2020年百校联盟TOP20高考数学模拟试卷(理科)(3月份)一、单项选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知集合A={x|2x2+x>0}，B={x|2x+1>0}，则A∩B=()A. {x|x>−12} B. {x|x>12} C. {x|x>0} D. R2.若复数z=1+i3−4i，则|z−|=()A. 25B. √25C. √105D. 2253.下列函数中，既是奇函数又在区间(0,1)上单调递增的是()A. y=−x3B. y=sin(−x)C. y=log2|x|D. y=2x−2−x4.已知直线l经过双曲线x212−y24=1的右焦点F，且与双曲线过第一、三象限的渐近线垂直，则直线l的方程是()A. y=−√3x+4√3B. y=−√3x−4√3C. y=−√33x+4√33D. y=−√33x−4√35.某多面体的三视图如图所示，其中正视图和侧视图均为等腰直角三角形，俯视图是正方形，则该多面体的各个面中，是直角三角形的有()A. 4个B. 3个C. 2个D. 1个6.如图，正方形ABCD的边长为1，延长BA至E，使AE=1，连接EC，ED，则sin∠CED=()．A. 3√1010B. √1010C. 2√515D. √5157. 在棱长为2的正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1中，点O 在底面ABCD 中心，在正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1内随机取一点P 则点P 与点O 距离大于1的概率为( )A. π12B. 1−π12C. π6D. 1−π68. 如图所示的程序框图，输出的结果是S =2017，则输入A 的值为( )A. 2018B. 2016C. 1009D. 10089. 已知实数x ，y 满足不等式组{x −3y +5≥02x +y −4≤0y +2≥0，则z =x +y 的最小值是( )A. −13B. −15C. −1D. 710. 设tan(α−β)=3,tan(β+π4)=−2,则tan(α+π4)等于( )A. 17B. −17C. −35D. 3511. 已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的右焦点为F 2，O 为坐标原点，M 为y 轴上一点，点A 是直线MF 2与椭圆C 的一个交点，且|OA|=|OF 2|=2|OM|，则椭圆C 的离心率为( )A. 13B. 25C. √55D. √5312. 若函数f(x)=e x −ax 的极值为1，则实数a 的值为( )A. eB. 2C. √2D. 1二、填空题（本大题共4小题，共20.0分） 13. (1+x)(1−2√x)5展开式中x 2的系数为______．14. 甲、乙、丙、丁四位同学被问到是否去过B 市时，甲说：我没去过，乙说：丙去过，丙说：丁去过，丁说：我没去过.在以上的回答中只有一人回答正确，且只有一人去过B 市.根据以上条件，可以判断去过B 市的人是_______________15. 在平行四边形ABCD 中，AB =2，AD =1，∠A =120°，则AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅DB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = ______ ． 16. △ABC 的内角A ，B ，C 对边分别为a ，b ，c ，且满足sin A ：sin B ：sinC =2：3：4，则a+bb+c = ______ ． 三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17. 已知数列{a n }中，a 1=1，其前n 项和为S n ，满足S n =2a n −1．(Ⅰ)求{a n }的通项公式；(Ⅱ)记b n=a nS n S n+1，求数列{b n}的前n项和T n，并证明T n<12．18.如图，在底面为直角梯形的四棱锥P−ABCD中，E为PC的中点，AD//BC，∠ABC=90°，PA⊥平面ABCD，PA=2，AD=2，AB=2√3，BC=4．(1)求证：DE//平面PAB；(2)求直线AE与平面PCD所成角的正弦值．19.某厂每日生产一种大型产品1件，每件产品的投入成本为2000元.产品质量为一等品的概率为0.5，二等品的概率为0.4，每件一等品的出厂价为10000元，每件二等品的出厂价为8000元.若产品质量不能达到一等品或二等品，除成本不能收回外，没生产一件产品还会带来1000元的损失．(1)求在连续生产3天中，恰有一天生产的两件产品都为一等品的的概率；(2)已知该厂某日生产的2件产品中有一件为一等品，求另一件也为一等品的概率；(3)求该厂每日生产该种产品所获得的利润ξ(元)的分布列及数学期望．20.已知抛物线C：y2=2px(p>0)的准线方程为x=−1．(1)求抛物线C的方程；(2)若直线l：y=x+m与抛物线C交于不同的两点A，B，M为线段AB的中点且满足|OM|=2√5(O为坐标原点)，求直线l的方程．21.设函数f(x)=(1−x2)e x．(1)讨论f(x)的单调性；(2)当x≥0时，f(x)≤ax+1，求a的取值范围．22.在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为{x=√2t(t为参数).以坐标原点O为极点，x轴的正y=t2半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρsinθ=4，M为曲线C2上的动点，点P在线段OM上，且满足|OM|⋅|OP|=16.(Ⅰ)求点P的轨迹C3的直角坐标方程；(Ⅱ)设C1与C3的交点为A，B，求△AOB的面积．23.已知f(x)=|ax−1|，若实数a>0，不等式f(x)≤3的解集是{x|−1≤x≤2}．(Ⅰ)求a的值；(Ⅱ)若f(x)+f(−x)<|k|存在实数解，求实数k的取值范围．3【答案与解析】1.答案：C解析：解：A ={x|x <−12,或x >0},B ={x|x >−12}； ∴A ∩B ={x|x >0}． 故选：C ．可求出集合A ，B ，然后进行交集的运算即可．考查描述法的定义，一元二次不等式的解法，以及交集的运算．2.答案：B解析：解：z =1+i3−4i =(1+i)(3+4i)(3−4i)(3+4i)=−1+7i 25=−125+725i ，|z|=√(−125)2+(725)2=√225=√25， 故选：B ．根据复数代数形式的乘除运算以及复数的模即可求出．本题考查复数代数形式的乘除运算，考查了复数的模，是基础题．3.答案：D解析：本题考查函数的单调性以及奇偶性的判断，关键是掌握常见函数的奇偶性与单调性，属于基础题． 根据题意，依次分析选项中函数的奇偶性与单调性，综合即可得答案． 解：根据题意，依次分析选项：对于A ，y =−x 3，是奇函数，在区间(0,1)上单调递减，不符合题意；对于B ，y =sin(−x)=−sinx ，是奇函数，在区间(0,1)上单调递减，不符合题意； 对于C ，y =log 2|x|，是偶函数，不是奇函数，不符合题意；对于D ，y =2x −2−x ，既是奇函数又在区间(0,1)上单调递增，符合题意； 故选：D ．4.答案：A解析：本题考查了直线与双曲线的简单性质，属于简单题．解：∵双曲线焦点F(4,0)，第一、三象限的渐近线方程为y=√33x，∴直线l的方程是y=−√3x+4√3，故选A．5.答案：A解析：本题主要考查空间几何体的三视图．由三视图还原原几何体，是解决问题的关键．解：由三视图还原原几何体如图P—ABCD，是直角三角形的面有4个，故选A6.答案：B解析：根据三角函数定义求出∠BEC与∠BED的三角函数值，再结合两角差的正弦公式进行求解，属基础题．解：根据三角函数的定义知：sin∠BED=√22,cos∠BED=√22,sin∠BEC=√55,cos∠BEC=2√55，故sin∠CED=sin(∠BED−∠BEC)=√22×2√55−√22×√55=√1010．故选B．7.答案：B解析：解：本题是几何概型问题，与点O距离等于1的点的轨迹是一个半球面，其体积为：V1=12 ×43 π×13=2π3“点P与点O距离大于1的概率”事件对应的区域体积为23−2π3，则点P与点O距离大于1的概率是23−2π323=1−π12．故选：B．本题是几何概型问题，欲求点P与点O距离大于1的概率，先由与点O距离等于1的点的轨迹是一个半球面，求出其体积，再根据几何概型概率公式结合正方体的体积的方法易求解．本小题主要考查几何概型、几何概型的应用、几何体和体积等基础知识，考查空间想象能力、化归与转化思想．属于基础题．8.答案：D解析：解：模拟程序的运行，可得程序框图的功能是计算并输出S=2A+1的值，由题意，可得：2017=2A+1，解得：A=1008．故选：D．根据题意，模拟程序框图的运行过程，即可得出正的确答案．本题主要考查了程序框图的应用，属于基础题．9.答案：A解析：解：作出实数x ，y 满足不等式组{x −3y +5≥02x +y −4≤0y +2≥0表示的平面区域：得到如图的阴影部分，由{y =−2x −3y +5=0，解得B(−11,−2)设z =F(x,y)=x +y ，将直线l ：z =x +y 进行平移， 当l 经过点B 时，目标函数z 达到最小值， ∴z 最小值=F(−11,−2)=−13． 故选：A ．作出题中不等式组表示的平面区域，得如图的△ABC 及其内部，再将目标函数z =2x +y 对应的直线进行平移，可得当x =y =1时，z =2x +y 取得最小值．本题给出二元一次不等式组，求目标函数的最小值，着重考查了二元一次不等式组表示的平面区域和简单的线性规划等知识，属于基础题．10.答案：A解析：tan(α+π4)=tan[(α−β)+(β+π4)]=tan(α−β)+tan(β+π4)1−tan(α−β)tan(β+π4)=3−21+3⋅2=17.11.答案：D解析：本题考查了椭圆的几何意义，考查了求椭圆的离心率问题，属于中档题．取椭圆的左焦点为F 1，连结AF 1，由ΔF 1AF 2∼ΔMOF 2可得AF 1AF 2=OM OF 2=12，从而求得AF 1=2a 3,AF 2=4a 3，由勾股定理建立方程即可．解：如图所示：取椭圆的左焦点为F1，连结AF1，依题意|OA|=|OF2|=2|OM|，可得，ΔF1AF2∼ΔMOF2，则AF1AF2=OMOF2=12，∵AF1+AF2=2a,∴AF1=2a3,AF2=4a3，由AF12+AF22=F1F22，(2a3)2+(4a3)2=(2c)2，c2 a2=59，∴e=ca=√53，则椭圆的离心率为e=√53．故选D．12.答案：D解析：本题考查利用导数研究函数的极值，属于基础题目．由f′(x)=0得出f(x)的极值点，得出f(x)的极值，由f(x)的极值为1，得出关系式求出a的值即可．解：由已知可得f′(x)=e x−a，令f′(x)=e x−a=0，则a>0时方程才有解，解得x=lna，此时f(x)的极值为f(lna)=e lna−alna=a−alna=1，解得a=1．故选D．13.答案：120解析：解：∵(1−2√x)5的展开式的通项为T r+1=C 5r ⋅15−r ⋅(−2√x)r =(−2)r ⋅C 5r ⋅x r2，取r2=2，得r =4， 取r2=1，得r =2，∴(1+x)(1−2√x)5展开式中x 2的系数为(−2)4⋅C 54+(−2)2⋅C 52=80+40=120． 故答案为：120．要求(1+x)(1−2√x)5展开式中x 2的系数，即求(1−2√x)5的展开式中含x 2的项与含x 的项的系数，作和得答案．本题考查二项式系数的性质，熟记二项展开式的通项是关键，是基础题．14.答案：甲解析：解：假设甲去过，则甲乙丙说的都是假话，丁说的是真话，符合题意．所以填甲去过． 故答案为：甲．假设甲去过，则甲乙丙说的都是假话，丁说的是真话，符合题意． 本题考查合情推理，考查学生分析解决问题的能力，比较基础．15.答案：5解析：解：AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅DB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ −AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )=AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 2−AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =4+1=5； 根据数量积的运算及计算公式即可求出AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅DB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ． 考查数量积的运算及计算公式．16.答案：57解析：利用正弦定理即可得出．本题考查了正弦定理的应用，属于基础题． 解：∵sinA ：sin B ：sinC =2：3：4， 由正弦定理可得：a ：b ：c =2：3：4， ∴a+b b+c=2+33+4=57，故答案为57．17.答案：解：(Ⅰ)由S n =2a n −1，得S n+1=2a n+1−1，后式减去前式，得a n+1=2a n+1−2a n ，得a n+1=2a n ． 因为a 1=1≠0，可得a n ≠0，所以a n+1a n=2，即数列{a n }是首项为1，公比为2的等比数列，所以a n =2n−1． (Ⅱ)因为S n =1×(1−2n )1−2=2n −1，所以b n =a nSn S n+1=2n−1(2n −1)(2n+1−1)=12(12n −1−12n+1−1)，所以T n =12[(12−1−122−1)+(122−1−123−1)+⋯+(12n −1−12n+1−1)]=12(1−12n+1−1)， 因为12n+1−1>0，所以T n <12．解析：(Ⅰ)利用数列的递推关系式判断数列是等比数列，然后求解{a n }的通项公式；(Ⅱ)求出数列的和，然后化简b n =anS n S n+1，利用裂项相消法求解数列的和即可．本题考查数列的递推关系式的应用，数列求和的方法的应用，考查计算能力．18.答案：(1)证明：取BC 中点F ，连接DF ，EF ．∵四边形ABCD 是直角梯形，BC =4，AD =2，又∵FE 是三角形PBC 的中位线，得FE//PB ，∴平面DEF//平面PAB ， ∵DE ⊂平面DEF ， ∴DE//平面PAB ；(2)解：建立如图空间直角坐标系，则A(0,0,0),P(0,0,2),D(0,2,0),C(2√3,4,0),E(√3,2,1) ∴AE⃗⃗⃗⃗⃗ =(√3,2，1)，PD ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,2，−2)，DC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2√3,2，0)， 设n⃗ =(x,y,z)是平面PCD 的一个法向量． 则{n ⃗ ⋅PD ⃗⃗⃗⃗⃗ =2y −2z =0n ⃗ ⋅DC ⃗⃗⃗⃗⃗ =2√3x +2y =0，令x =1,∴n ⃗ =(1,−√3,−√3)， ∴sinθ=|n ⃗⃗ ·AE⃗⃗⃗⃗⃗ |n|⃗⃗⃗⃗ ·|AE ⃗⃗⃗⃗⃗ ||=|√3−2√3−√3√7⋅√8|=√4214．解析：本题考查了直线与平面平行的判定，考查了求线面角的方法，考查向量方法的运用，属中档题．(1)取BC 中点F ，连接DF ，EF ，证明：平面DEF//平面PAB ，即可证明DE//平面PAB ； (2)建立坐标系，利用向量的方法求直线AE 与平面PCD 所成角的正弦值．19.答案：(Ⅰ)2764；(Ⅱ)13；(Ⅲ)分布列见解析，期望为12200．解析：试题分析：(1)利用二项分布的公式可得P (A )=C 31×14×(34)2=2764．(2)由条件概率可得另1件也为一等品的概率为13． (3)利用题意写出分布列，由分布列可求得期望为12200． 试题解析：(Ⅰ)一天中2件都为一等品的概率为0.5×0.5=14.设连续生产的3天中，恰有一天生产的两件产品都为一等品为事件A ，则P (A )=C 31×14×(34)2=2764．(Ⅱ)2件中有一等品的概率为1−12×12=34，则2件中有1件为一等品，另1件也为一等品的概率为14÷34=13． (Ⅲ)ξ的可能取值为．则P (ξ=16000)=0.52=0.25；P (ξ=14000)=C 21×0.5×0.4=0.4；P (ξ=12000)=0.42=0.16；P (ξ=5000)=C 21×0.5×0.1=0.1；P (ξ=3000)=C 21×0.1×0.4=0.08；P (ξ=−6000)=0.12=0.01． 故ξ的分布列为 ξ 16000 14000 12000 5000 3000 −6000 P0.250.40.160.10.080.01E (ξ)=16000×0.25+14000×0.4+12000×0.16+5000×0.1+3000×0.08+(−6000)×0.01=12200．20.答案：解：(1)由于抛物线C ：y 2=2px(p >0)的准线方程为x =−p2，又抛物线C 的准线为x =−1， ∴p 2=1，即p =2，∴抛物线C 的方程为y 2=4x ； (2)设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，M(x 0,y 0)，由方程组{y =x +my 2=4x 消去y ，整理得x 2+(2m −4)x +m 2=0，则△=−16m +16>0，即m <1 ①， x 1+x 2=4−2m ，y 1+y 2=(x 1+m)+(x 2+m)=(x 1+x 2)+2m =4， ∴M(2−m,2)， 由|OM|=2√5，∴√(2−m)2+22=2√5，解得m =−2或m =6 ②， 由①②得，m =−2， ∴直线l 的方程为y =x −2．解析：本题考查抛物线的方程和性质，主要考查抛物线的准线方程，同时考查直线和抛物线方程联立，运用韦达定理和中点坐标公式，考查运算能力，属于中档题．(1)由于抛物线C ：y 2=2px(p >0)的准线方程为x =−p2，由条件即可得到p =2，进而得到抛物线方程；(2)设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，M(x 0,y 0)，联立直线方程和抛物线方程，消去y ，运用韦达定理和中点坐标公式，求得M 的坐标，结合两点的距离公式，计算即可得到m ，进而得到所求直线方程．21.答案：解 ：(1)f′(x)=(1−2x −x 2)e x ，令f′(x)=0，得x =−1−√2或x =−1+√2， 当x ∈(−∞,−1−√2)时，f′(x)<0；当x ∈(−1−√2,−1+√2)时，f′(x)>0； 当x ∈(−1+√2,+∞)时，f′(x)<0．所以f(x)在(−∞,−1−√2)，(−1+√2,+∞)单调递减，在(−1−√2,−1+√2)单调递增． (2)f(x)=(1+x)(1−x)e x ．当a ≥1时，设函数ℎ(x)=(1−x)e x ，ℎ′(x)=−xe x <0(x >0)，因此ℎ(x)在[0,+∞)上单调递减，而ℎ(0)=1，故ℎ(x)≤1，所以f(x)=(x +1)ℎ(x)≤x +1≤ax +1；当0<a <1时，设函数g(x)=e x −x −1，g′(x)=e x −1>0(x >0)，所以g(x)在[0,+∞)上单调递增，而g(0)=0，故e x ≥x +1．当0<x <1时，f(x)>(1−x)(1+x)2，(1−x)(1+x)2−ax −1=x(1−a −x −x 2)， 取x 0=√5−4a−12，则x 0∈(0,1)，(1−x 0)(1+x 0)2−ax 0−1=0，故f(x 0)>ax 0+1；当a ≤0时，取x 0=√5−12，则x 0∈(0,1)，f(x 0)>(1−x 0)(1+x 0)2=1≥ax 0+1，综上，a 的取值范围是[1,+∞)．解析：本题主要考查了函数的单调性，属于中档题． (1)求导，解f′(x)<0，f′(x)>0；判断单调性； (2)讨论a 的取值，判断单调性，求出a 的取值范围．22.答案：解：(Ⅰ)根据题意，设M(ρ0,θ0)，P(ρ,θ)，则|OM|=ρ0，|OP|=ρ，易知ρ≠0．由题意，得{ρρ0=16ρ0sinθ0=4θ=θ0，解得ρ=4sinθ．故轨迹C 3的直角坐标方程为x 2+(y −2)2=4(y ≠0)．(Ⅱ)将曲线C 1的参数方程{x =√2ty =t 2(t 为参数)，转化为普通方程为y =x 22．联立{x 2+(y −2)2=4(y ≠0)y =x 22，可得A(2,2)，B(−2,2)． 所以|AB|=4，所以S △AOB =12×2×|AB|=4．解析：本题考查的知识要点：参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，极径的应用，三角形面积公式的应用，属于基础题型．(Ⅰ)直接利用转换关系，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换． (Ⅱ)将参数方程化为直角坐标方程，联立方程求解交点坐标，从而可得出面积．23.答案：解：(Ⅰ)由|ax −1|≤3，得−3≤ax −1≤3，解得：−2≤ax ≤4，a >0时，−2a ≤x ≤4a ，而f(x)≤3的解集是{x|−1≤x ≤2}， 故{−2a =−14a =2，解得：a =2；故a =2； (Ⅱ)f(x)+f(−x)3=|2x−1|+|2x+1|3≥|2x−1−2x−1|3=23，故要使f(x)+f(−x)3<|k|存在实数解，只需|k|>23，解得k >23或k <−23，∴实数k 取值范围是(−∞,−23)∪(23,+∞)．解析：(Ⅰ)求出不等式的解集，根据对应关系求出a 的值即可； (Ⅱ)根据不等式的性质求出f(x)+f(−x)3的最小值，得到关于k 的不等式，解出即可．本题考查了解绝对值不等式问题，考查分类讨论思想以及转化思想，是一道中档题．。