2017—2018学年第一学期《矩阵论》试卷
(17级专业硕士)
专业 学号 姓名 得分
一．判断题（每小题3分，共15分）
1．线性空间V 上的线性变换A 是可逆的当且仅当零的原像是零，
即ker A =0。

（ ）
2．实数域上的全体n 阶可逆矩阵按通常的加法与数乘构成一个
线性空间。

（ ）
3．设A 是n 阶方阵，则k A ),2,1( =k 当∞→k 时收敛的充分
必要条件是A 的谱半径1)(<A ρ。

（ ）
4．n 阶多项式矩阵)(λA 与)(λB 相抵当且仅当它们具有相同的秩。

（ ）
5．对于任意n 阶复矩阵A 与B ，有B A B A e e e +=⋅。

（ ）
二．填空题（每小题4分，共20分）
1．设V 是数域K 上全体n 阶反称矩阵按通常的加法与数乘构成的一个 线性空间，则其维数V dim = ，V 的一组基是。

2．⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛+-=)1()1(1)(223λλλλλA 的初等因子组为
，不变因子组为。

3．设⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛--=211`2A ，则1||||A = ，F A ||||= ， 2||||A = ，=2)(A cond 。

4． 设1][-n x P 是数域K 上次数不超过1-n 的多项式空间，求导算子D
在基12,,,,1-n x x x 以及基12)!
1(1,,!21,
,1--n x n x x 下的矩阵分别为
， 。

5．设A 是复数域上的正规矩阵，则A 满足： ，并
写出常用的三类正规矩阵 。

三．计算题（每小题12分，共48分）
1．在3R 中，试用镜像变换（Householder 变换）将向量T )2,2,1(-=α
变为与T e )1,0,0(3=同方向的向量，写出变换矩阵。

2． 22⨯R 中，取基（I ）：⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=1000,0100,0010,000122211211E E E E ，以及基（II ）：⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛='⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛='⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛='⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛='1001,0111,0011,000122211211E E E E ， （1）求基（I ）到基（II ）的过渡矩阵；（2）若定义22⨯R 中线性变换
A A c b a
A ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=0
)(，求A 在基（I ）下的矩阵。

3．设⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛-----=539649214A ，试求：（1）A 的不变因子及初等因子;
（2）A 的极小多项式及若尔当（Jordan ）标准形J 。

（3）求变换矩阵P ，使得J AP P =-1。

4．设⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛-=0112A ，（1）求At e 及At sin （要求用两种方法）
四．证明题（第一小题10分，第二小题7分）
1．设A 是n 阶矩阵，如果A 的某算子范数1||||<A ，证明： A E -可逆，且||
||1||||||)(||1A A A E E -≤---。

2．设A 是数域K 上n 维线性空间V 上的线性变换，满足A 2= A ， {|1α=V A 0=α}，{|2α=V A αα=}，证明：21V V V ⊕=。