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函数定义域-值域求法以及分段函数

(一)函数的概念1.函数的概念:设A、B是非空的数集,如果按照某个确定的对应关系f,使对于集合A中的任意一个数x,在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应,那么就称f:A→B为从集合A到集合B 的一个函数(function).记作:y=f(x),x∈A.其中,x叫做自变量,x的取值范围A叫做函数的定义域(domain);与x的值相对应的y值叫做函数值,函数值的集合{f(x)| x∈A }叫做函数的值域(range).注意:○1“y=f(x)”是函数符号,可以用任意的字母表示,如“y=g(x)”;○2函数符号“y=f(x)”中的f(x)表示与x对应的函数值,一个数,而不是f乘x.2.构成函数的三要素:定义域、对应关系和值域3.区间的概念(1)区间的分类:开区间、闭区间、半开半闭区间;(2)无穷区间;(3)区间的数轴表示.4.一次函数、二次函数、反比例函数的定义域和值域讨论(二)映射一般地,设A、B是两个非空的集合,如果按某一个确定的对应法则f,使对于集合A 中的任意一个元素x,在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应,那么就称对应f:A→B 为从集合A到集合B的一个映射(mapping).记作“f:A→B”说明:(1)这两个集合有先后顺序,A到B的射与B到A的映射是截然不同的.其中f表示具体的对应法则,可以用汉字叙述.(2)“都有唯一”什么意思?包含两层意思:一是必有一个;二是只有一个,也就是说有且只有一个的意思。

1.例题分析:下列哪些对应是从集合A到集合B的映射?(1)A={P | P是数轴上的点},B=R,对应关系f:数轴上的点与它所代表的实数对应;(2)A={ P | P是平面直角体系中的点},B={(x,y)| x∈R,y∈R},对应关系f:平面直角体系中的点与它的坐标对应;(3)A={三角形},B={x | x是圆},对应关系f:每一个三角形都对应它的内切圆;(4)A={x | x是新华中学的班级},B={x | x是新华中学的学生},对应关系f:每一个班级都对应班里的学生.思考:将(3)中的对应关系f改为:每一个圆都对应它的内接三角形;(4)中的对应关系f 改为:每一个学生都对应他的班级,那么对应f:B→A是从集合B到集合A的映射吗?(三)函数的表示法常用的函数表示法:(1)解析法;(2)图象法;(3)列表法.三、典例解析 1、定义域问题例1 求下列函数的定义域:① 21)(-=x x f ;② 23)(+=x x f ;③ xx x f -++=211)( 解:①∵x-2=0,即x=2时,分式21-x 无意义,而2≠x 时,分式21-x 有意义,∴这个函数的定义域是{}2|≠x x .②∵3x+2<0,即x<-32时,根式23+x 无意义,而023≥+x ,即32-≥x 时,根式23+x 才有意义,∴这个函数的定义域是{x |32-≥x }.③∵当0201≠-≥+x x 且,即1-≥x 且2≠x 时,根式1+x 和分式x-21同时有意义,∴这个函数的定义域是{x |1-≥x 且2≠x }另解:要使函数有意义,必须: ⎩⎨⎧≠-≥+0201x x ⇒ ⎩⎨⎧≠-≥21x x例2 求下列函数的定义域:①14)(2--=x x f ②2143)(2-+--=x x x x f③=)(x f x11111++④xx x x f -+=0)1()(⑤373132+++-=x x y解:①要使函数有意义,必须:142≥-x 即: 33≤≤-x∴函数14)(2--=x x f 的定义域为: [3,3-]②要使函数有意义,必须:⎩⎨⎧≠-≠-≤≥⇒⎩⎨⎧≠-+≥--13140210432x x x x x x x 且或 4133≥-≤<--<⇒x x x 或或∴定义域为:{ x|4133≥-≤<--<x x x 或或}③要使函数有意义,必须: 011110110≠++≠+≠⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧xx x ⇒2110-≠-≠≠⎪⎩⎪⎨⎧x x x ∴函数的定义域为:}21,1,0|{--≠∈x R x x 且④要使函数有意义,必须: ⎩⎨⎧≠-≠+001x x x ⎩⎨⎧<-≠⇒01x x∴定义域为:{}011|<<--<x x x 或⑤要使函数有意义,必须: ⎩⎨⎧≠+≥+-073032x x ⎪⎩⎪⎨⎧-≠∈⇒37x R x 即 x<37- 或 x>37- ∴定义域为:}37|{-≠x x例3 若函数aax ax y 12+-=的定义域是R ,求实数a 的取值范围 解:∵定义域是R,∴恒成立,012≥+-aax ax ∴⎪⎩⎪⎨⎧≤<⇒≤⋅-=∆>2001402a a a a a 等价于 例4 若函数)(x f y =的定义域为[-1,1],求函数)41(+=x f y )41(-⋅x f 的定义域解:要使函数有意义,必须:43434543434514111411≤≤-⇒⎪⎩⎪⎨⎧≤≤-≤≤-⇒⎪⎩⎪⎨⎧≤-≤-≤+≤-x x x x x ∴函数)41(+=x f y )41(-⋅x f 的定义域为:⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤≤-4343|x x 例5 已知f(x)的定义域为[-1,1],求f(2x -1)的定义域。

分析:法则f 要求自变量在[-1,1]内取值,则法则作用在2x -1上必也要求2x -1在 [-1,1]内取值,即-1≤2x -1≤1,解出x 的取值范围就是复合函数的定义域;或者从位置上思考f(2x -1)中2x -1与f(x)中的x 位置相同,范围也应一样,∴-1≤2x -1≤1,解出x 的取值范围就是复合函数的定义域。

(注意:f(x)中的x与f(2x-1)中的x不是同一个x,即它们意义不同。

)解:∵f(x)的定义域为[-1,1], ∴-1≤2x -1≤1,解之0≤x ≤1, ∴f(2x -1)的定义域为[0,1]。

例6已知已知f(x)的定义域为[-1,1],求f(x 2)的定义域。

答案:-1≤x 2≤1⇒ x 2≤1⇒-1≤x ≤1练习:设)(x f 的定义域是[-3,2],求函数)2(-x f 的定义域解:要使函数有意义,必须:223≤-≤-x 得: 221+≤≤-x∵x ≥0 ∴ 220+≤≤x 2460+≤≤x∴ 函数)2(-x f 的定域义为:{}2460|+≤≤x x例7已知f(2x -1)的定义域为[0,1],求f(x)的定义域因为2x -1是R 上的单调递增函数,因此由2x -1, x ∈[0,1]求得的值域[-1,1]是f(x)的定义域。

已知f(3x -1)的定义域为[-1,2),求f(2x+1)的定义域。

[2,25-)(提示:定义域是自变量x 的取值范围)练习:已知f(x 2)的定义域为[-1,1],求f(x)的定义域若()y f x =的定义域是[]0,2,则函数()()121f x f x ++-的定义域是 ( )A.[]1,1-B⎥⎦⎤⎢⎣⎡-21,21C.⎥⎦⎤⎢⎣⎡1,21D.10,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦已知函数()11xf x x+=-的定义域为A,函数()y f f x =⎡⎤⎣⎦的定义域为B,则( ) A.AB B = B.B A ∈C.AB B =D. A B =2.值域问题利用常见函数的值域来求(直接法)一次函数y=ax+b(a ≠0)的定义域为R ,值域为R ;反比例函数)0(≠=k xky 的定义域为{x|x ≠0},值域为{y|y ≠0}; 二次函数)0()(2≠++=a c bx ax x f 的定义域为R ,当a>0时,值域为{a b ac y y 4)4(|2-≥};当a<0时,值域为{ab ac y y 4)4(|2-≤}.例1 求下列函数的值域① y=3x+2(-1≤x ≤1) ②)(3x 1x32)(≤≤-=x f ③ xx y 1+=(记住图像) 解:①∵-1≤x ≤1,∴-3≤3x ≤3,∴-1≤3x+2≤5,即-1≤y ≤5,∴值域是[-1,5] ②略③ 当x>0,∴x x y 1+==2)1(2+-xx 2≥, 当x<0时,)1(x x y -+--==-2)1(2----xx -≤ ∴值域是 ]2,(--∞[2,+∞).(此法也称为配方法) 函数xx y 1+=的图像为: 二次函数在区间上的值域(最值):例2 求下列函数的最大值、最小值与值域:①142+-=x x y ; ②;]4,3[,142∈+-=x x x y ③]1,0[,142∈+-=x x x y ; ④]5,0[,142∈+-=x x x y ;解:∵3)2(1422--=+-=x x x y ,∴顶点为(2,-3),顶点横坐标为2. ①∵抛物线的开口向上,函数的定义域R ,∴x=2时,ymin=-3 ,无最大值;函数的值域是{y|y ≥-3 }. ②∵顶点横坐标2∉[3,4], 当x=3时,y= -2;x=4时,y=1;∴在[3,4]上,min y =-2,m ax y =1;值域为[-2,1]. ③∵顶点横坐标2∉ [0,1],当x=0时,y=1;x=1时,y=-2, ∴在[0,1]上,min y =-2,m ax y =1;值域为[-2,1].④∵顶点横坐标2∈ [0,5],当x=0时,y=1;x=2时,y=-3, x=5时,y=6, ∴在[0,1]上,min y =-3,m ax y =6;值域为[-3,6]. 注:对于二次函数)0()(2≠++=a c bx ax x f ,⑴若定义域为R 时, ①当a>0时,则当a bx 2-=时,其最小值a b ac y 4)4(2min -=; ②当a<0时,则当a bx 2-=时,其最大值ab ac y 4)4(2max -=. ⑵若定义域为x ∈ [a,b],则应首先判定其顶点横坐标x0是否属于区间[a,b]. ①若0x ∈[a,b],则)(0x f 是函数的最小值(a>0)时或最大值(a<0)时, 再比较)(),(b f a f 的大小决定函数的最大(小)值.②若0x ∉[a,b],则[a,b]是在)(x f 的单调区间内,只需比较)(),(b f a f 的大小即可决定函数的最大(小)值.注:①若给定区间不是闭区间,则可能得不到最大(小)值;②当顶点横坐标是字母时,则应根据其对应区间特别是区间两端点的位置关系进行讨论.练习:1、求函数y =3+√(2-3x)的值域解:由算术平方根的性质,知√(2-3x)≥0,故3+√(2-3x)≥3。

∴函数的值域为 [)+∞,3 .2、求函数[]5,0,522∈+-=x x x y 的值域解: 对称轴 []5,01∈=x[]20,420,54,1max min 值域为时时∴====∴y x y x 例3 求函数y=4x -√1-3x(x ≤1/3)的值域。

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