象的对称轴及f (x )的单调递增区间;(2)已知锐角三角形ABC 的内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,且f (A )=-√3,a =3,求BC 边上的高的最大值.【答案】(1)由题意知f (x )=√3cos 2x-2cos x sin x =√3cos 2x-sin 2x =-2sin(2x-π3).令2x-π3=k π+π2(k ∈Z ),得x =z π2+5π12(k ∈Z ),∴函数f (x )图象的对称轴为x =z π2+5π12(k ∈Z ).由2k π+π2≤2x-π3≤2k π+3π2(k ∈Z ),得k π+5π12≤x ≤k π+11π12(k ∈Z ),∴函数f (x )的单调递增区间是[k π+5π12,k π+11π12](k ∈Z ).(2)∵f (A )=-2sin(2A-π3)=-√3,又0<A <π2,∴A =π3,由余弦定理a 2=b 2+c 2-2bc cos A , 得32=b 2+c 2-2bc ·12≥2bc-bc =bc ,∴bc ≤9,当且仅当b =c 时取等号.设BC 边上的高为h ,由三角形的面积公式得S △ABC =12ah =12bc sin A ≤9√34,h ≤3√32,即BC边上的高的最大值是3√32.【解析】本题主要考查三角函数的性质、解三角形及利用所学知识解决问题的能力.(1)先通过三角恒等变换化简f(x),再求对称轴及单调递增区间;(2)根据余弦定理和基本不等式求出bc≤9,从而求出三角形面积的最大值,利用等面积法求出BC边上的高的最大值. 【备注】三角类试题是高考的重点,以利用正、余弦定理解三角形,三角恒等变换,三角函数的图象、性质等为主,属于中低档题.将以上三个知识点结合起来,或者与向量知识相结合命制成小综合题是近几年常见的考查形式,也将是2016年的命题趋势,考生需要多加关注.求解这类试题的关键是熟练、准确地运用公式以及对式子进行恰当的恒等变形,灵活运用三角函数的图象探求给定函数的性质.17．抛掷一枚骰子,记它每次落地时向上一面的点数为该次抛掷的点数,抛掷的点数可随机出现1到6中的任意一个.甲、乙两名同学玩抛掷骰子的游戏,已知共有2枚骰子,甲、乙各抛掷1枚.(1)求甲、乙抛掷的点数均是质数的概率;(2)求甲、乙抛掷的点数之和能被3整除的概率.【答案】易知甲、乙两名同学各抛掷1枚骰子,抛掷的点数的所有可能结果共有6×6=36种情况. (1)易知1~6中的质数有2,3,5,记“甲、乙抛掷的点数均是质数”为事件A,则A包含的可能结果有(2,2),(2,3),(2,5),(3,2),(3,3),(3,5),(5,2),(5,3),(5,5),共9种, 则甲、乙抛掷的点数均是质数的概率P(A)=936=14. (2)记“甲、乙抛掷的点数之和能被3整除”为事件B,则B包含的可能结果有(1,2),(1,5),(2,1),(2,4),(3,3),(3,6),(4,2),(4,5),(5,1),(5,4),(6,3),(6,6),共12种,则甲、乙抛掷的点数之和能被3整除的概率P(B)=1236=13.【解析】本题主要考查古典概型的有关知识.解题的关键是准确列举基本事件,在列举基本事件时切忌重复或遗漏,所以考生一定要特别注意题目中的细节,以确保计算结果准确、过程完善.【备注】概率与统计解答题常结合图表考查分层抽样、古典概型概率的计算等知识,一般来说,这类问题在求解时并不是很难,准确识图并掌握图形所给信息是解题的关键.对于古典概型概率的计算,其难点在于对基本事件的列举,通常先利用树形图等方法列举出总的基本事件及满足条件的基本事件,再根据古典概型的概率计算公式求解即可.18．在等腰直角三角形ABC中,∠BAC=90°,AB=AC=2,D,E分别是边AB,BC的中点,将△BDE沿DE翻折,得到四棱锥B'-ADEC,且F为棱B'C的中点,B'A=√2.(1)求证:EF⊥平面B'AC;(2)在线段AD上是否存在一点Q,且zz⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λzz⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,使得AF∥平面B'EQ?若存在,求出λ的值;若不存在,请说明理由.【答案】(1)取AB'的中点H,连接DH,H F.∵在等腰直角三角形ABC中,∠BAC=90°,AB=AC=2,D,E分别是边AB,BC的中点,∴AD=BD=1,即B'D=1,又翻折后AB'=√2,∴AB'2=AD2+DB'2,即AD⊥B'D,则△ADB'为等腰直角三角形,∴DH⊥AB'.∵翻折后DE⊥AD,DE⊥B'D,且AD∩B'D=D,∴DE⊥平面ADB',∵DE∥AC,∴AC⊥平面ADB',∵DH⊂平面ADB',∴AC⊥DH,∵AB',AC⊂平面B'AC,且AB'∩AC=A,∴DH⊥平面B'A C.又HF∥AC,DE∥AC,且HF=12AC=DE,∴四边形DEFH是平行四边形,∴EF∥DH, ∴EF⊥平面B'AC.(2)当λ=2,即点Q是线段AD上靠近点D的三等分点时,AF∥平面B'EQ.取EC的中点P,连接FP,AP.在△CB'E中,F为B'C的中点,则FP∥B'E,∵B'E⊂平面B'EQ,FP⊄平面B'EQ,∴FP∥平面B'EQ.如图,在△ABC中,D,E分别是AB,BC的中点,Q是AD上靠近点D的三等分点,P是EC 的中点,∴BQ=12AB+13AD=12AB+16AB=23AB,BE=12BC,BP=12BC+12EC=12BC+14BC=34BC,∴在△ABP中,zzzz =2,zzzz=12zz34zz=23,∴zzzz =zzzz,∴AP∥QE,故AP∥平面B'EQ,∵AP∩FP=P,∴平面AFP∥平面B'EQ, ∵AF⊂平面AFP,∴AF∥平面B'EQ.【解析】本题主要考查线面位置关系中的平行与垂直及推理论证能力和空间想象能力.(1)要证线面垂直,只需证线线垂直,可以利用勾股定理和线面垂直去证明;(2)要证AF ∥平面B'EQ ,可用面面平行去证明.【备注】高考对立体几何的考查常以四棱柱、三棱锥等为载体,主要考查空间中点、线、面的位置关系及几何体体积的计算.在求几何体体积时,可利用等体积法进行转化;在证明线面平行时,一般要转化为证明线线平行;在证明线面垂直时,一般要转化为证明线线垂直.19．已知等差数列{a n }的公差d 为正数,且a 2,a 3为方程x 2-5x+6=0的两个实根.数列{b n }的前n 项和为S n ,且点(b n ,S n )在直线y =-x+1上. (1)求数列{a n }和{b n }的通项公式;(2)令c n =a n ·b n ,求数列{c n }的前n 项和T n .【答案】(1)因为a 2,a 3是方程x 2-5x+6=0的两个实根,所以{z 2+z 3=5z 2·z 3=6,解得{z 2=2z 3=3或{z 2=3z 3=2.又等差数列{a n }的公差d 为正数,所以{z 2=2z 3=3,所以d =1,a 1=2-1=1,a n =1+(n-1)·1=n ,n ∈N *. 因为点(b n ,S n )在直线y =-x+1上,所以S n =-b n +1. 当n =1时,b 1=S 1=-b 1+1,即b 1=1.当n ≥2时,b n =S n -S n-1=(-b n +1)-(-b n-1+1),即b n =12b n-1,所以数列{b n }是首项为12,公比为12的等比数列,即b n =(12)n ,n ∈N *.(2)由(1)知a n =n ,n ∈N *且b n =(12)n ,n ∈N *,则c n =a n ·b n =n ·(12)n ,n ∈N *.所以T n =1×1+2×(1)2+3×(1)3+…+n ×(1)n ①,12T n =1×(12)2+2×(12)3+…+(n-1)×(12)n +n ×(12)n+1 ②,①-②得12T n =12+(12)2+(12)3+…+(12)n -n ·(12)n+1=1-(n+2)·(12)n+1,所以T n =2-(n+2)·(12)n ,n ∈N *.【解析】本题考查数列的通项公式及前n 项和的求解,同时考查了等差数列的相关性质、等比数列的概念及错位相减法的应用.(1)利用一元二次方程根与系数的关系列出关于a 2,a 3的方程组,进而得{a n }的通项公式,由S n 与b n 的递推关系求数列{b n }的通项公式;(2)直接使用错位相减法求解即可.20．已知函数f (x )=x (x-a )2,g (x )=-x 2+(a-1)x+a (a ∈R ).(1)如果函数f (x )和g (x )有相同的极值点,求a 的值,并直接写出函数f (x )的单调区间; (2)令F (x )=f (x )-g (x ),试讨论函数y =F (x )在区间[-1,3]上的零点个数.【答案】(1)f (x )=x (x-a )2=x 3-2ax 2+a 2x , 则f'(x )=3x 2-4ax+a 2=(3x-a )(x-a ). 令f'(x )=0得,x =a 或x =z3. 因为二次函数g (x )在x =z −12处有极大值,所以z −12=a 或z −12=z3,解得a =-1或a =3.当a =3时,f (x )的单调递增区间为(-∞,1)和(3,+∞),单调递减区间为(1,3);当a =-1时,f (x )的单调递增区间为(-∞,-1)和(-13,+∞),单调递减区间为(-1,-13).(2)F (x )=f (x )-g (x )=x (x-a )2-[-x 2+(a-1)x+a ]=x (x-a )2+(x-a )(x+1)=(x-a )[x 2+(1-a )x+1]. 令h (x )=x 2+(1-a )x+1,则方程h (x )=0的判别式Δ=(1-a )2-4=(a+1)(a-3).①当Δ<0,即-1<a <3时,h (x )=0无实根,故y =F (x )的零点为x =a ∈[-1,3],满足题意, 即函数y =F (x )有唯一的零点a ,a ∈[-1,3]; ②当Δ=0,即a =-1或a =3时,若a =-1,则h (x )=0的实数解为x =-1,故y =F (x )在区间[-1,3]上有唯一的零点-1, 若a =3,则h (x )=0的实数解为x =1,故y =F (x )在区间[-1,3]上有两个零点1,3; ③当Δ>0,即a <-1或a >3时,若a <-1,由于h (-1)=a+1<0<h (0)=1,h (3)=13-3a >0,此时h (x )=0在区间[-1,3]上有唯一实数解,故y =F (x )在区间[-1,3]上有唯一的零点, 若a >3,由于h (-1)=a+1>4,h (0)=1>0,h (3)=13-3a ,当13-3a ≤0,即a ≥13时,数形结合可知h (x )=0在区间[-1,3]上有唯一实数解,故y =F (x )在区间[-1,3]上有唯一的零点,当13-3a >0,即3<a <133时,由于y =h (x )的图象的对称轴为x =z −12,故1<z −12<53,又h (0)=1>0,h (3)=13-3a >0,且Δ>0,所以h (x )=0在区间[-1,3]上有两个不相等的实数解,故y =F (x )在区间[-1,3]上有两个不相等的零点.综上所述,当a <3或a ≥133时,函数y =F (x )有唯一的零点;当3≤a <133时,函数y =F (x )有两个不相等的零点.【解析】本题主要考查函数的单调性、极值点、零点及利用分类讨论、转化与化归等思想方法解决问题的能力.(1)根据相同的极值点求出a 的值和单调区间;(2)根据a 的值讨论函数F (x )的零点个数.【备注】高考对导数的考查主要包括导数的几何意义以及以导数为工具研究函数的图象与性质,并常与方程的根、不等式恒成立相结合,综合考查考生的应用能力.解题的关键是正确求出导函数,熟练掌握解这类题的一般方法,注意分类讨论和数形结合思想方法的运用,以不变应万变.21．已知椭圆C :z 2z2+z 2z2=1(a >b >0)的右焦点为F 2(2,0),点P (1,-√153)在椭圆C 上.(1)求椭圆C 的标准方程;(2)是否存在斜率为-1的直线l 与椭圆C 相交于M ,N 两点,使得|F 1M|=|F 1N|(F 1为椭圆的左焦点)?若存在,求出直线l 的方程;若不存在,说明理由.【答案】(1)解法一 ∵椭圆C 的右焦点为F 2(2,0),∴c =2,椭圆C 的左焦点为F 1(-2,0). 由椭圆的定义可得2a =√153)+(1−2)+(−√153)=√969+√249=2√6,解得a =√6,∴b 2=a 2-c 2=6-4=2.∴椭圆C 的标准方程为z 26+z 22=1. 解法二 ∵椭圆C 的右焦点为F 2(2,0),∴c =2,故a 2-b 2=4,又点P (1,-√153)在椭圆C 上,则1z 2+159z 2=1,故1z 2+4+159z 2=1,化简得3b 4+4b 2-20=0,得b 2=2,a 2=6,∴椭圆C 的标准方程为z 26+z 22=1. (2)假设存在满足条件的直线l ,设直线l 的方程为y =-x+t ,由{z 26+z 22=1z =−z +z得x 2+3(-x+t )2-6=0,即4x 2-6tx+(3t 2-6)=0,Δ=(-6t )2-4×4×(3t 2-6)=96-12t 2>0,解得-2√2<t <2√2.设M (x 1,y 1),N (x 2,y 2),则x 1+x 2=3z2,x 1x 2=3z2−64,由于|F 1M|=|F 1N|,设线段MN 的中点为E ,则F 1E ⊥MN ,故z z 1z =-1z zz =1,又F 1(-2,0),E (z 1+z 22,z 1+z 22),即E (3z ,4), ∴z z 1z =z 43z 4+2=1,解得t =-4.当t =-4时,不满足-2√2<t <2√2,∴不存在满足条件的直线l .【解析】本题主要考查椭圆的定义、方程,直线与椭圆的位置关系等,考查考生的数形结合思想和运算求解能力.对于第(1)问,考虑两种方法解决,利用椭圆的定义比较快捷;第(2)问是探究性问题,先假设存在满足条件的直线l ,设出直线l 的方程,与椭圆方程联立,得到关于x 的一元二次方程,结合判别式求出t 的取值范围,再由|F 1M|=|F 1N|求出t =-4,与题意不符,则不存在满足条件的直线l .【备注】高考一般从两个方面对圆锥曲线进行考查:一是由圆锥曲线的定义或几何性质求圆锥曲线的标准方程;二是研究直线与圆锥曲线的交点问题、弦的中点问题、直线的方程、几何图形的面积、动点、动直线变化过程中的不变量(即定值)问题等.。