其中 A ,B 分别是差分方程左、 右端的系数向量， k 表示输出序列的取值范围， h(n) 就是系统单位序列响应。2. 离散系统频率特性分析的原理与实现 离散系统的幅频特性曲线和相频特性曲线直观地反映了系统对不同频率的 输入序列的处理情况，我们只要知道离散系统的频率响应 H (e jω ) ,就可分析离散 系统的整个频率特性。 几何矢量法是通过系统函数零极点分布来分析离散系统频 率响应的一种直观又简便的方法， 该方法将对系统函数的零极点视为 Z 平面上的 矢量,通过对这些矢量的模和相角的分析,即可迅速确定出系统幅频响应和相频 响应。基本原理如下： 设某离散系统的系统函数为
实验一
一、实验目的
信号、系统及系统响应
1．熟悉 MATLAB 平台的使用，掌握离散信号、离散系统的 MATLAB 实现。 2．掌握根据系统函数求解系统单位序列响应的基本原理和方法。 3．理解离散系统频率特性分析的基本原理，掌握根据系统函数零极点分布来分 析离散系统频率响应的几何矢量法。
二、实验原理与方法 1．据据系统函数求解系统单位序列响应的基本原理和方法 离散系统可以用如下所示的线性常系数差分方程来描述：
j =1 N
M
jω
−qj) − pi )
∏ (e
i =1
jω
考虑矢量 e jω − q j ,由矢量运算可知,它实际就是零点 q j 到单位圆上的点 e jω 的矢量。而矢量 e jω − pi 就是极点 pi 到单位圆上的点 e jω 的矢量,令: e jω − q j = B j e
jψ j
e jω − pi = Ai e jθ i 则 B j 就是零点 q j 到单位圆上的 e jω 的矢量的长度(距离),而ψ j 就是该矢量 的相角, Ai 就是极点 pi 到单位圆上的点 e jω 的矢量长度(距离),而 θ i 就是该矢量 的相角,因此有:
X (kΩ 0 ) ，如下式所示，即
X (kΩ0 ) = 1 N
∑ x (n )e
n=0
N −1
− jkΩ0 n
式中 N 是信号的周期，n 为时间离散变量，k 为数字频率离散变量， kω0 是 k 次谐波的数字频率。所以 X ( kΩ 0 ) 是复指数序列个谐波分量的复振幅，反映了 各谐波分量的幅度和相位，用它可以对离散周期信号在频域进行分析。由于
1 X ((k + N )Ω0 ) = N
∑ x ( n) e
n =0
N −1
− j ( k + N )(
2π )n N
= X (kΩ 0 )
所以离散周期信号的频谱是一个以 N 为周期的周期性离散频谱， 各谱线之间 的间隔为 Ω 0
= 2π / N ，而且存在谐波的关系。应该指出，当周期信号从连续
域变换到离散域以后， 它的频率 ω 也从-∞→+∞的无限范围， 映射到 Ω 从 0-2 π 的有限范围。因此在连续域，傅立叶级数可表示为具有无限多个谐波分量；而在 离散域，只含有有限个谐波分量，其最高谐波次数为 k 散傅立叶级数是一个有限项的级数。 (4)离散非周期信号 对于离散非周期信号，如同连续非周期信号，通过离散时间傅立叶变换可求 得非周期序列的频谱密度函数 X (Ω) ，即 X (Ω) = ∑ x(n)e − jΩn
X (ω ) = ∫ x (t )e − jωt dt
−∞
∞
可 见 ， 非周期 信号的频 谱 函数 X (ω ) 是 连续 频率的 复 函数， 与周期 信号的
X (kω 0 ) 是离散频率的复函数有所不同。周期信号的频谱结构具有离散性和谐波
性， X (kω 0 ) 表示的是每个谐波分量的复振幅；非周期信号的频谱结构具有连续 性， X (ω ) 表示的是每单位带宽内所有谐波分量合成的复振幅，所以称为频谱密 度函数，为了方便，习惯上仍称为 x(t)的频谱。 (3)离散周期信号 对 于 离散 周期 信号， 从 离散 傅立叶级 数 展开 式中可以求得 傅立叶 系数
变换类型 低通
变换关系式
备
注
高通
：带 带通 通的上下边带临界频率 以低通数字滤波器为例，将设计步骤归纳如下： 1. 确定数字滤波器的性能指标：通带临界频率 fp、阻带临界频率 fr；通带 内的最大衰减 Ap；阻带内的最小衰减 Ar；采样周期 T； 2. 确定相应的数字角频率，ωp=2πfpT；ωr=2πfrT； 3. 计算经过预畸的相应模拟低通原型的频率，
∑ a y (k − i ) = ∑ b f (k − j )
i j i =0 j =0 M
N
M
(1)
其中 y(k)为系统输出序列,f(k)为输入序列。将其进行 Z 变换得:
H(z)=
Y ( z) = F ( z)
∑b z
j j =0 N
j
∑a z
i=0 i
=
i
B( z) A( z )
(2)
式 1 中 A(z)和 B(z)分别是由描述系统的差分方程的系数决定的关于 z 的多 项式。离散时间系统单位序列响应的求解为： h(n) = impz ( B, A, k ) (3)
3 已知某离散系统的框图如图所示,用 MATLAB 分析其频率特性,并绘制其幅频和 相频特性曲线。
实验二
一、实验目的
用 FFT 作频谱分析
1．熟悉 DFT、FFT 的算法，掌握 DFT 有关参数的选取。
2．掌握用 FFT 实现对各种信号频谱结构的计算，以满足理论分析和工程实际的 需要。 二、实验原理与方法 1．四种类型信号频谱变化的规律 (1)连续周期信号 一个连续周期信号，在满足一定条件下，可以通过傅立叶级数 x (t ) = = a0 + 2
1 0 −M ≤n≤M 其他
M=4，用 FFT 计算其
实验三
一、实验目的
IIR 数字滤波器的设计
1.掌握双线性变换法及脉冲相应不变法设计 IIR 数字滤波器的具体设计方法及 其原理，熟悉用双线性变换法及脉冲响应不变法设计低通、高通和带通 IIR 数字 滤波器的计算机编程。 2.观察双线性变换及脉冲响应不变法设计的滤波器的频域特性， 了解双线性变换 法及脉冲响应不变法的特点。 3.熟悉 Butterworth 滤波器、Chebyshev 滤波器和椭圆滤波器的频率特性 二、实验原理与方法 1. 脉冲响应不变法 用数字滤波器的单位脉冲响应序列 h(n)模仿模拟滤波器的冲激响应 ha(t), 让 h(n)正好等于 ha(t)的采样值，即 h(n)= ha(nT),其中 T 为采样间隔，如果
n= 0 N −1
= 2π / Ω 0 = N ,所以离
X (Ω) 是数字频率 Ω 的连续函数，它反映了非周期序列的频率特性，所以用
做离散非周期信号的频谱分析。离散非周期信号的频谱结构是连续的且具有以 2 π 为周期的周期性。 2. 如何实现用计算机对信号直接进行分析 要利用计算机对信号进行分析， 必须要求该信号在时域的波形以及在频域的 频谱均为离散的序列。否则无法计算。怎样才能将在时域或频域是连续函数的信 号离散化，而又不丢失原有信息呢？离散傅立叶变换 DFT 的出现，从理论上和实 践上解决了这一重要问题。
以 Ha(S)及 H(z)分别表示 ha(t)的拉式变换及 h(n)的 Z 变换，则
2. 双线性变换法 S 平面与 z 平面之间满足以下映射关系：
s 平面的虚轴单值地映射于 z 平面的单位圆上，s 平面的左半平面完全映射 到 z 平面的单位圆内。双线性变换不存在混叠问题。 双线性变换时一种非线性变换 畸变可通过预畸而得到校正。 IIR 低通、高通、带通数字滤波器设计采用双线性原型变换公式 ，这种非线性引起的幅频特性
M
H (e jω ) =
∏B e
j j =1 N
j (ψ 1 +ψ 2 + ⋅⋅⋅⋅+ψ M )
∏Ae
i i =1 M
= H (e jω ) e jϕ (ω )
j (θ 1 +θ 2 + ⋅⋅⋅⋅+θ N )
则系统的幅频响应和相频响应为: H (e jω ) = ∏ B j
j =1
ϕ (ω ) = ∑ψ j − ∑ θ i
j =1 i =1
M
N
计算频响的 MATLAB 函数为： H = freqs(b, a, w) b:分子多项式系数；a：分母多项式系数；w：需计算的 H(w)的抽样点(数组 w 中少需包含两个 w 的抽样点)。
三、实验内容
1． 实现单位样值序列、 单位阶跃序列、 正弦序列、 复正弦序列、 指数序列的 MATLAB 表示，以及其移位表示。 2．已知系统分别如下，求系统的单位序列响应，并绘出两个离散系统的零极点 图。 3z 3 − 5 z 2 + 10 z (1) H ( z ) = 3 z − 3z 2 + 7 z − 5 1 − 0.5 z −1 (2) H ( z ) = 3 1 1 + z −1 + z − 2 4 8
4. 根据Ωp 和Ωr 计算模拟低通原型滤波器的阶数 N，并求得低通原型的传递 函数 Ha(s)； 5. 用上面的双线性变换公式代入 Ha(s)，求出所设计的传递函数 H(z)； 6. 分析滤波器特性，检查其指标是否满足要求。
三、实验内容及步骤 1. fp=0.3KHz,Ap=0.8dB, fr=0.2KHz,Ar=20dB,T=1ms；设计一 Chebyshev 高通滤 波器；观察其通带损耗和阻带衰减是否满足要求。 2. fp=0.2KHz,Ap=1dB, fr=0.3KHz,Ar=25dB,T=1ms；分别用脉冲响应不变法及双 线性变换法设计一 Butterworth 数字低通滤波器， 观察所设计数字滤波器的幅频 特性曲线，记录带宽和衰减量，检查是否满足要求。比较这两种方法的优缺点。 3. 利用双线性变换法分别设计满足下列指标的 Butterworth 型、Chebyshev 型 和椭圆型数字低通滤波器，并作图验证设计结果。 fp=1.2kHz, Ap≤0.5dB, fr=2KHz, Ar≥40dB, fs=8KHz 4. 利用双线性变换法设计一 Butterworth 型数字带通滤波器，已知 fs=30KHz， 其等效的模拟滤波器指标为 Ap＜3dB, 2KHz＜f≤3KHz, Ar≥5dB, f≥6KHz, Ar≥20dB, f≤1.5KHz