-矩阵的初等矩阵: 由单位矩阵经一次-矩阵的初等变换 得到的-矩阵称为初等-矩阵. P(i, j); P(i(c)); P(i, j())
初等矩阵都是可逆的, 并且有
P(i, j)-1=P(i, j) , P(i(c))-1=P(i(c-1)), P(i,j())-1=P(i,j(-)).
必要条件是它们有相同的行列式因子, 或者说, 有相同的不变因子.
注 由上可见, 在-矩阵的行列式
因子之间,有 Dk()∣Dk+1()
(k=1,2,…,r-1).
在计算-矩阵的行列式因子时,
常常是先计算最高阶的行列式因子. 这样就大致有了低阶行列式因子的 范围了.
特别地, 当B()=E时, 就得到如下结果
二. 不变因子与初等因子的关系
n阶矩阵A的不变因子与初等因子 是互相确定的.
命题
命题
两个同阶方阵有相同的初等因子 当且仅当它们有相同的不变因子. 定理 两个同阶方阵相似当且仅当它们有 相同的初等因子.
三. 初等因子的求法
定理 按初等变换化A的特征矩阵E- A 为对角形, 将主对角线上的元素分解成互 不相同的一次因式方幂的乘积, 则所有 这些一次因式的方幂(相同的按出现的次 数计算)就是A的全部初等因子.
第8章 1 2 3 4 5 6 7
-矩阵习题课
-矩阵的概念 -矩阵在初等变换下的标准形
不变因子与行列式因子 矩阵相似的条件 初等因子 Jordan标准形的理论推导 矩阵的有理标准形
1 - 矩阵的定义、秩、可逆性 一. 概念 设P是一个数域, 是一个文字,作多项式环 P[]. 如果一个矩阵其元素是的多项式, 即P[]的元素, 就称为 -矩阵. 常用A(),B()表示. 数字矩阵: 特殊情形. 运算:与数字矩阵相同.
1 0 0 a n 1 A 0 1 0 a n 2 0 0 1 a1
n
为多项式d()的伴侣矩阵.
d()的伴侣矩阵A的不变因子是1,1,…,1, d() 0 0 an 证 因为
1 0 a n 1 E A 0 1 0 an2 0 1 a1 0
k1 k2
ks
其中 ( i )ki 是Ji的初等因子.
定理 每一个n阶的复数矩阵A都与一个 Jordan形矩阵相似, 这个Jordan形矩阵 除去其中Jordan块的排列次序外 是被矩阵A唯一决定的,它称为A的Jordan 标准形。 （这里的Jordan块是由A 的初等因子 决定的）
定理 复矩阵A 相似于对角阵， 当且仅当A的初等因子都是一次的。
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不变因子
一.行列式因子
设-矩阵A()的秩为r, 对于正 整数 k,1kr,A()中必有非零的k阶子 式. A()中全部k阶子式的首项系数为1 的最大公因式Dk()称为A()的k级行列 式因子.
定义
由定义可知, 对于秩为r的-矩阵,
行列式因子一共有r个.
行列式因子的意义就在于, 它在
对一个sn的-矩阵A()作一次初等行变换
就相当于在A()的左边乘上相应的ss初等 -矩阵;
对A()作一次初等列变换就相当于在A() 的右边乘上相应的nn的初等 -矩阵.
定义 -矩阵A()称为与B()等价,
如果可以经过一系列初等变换将A()化 为B().
理标准形.
定理
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矩阵相似的条件
定理 设A, B是数域P上两个nn矩阵. 则A与B相似当且仅当E-A和E-B等价.
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初等因子
一. 初等因子的概念 定义 把方阵A(或线性变换A)的每个 次数大于零的不变因子分解成互不相同 的一次因式方幂的乘积,所有这些一次 因式方幂(相同的必须按出现的次数计 算)称为矩阵A(或线性变换A)的 初等因子.
定理 数域P上nn方阵A在P上相似于 唯一的一个有理标准形,称为A的有理 标准形.
B1 B
B2
Bs
线性变换的语言 定理 设A是数域P上n维线性空间V的
一 个线性变换,则在V中必定存在一组基, 使A在这组基下的矩阵是有理标准形,并且 这个有理标准形由A唯一决定,称为A的有
定理 任意一个非零的sn的-矩阵A()
都等价于下列形式的矩阵
d 1 ( ) d 2 ( ) d r ( ) 0 0
其中r1, di() (i=1,2,…,r)是首项系数为 1的多项式, 且 di()di+1() (i=1,2,…,r-1) 。
推论 复矩阵A 相似于对角阵， 当且仅当A的不变因子都没有重根。
引理 n 阶矩阵A 的最小多项式 就是A的最后一个不变因子dn( )。
7 矩阵的有理标准形 本节将在任意数域中讨论 一. 伴侣矩阵 定义 对数域上的一个多项式 d()=n+ a1n-1++an 称矩阵 0 0 0 a
1 0 0 0
0 1 0 0 0 0 0 0 0 d ( ) 0 0
二. 有理标准形 定义 下列准对角矩阵
A1 A A2 As
其中Ai分别是数域P上的某些多项式di() 的伴侣矩阵.且满足d1()d2()ds(), 就称A为P上的一个有理标准形矩阵.
初等变换下是不变的. 定理 等价的-矩阵具有相同的秩 与相同的各阶行列式因子。
二.标准形的唯一性 定理 -矩阵的标准形是唯一的．
三.不变因子
定义 标准形的主对角线上非零元素
d1()‚d2(),…,dr() 称为-矩阵A()的不变因子.
定理 两个sn 的-矩阵等价的充分
推论 设A()是一个准对角矩阵 A1 ( ) A ( ) 2 A( ) As ( ) 则A1(),A2(), …,As()的全部初等因子 合起来就是A()的全部初等因子.
6 Jordan标准形的理论推导 一. Jordan标准形的初等因子 0 0 0 0 Jordan块
随矩阵A*(): 同数字矩阵.
定理 一个n×n的-矩阵A()可逆的充分必 要条件为行列式|A()|是一个非零的数.
2 -矩阵在初等变换下的标准形
一.初等变换与初等矩阵
-矩阵的初等变换:指下面的三种变换
(1)矩阵的两行(列)互换位置; (2)矩阵的某一行(列)乘以非零的常数c; (3)矩阵的某一行(列)加另一行(列)的 ()倍, ()是一个多项式.
-矩阵的行列式
(1) -矩阵的行列式与数字矩阵的行列式 有相同的性质. (2) -矩阵的行列式是关于文字 的一个 多项式。 (3)可定义 -矩阵行列式的子式、非零
子式、 -矩阵的秩等概念。 零矩阵的秩规定为0.
三. -矩阵的逆矩阵 定义 设A()是一个n×n的-矩阵,如果有 一个n×n的 -矩阵B()使 A()B()=B()A()=E 则称A()是可逆的,称B()为A()的逆矩阵. 注 (1)这里 E是n阶单位矩阵; (2)这样的矩阵B()是唯一的, 记作A-1().
-矩阵之间的等价满足如下三条;
(1) 自反性: 每个-矩阵与自己等价. (2) 对称性:若A()与B()等价,则B()与 A()等价. (由于初等变换具有可逆 性). (3) 传递性:若A()与B()等价, B()与C()等价,则A()与C()等价.
命题 矩阵A()与B()等价的充分必要条件 为有一系列初等-矩阵P1,P2,…,Ps, Q1, Q2 ,…,Qt,使 A()=P1P2…PsB()Q1Q2…Qt .
定理 -矩阵A()可逆的充分必要条件
是:A()的标准形为单位矩阵E. 定理 -矩阵A()可逆的充分必要条件 是: A()能表成一些初等矩阵的乘积.
两个sn的-矩阵A()与B() 等价的充分必要条件是:存在可逆的 s阶-矩阵P()与可逆的n阶-矩阵 Q(), 使得 B()=P()A()Q().
1 J0 0 0
0 0
1 0
的初等因子是( - 0)n. Jordan形矩阵
0 0 0 1 0 nn
Js
J1 J
J2
的全部初等因子是
( 1 ) , ( 2 ) ,, ( s )