2020年百校联盟TOP20高考数学模拟试卷(理科)(3月份)一、单项选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知集合A={x|2x2+x>0}，B={x|2x+1>0}，则A∩B=()A. {x|x>−12} B. {x|x>12} C. {x|x>0} D. R2.若复数z=1+i3−4i，则|z−|=()A. 25B. √25C. √105D. 2253.下列函数中，既是偶函数，又在[0,+∞)上单调递减的函数是()A. y=1x2B. y=−x2C. y=−xD. y=−x2−2x+34.过双曲线x2−y23=1的右焦点且与x轴垂直的直线，交该双曲线的两条渐近线于A，B两点，则|AB|=()A. 4√33B. 2√3C. 6D. 4√35.某几何体的三视图如图所示，则关于该几何体的形状，下列叙述正确的是()A. 该几何体是由一个长方体与半个圆柱组成B. 该几何体是由一个长方体与半个球组成C. 该几何体是由一个圆柱截去了一半后所得的几何体正(主)视图侧(左)视图D. 该几何体是一个圆柱截去了14所得的几何体6. 如图，在平面直角坐标系xOy 中，O 是正六边形A 1A 2…A 6的中心，若A 1(√154,14)，则点A 3的纵坐标为( )A. −√15+√38B. √15−√38C. 3√5−18D. 3√5+187. 如图，ABCD −A 1B 1C 1D 1是正方体，在底面A 1B 1C 1D 1上任取一点M ，则∠MAA 1≤π6的概率P =( )A. π15 B. π12 C. π9 D. π68. 执行如图所示的程序框图，输入的n 值为4，则S =( )A. 2B. 6C. 14D. 309. 已知实数x ，y 满足条件{x −y +1≥0y +1≥0x +y +1≤0，那么2x −y 的最大值为( )A. −3B. −2C. 1D. 210. 设tan(α−β)=3,tan(β+π4)=−2,则tan(α+π4)等于( )A. 17B. −17C. −35D. 3511. 设椭圆x 2a2+y 23=1(a >√3)的右焦点为F ，右顶点为A.已知1|OF |+1|OA |=3e|FA |，其中O 为原点，e为椭圆的离心率．则e =( )A. √32B. 12C. √22D. √3−112. 若函数f(x)=e x −ax 的极值为1，则实数a 的值为( )A. eB. 2C. √2D. 1二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 在(2x −1)5的展开式中，含x 2的项的系数是__________(用数字填写答案)．14. 甲、乙、丙、丁4名同学参加了百米比赛的预赛．甲说：“我没进决赛”；乙说：“丙进了决赛”；丙说：“丁进了决赛’’；丁说：“我没进决赛”.若这四人中只有一人进了决赛，且只有一人说了真话，则进入到决赛的人是________．15. 在△ABC 中，∠A =π3，AB =2，AC =4，AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =12AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，则BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BA ⃗⃗⃗⃗⃗ =______ 16. △ABC 的内角A ，B ，C 对边分别为a ，b ，c ，且满足sin A ：sin B ：sinC =2：3：4，则a+bb+c = ______ ． 三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17. 在数列{a n }中，a 1=15，a n +a n+1=65n+1(n ∈N +)(1)证明：{5n a n −1}是常数列；(2)设x n =(2n −1)⋅10n a n ，求{x n }的前n 项和T n ．18. 如图，在四棱锥P −ABCD 中，PD ⊥平面ABCD ，底面ABCD 为梯形，AB//CD ，∠BAD =60°，PD =AD =AB =2，CD =4，E 为PC 的中点．(Ⅰ)证明：BE//平面PAD；(Ⅱ)求直线PB与平面BDE所成角的正弦值．19.某种产品的质量以其质量指标值来衡量，质量指标值越大表明质量越好，记其质量指标值为k，当k≥85时，产品为一等品；当75≤k<85时，产品为二等品；当70≤k<75时，产品为三等品.现有甲、乙两条生产线，各生产了100件该产品，测量每件产品的质量指标值，得到下面的试验结果.(以下均视频率为概率)甲生产线生产的产品的质量指标值的频数分布表：指标值分组[75,80)[80,85)[85,90)[90,95)频数10304020乙生产线产生的产品的质量指标值的频数分布表：指标值分组[70,75)[75,80)[80,85)[85,90)[90,95)频数1015253020(1)若从乙生产线生产的产品中有放回地随机抽取3件，求至少抽到2件三等品的概率；(2)若该产品的利润率y 与质量指标值k 满足关系：y ={t,k ≥855t 2,75≤k <85t 2,70≤k <75，其中0<t <15，从长期来看，哪条生产线生产的产品的平均利润率更高？请说明理由．20. 已知抛物线C ：y 2=4x 的焦点为F ，直线l ：y =x −2与抛物线C 交于A ，B 两点．(1)求AB 弦长； (2)求△FAB 的面积．21. 设函数f(x)=(1−x 2)e x ．(1)讨论f(x)的单调性；(2)当x ≥0时，f(x)≤ax +1，求a 的取值范围．22. 在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为{x =3+√32t y =12t(t 为参数)，在以坐标原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C 的极坐标方程为ρ=4cosθ． (Ⅰ)若直线l 与曲线C 交于A ，B 两点，求线段AB 的中点P 的直角坐标； (Ⅱ)设点M 是曲线C 上任意一点，求△MAB 面积的最大值．23. 已知函数f(x)=|x −a|+12a (a ≠0)．(1)若不等式f(x)−f(x +m)≤1恒成立，求实数m 的最大值； (2)当a <12，函数g(x)=f(x)+|2x −1|有零点，求实数a 的取值范围．【答案与解析】1.答案：C解析：解：A ={x|x <−12,或x >0},B ={x|x >−12}； ∴A ∩B ={x|x >0}． 故选：C ．可求出集合A ，B ，然后进行交集的运算即可．考查描述法的定义，一元二次不等式的解法，以及交集的运算．2.答案：B解析：解：z =1+i3−4i =(1+i)(3+4i)(3−4i)(3+4i)=−1+7i 25=−125+725i ，|z|=√(−125)2+(725)2=√225=√25， 故选：B ．根据复数代数形式的乘除运算以及复数的模即可求出．本题考查复数代数形式的乘除运算，考查了复数的模，是基础题．3.答案：B解析：本题考查函数的单调性和奇偶性，属于基础题． 根据函数的单调性与奇偶性逐一判断即可．解：对于A ，令f(x)=1x 2，则f(−x)=f(x)，定义域是{x|x ≠0}，所以函数为偶函数，但x ≠0，故A 不符合题意；对于B ，令f(x)=−x 2，则f(−x)=f(x)，定义域是R ，所以函数是偶函数，且在[0,+∞)上单调递减，B 符合题意；对于C ，令f(x)=−x ，且f(−x)=−f(x)，定义域是R ，所以函数是奇函数，C 不符合题意； 对于D ，令f(x)=−x 2−2x +3，f(x)为非奇非偶函数，D 不符合题意， 故选B ．解析：本题考查双曲线的性质及几何意义。

解：由双曲线方程知，右焦点为(2,0)，直线x =2与渐近线y =±√3x 的交点A(2,2√3)，B(2,−2√3)，所以|AB |=4√3． 故选D ．5.答案：A解析：本题考查由三视图还原几何体，属于基础题． 根据三视图的特征即可求解．解：根据三视图可得该几何体是由一个长方体与半个圆柱组成，如下图：，故选A ．6.答案：C解析：解：在平面直角坐标系xOy 中，O 是正六边形A 1A 2…A 6的中心，若A 1(√154,14)，可知：|OA 1|=1，所以sinθ=14，cosθ=√154，点A 3的纵坐标：sin(2π3+θ)=√32cosθ−12sinθ=√32×√154−12×14=3√5−18． 故选：C ．通过三角函数的定义，以及两角和与差的三角函数转化求解点A 3的纵坐标即可． 本题考查三角函数的定义，两角和与差的三角函数的应用，考查转化思想以及计算能力．解析：解：设棱长为3，则∠MAA1=π6时，MA1=√3，∴∠MAA1≤π6表示以A1为圆心，√3为半径的14圆面，其面积为3π4，∵正方形A1B1C1D1的面积为9，∴∠MAA1≤π6的概率P=3π49=π12．故选：B．本题是几何概型问题，设棱长为3，∠MAA1≤π6表示以A1为圆心，√3为半径的14圆面，其面积为3π4，求出正方形A1B1C1D1的面积为9，即可求出∠MAA1≤π6的概率本小题主要考查几何概型、几何概型的应用、几何体和体积等基础知识，考查空间想象能力、化归与转化思想．属于基础题．8.答案：C解析：本题考查循环结构的运行，基础题．模拟执行框图的程序，直到k=4时，不满足循环条件，输出此时S的值．解：S=0，k=1，满足k<n；S=2，k=2，满足k<n；S=6，k=3，满足k<n；S=14，k=4，不满足k<n，输出S=14．故选C．9.答案：C解析：解：由约束条件作出图形：易知可行域为一个三角形，验证当直线过点A(0,−1)时，z取得最大值z=2×0−(−1)=1，故选：C．先根据约束条件画出可行域，z=2x−y表示斜率为2的直线在y轴上的截距的相反数，只需求出可行域直线在y轴上的截距最小值即可．本题是考查线性规划问题，准确作图以及利用几何意义求最值是解决问题的关键，属中档题．10.答案：A解析：tan(α+π4)=tan[(α−β)+(β+π4)]=tan(α−β)+tan(β+π4)1−tan(α−β)tan(β+π4)=3−21+3⋅2=17.11.答案：B解析：本题考查了椭圆的性质，考查了椭圆的离心率的求法，是基础题．把|OF|、|OA|、|FA|代入1|OF|+1|OA|=3e|FA|，转化为关于a，c关系式，进而求得c值，进一步求出a值，则椭圆的离心率e可求．解：设F(c,0)，由1|OF|+1|OA|=3e|FA|，即1c+1a=3ca(a−c)，可得a2−c2=3c2，又a2−c2=b2=3，∴c2=1，因此a2=4．∴e2=c2a2=14，则e=12．故选：B．12.答案：D解析：本题考查利用导数研究函数的极值，属于基础题目．由f′(x)=0得出f(x)的极值点，得出f(x)的极值，由f(x)的极值为1，得出关系式求出a的值即可．解：由已知可得f′(x)=e x−a，令f′(x)=e x−a=0，则a>0时方程才有解，解得x=lna，此时f(x)的极值为f(lna)=e lna−alna=a−alna=1，解得a=1．故选D．13.答案：−40解析：由二项展开式的同项T r+1=C5r(2x)5−r(−1)r(r=0,1,⋯,5)知，当r=3时，T4=C53(2x)5−3(−1)3=−40x2，所以含x2的项的系数是−40．14.答案：甲解析：本题考查了合情推理(归纳、类比推理)．由丙、丁的说法知道丙与丁中有一个人说的是真话，若丙说了真话，则甲必是假话，矛盾，若丁说了真话，则甲说的是假话，所以甲就是进入到决赛的那个人．解：由丙、丁的说法知道丙与丁中有一个人说的是真话，若丙说了真话，则甲必是假话，矛盾，若丁说了真话，则甲说的是假话，所以甲就是进入到决赛的那个人．故答案为甲．15.答案：2解析：本题主要考查了向量的基本运算及向量的数量积的定义的简单应用，属于中档题．由已知可得，D 为AC 中点，从而有BD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =BA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗2=12(2BA ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ )，代入BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BA ⃗⃗⃗⃗⃗ ，结合向量的数量积的定义可求． 解：∵AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =12AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ， ∴D 为AC 中点，BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =BA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗2=12(2BA ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC⃗⃗⃗⃗⃗ )， ∵∠A =π3，AB =2，AC =4，则BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BA ⃗⃗⃗⃗⃗ =12(BA ⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ )⋅BA ⃗⃗⃗⃗⃗ =12(2BA ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ )⋅BA ⃗⃗⃗⃗⃗ =BA ⃗⃗⃗⃗⃗ 2−12AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AC⃗⃗⃗⃗⃗ =4−12×2×4×cos 13π=2， 故答案为：2．16.答案：57解析：利用正弦定理即可得出．本题考查了正弦定理的应用，属于基础题． 解：∵sinA ：sin B ：sinC =2：3：4， 由正弦定理可得：a ：b ：c =2：3：4， ∴a+b b+c=2+33+4=57， 故答案为57．17.答案：(1)证明：由a n +a n+1=65n+1(n ∈N +)得，5n+1a n+1+5n+1a n =6，即5n+1a n+1+5⋅5n a n =6， ∴5n+1a n+1−1=−5⋅5n a n +5=−5(5n a n −1)， 又a 1=15，∴5a 1−1=0， ∴{5n a n −1}是常数列；(2)解：由(1)得5n a n −1=0，即a n =15n ，∴x n =(2n −1)⋅10n a n =x n =(2n −1)⋅10n ⋅15n =(2n −1)⋅2n ， ∴T n =1×2+3×22+5×23+⋯+(2n −1)⋅2n 2T n =1×22+3×23+5×24+⋯+(2n −1)⋅2n+1，两式相减得，−T n =2+(22+23+24+⋯2n )−(2n −1)⋅2n+1 =2(1−2n )1−2−(2n −1)⋅2n+1=−(2n −2)⋅2n+1−2∴T n =(n −1)⋅2n+2+2．解析：本题考查了数列递推公式的变形及化简，错位相减法求数列的和，考查了化简能力，属于中档题．(1)根据结论对递推公式进行化简，结合a 1的值进行证明；(2)由(1)求出通项a n ，代入x n =(2n −1)⋅10n a n 化简后，利用错位相减法求数列的和T n ．18.答案：证明：(Ⅰ)设F 为PD 的中点，连接EF ，FA ．因为EF 为△PDC 的中位线，所以EF//CD ，且EF =12CD =2． 又AB//CD ，AB =2，所以AB =EF ，且AB//EF ， 故四边形ABEF 为平行四边形，所以BE//AF ． 又AF ⊂平面PAD ，BE ⊄平面PAD ， 所以BE//平面PAD ．解：(Ⅱ)设G 为AB 的中点，因为AD =AB ，∠BAD =60°， 所以△ABD 为等边三角形，故DG ⊥AB ； 因为AB//CD ，所以DG ⊥DC ；又PD ⊥平面ABCD ，所以PD ，DG ，CD 两两垂直 ，以D 为坐标原点，DG ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 为x 轴、DC ⃗⃗⃗⃗⃗ 为y 轴、DP ⃗⃗⃗⃗⃗ 为z 轴建立空间直角坐标系D −xyz ，则P(0,0，2)，B(√3,1,0)，E(0,2，1)，DE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,2,1)，DB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(√3,1,0)， 设n⃗ =(x,y ，z)为平面DBE 的一个法向量， 则{n ⃗ ⋅DE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0n ⃗ ⋅DB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0，即 {2y +z =0√3x +y =0, 令y =1，则n ⃗ =(−√33,1,−2)，又PB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(√3,1,−2)，所以cos <n ⃗ ,PB ⃗⃗⃗⃗⃗ >=n ⃗⃗ ⋅PB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗|n ⃗⃗ |⋅|PB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=√64， 即直线PB 与平面BDE 所成角的正弦值为√64．解析：本题考查线面平行的证明，考查线面角的正弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．(Ⅰ)设F 为PD 的中点，连接EF ，FA ，推导出四边形ABEF 为平行四边形，BE//AF.由此能证明BE//平面PAD ．(Ⅱ)设G 为AB 的中点，以D 为坐标原点，DG ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 为x 轴、DC ⃗⃗⃗⃗⃗ 为y 轴、DP ⃗⃗⃗⃗⃗ 为z 轴，建立空间直角坐标系D −xyz ，利用向量法能求出直线PB 与平面BDE 所成角的正弦值．19.答案：(1)7250(2)甲解析：(1)先求出随机抽取一次抽中三等品的概率，然后利用互斥事件的概率公式计算所求概率值；(2)分别计算甲、乙生产线生产产品的利润分布列，作差比较大小即可得到结论． 【详解】解：(1)由题意知，从乙生产线生产的产品中随机抽取一次抽中三等品的概率为110，所以P =C 32×(110)2×910+(110)3=7250． (2)甲生产线生产的产品的利润分布列为所以E(y 甲)=0.6t +2t 2，乙生产线生产的产品的利润分布列为所以E(y 乙)=0.5t +2.1t 2，因为0<t <15，所以E(y 乙)−E(y 甲)=0.1t 2−0.1t =0.1t (t −1)<0所以从长期来看，甲生产线生产的产品平均利润率较大．本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法．20.答案：解：(1)设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2).联立{y =x −2y 2=4x，得x 2−8x +4=0，△=64−4×4>0，x 1+x 2=8，x 1⋅x 2=4． ∴|x 1−x 2|=√(x 1+x 2)2−4x 1x 2=4√3， ∴|AB|=√1+k 2⋅|x 1−x 2|=√2×4√3=4√6； (2)点F(1,0)，点F 到直线AB 的距离d =√2=√22， ∴S △ABF =12⋅|AB|⋅d =12×4√6×√22=2√3．解析：(1)联立直线方程与抛物线方程，化为关于x 的一元二次方程，再由根与系数的关系及弦长公式求解；(2)求出焦点到直线AB 的距离，代入三角形面积公式得答案．本题考查直线与抛物线的位置关系的应用，考查弦长公式、点到直线距离公式的应用，考查计算能力，是中档题．21.答案：解：(1)f′(x)=(1−2x−x2)e x，令f′(x)=0，得x=−1−√2或x=−1+√2，当x∈(−∞,−1−√2)时，f′(x)<0；当x∈(−1−√2,−1+√2)时，f′(x)>0；当x∈(−1+√2,+∞)时，f′(x)<0．所以f(x)在(−∞,−1−√2)，(−1+√2,+∞)单调递减，在(−1−√2,−1+√2)单调递增．(2)f(x)=(1+x)(1−x)e x．当a≥1时，设函数ℎ(x)=(1−x)e x，ℎ′(x)=−xe x<0(x>0)，因此ℎ(x)在[0,+∞)上单调递减，而ℎ(0)=1，故ℎ(x)≤1，所以f(x)=(x+1)ℎ(x)≤x+1≤ax+1；当0<a<1时，设函数g(x)=e x−x−1，g′(x)=e x−1>0(x>0)，所以g(x)在[0,+∞)上单调递增，而g(0)=0，故e x≥x+1．当0<x<1时，f(x)>(1−x)(1+x)2，(1−x)(1+x)2−ax−1=x(1−a−x−x2)，取x0=√5−4a−1，则x0∈(0,1)，(1−x0)(1+x0)2−ax0−1=0，故f(x0)>ax0+1；2，则x0∈(0,1)，f(x0)>(1−x0)(1+x0)2=1≥ax0+1，当a≤0时，取x0=√5−12综上，a的取值范围是[1,+∞)．解析：本题主要考查了函数的单调性，属于中档题．(1)求导，解f′(x)<0，f′(x)>0；判断单调性；(2)讨论a的取值，判断单调性，求出a的取值范围．22.答案：解：(Ⅰ)曲线C 的直角坐标方程为(x −2)2+y 2=4，将直线l 的参数方程{x =3+√32t y =12t代入曲线C 的直角坐标方程得：(3+√32t −2)2+(12t)2=4，化简得t 2+√3t −3=0，设A ，B 的参数分别为t 1，t 2，由韦达定理得：t 1+t 2=−√3， 于是t P =t 1+t 22=−√32.设P(x 0,y 0)， 则{x 0=3+√32×(−√32)=94y 0=12×(−√32)=−√34故，点P 的直角坐标为P(94,−√34)．(Ⅱ)由(Ⅰ)知：t 1+t 2=−√3，t 1⋅t 2=−3 所以，|AB|=|t 1−t 2|=√(t 1+t 2)2−4t 1t 2=√15又直线l 的普通方程为x −√3y −3=0，圆心C(2,0)到直线l 的距离为d =√12+(√3)2=12，圆半径r =2.所以，点M 到直线l 的距离的最大值为ℎmax =d +r =52．因此，△MAB 面积的最大值为：S =12|AB|⋅ℎmax =12√15×52=5√154．解析：(Ⅰ)直接利用转换关系，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换． (Ⅱ)利用一元二次方程根和系数关系式的应用求出结果．本题考查的知识要点：参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，一元二次方程根和系数关系式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．23.答案：解：(1)f(x +m)=|x +m −a|+12a ，f(x)−f(x +m)=|x −a|−|x +m −a|≤｜m ｜， ∴f(x)−f(x +m)≤1恒成立当且仅当|m|≤1， ∴−1≤m ≤1，即实数m 的最大值为1．(2)当a <12时，g(x)=f(x)+|2x −1|=|x −a|+|2x −1|+12a={−3x +a +12a +1,x <a,−x −a +12a +1,a ⩽x ⩽123x −a +12a −1,x >12,∴g(x)min =g(12)=12−a +12a=−2a 2+a+12a⩽0，∴{0<a <12,−2a 2+a +1⩽0,或{a <0,−2a 2+a +1⩾0,， ∴−12⩽a <0，∴实数a 的取值范围是[−12,0)．解析：本题考查不等式恒成立问题解法，注意运用分类讨论思想和绝对值不等式的性质，考查函数零点问题解法，注意转化思想的运用，考查化简整理的运算能力，属于中档题．(1)由条件得f(x)−f(x +m)≤1恒成立，结合绝对值不等式的性质，求得最值，即可得到m 的最大值；(2)求得g(x)的解析式，讨论g(x)的单调性可得最小值，由题意可得最小值小于等于0，解不等式即可得到所求范围．。