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4.2 复合商品
2、复合商品：函数的可分性和效用最大化
Key: • 在效用函数可分性的基础上，将最大化问题 分解为：子效用最大化和总效用最大化 • 将子效用最大化问题的约束条件设定为 px=mx • 令子效用函数v(x)为一次齐次效用函数
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4.2 复合商品
2、函数的可分性和效用最大化
令：效用函数u ( x, z ) = U (v( x), z )是弱可分的。 • 子效用最大化
• 效用最大化模型
M ax s .t . u (c, L ) pc + wL = w L + m c( p, w, L, m ) L ( p, w, L, m )
最优解为需求函数：
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4.1 禀赋的收入效应
• 理解劳动（即禀赋）的供给（曲线）特征
根据（3）式，可得关于闲暇的相应表达式如下： ∂L( p, w, L, m) ∂L( p, w, u ) ∂L( p, w, L, m) ( L − L) = + ∂w ∂w ∂m 即闲暇的总效应＝闲暇的替代效应＋闲暇的收入效应 ∂L( p, w, L, m) 在上式中，由于闲暇是正常品，故 > 0， ∂m 且总有 禀赋量 L > 闲暇量L 。
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4.2 复合商品
二、希克斯可分性 1、希克斯可分性和效用最大化
结论： 在价格指数 P = t 时，X = p 0 x是关于x − goods的复合商品 一个合适的数量指数。 在（P2）中,将商品复合以后，maxU ( X , P )得到的解X ； 与在（P1）中,先max u ( x, z ), 然后“加总”即X = g ( x) = p 0 x 求出的X 是相同的。
由 于效用 函数 u ( x , z ) = U (v ( x ), z )是 弱 可分的 , 则 子 效用最 大 化 模型 为 Max v ( x ) s.t . px = m x
（ P1 ）
最优解为： x * = x ( p , m x )
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4.2 复合商品
2、函数的可分性和效用最大化 • 总效用最大化
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• 理解：关于禀赋的（交叉）收入效应
∂xi ( p, pω) • 如果消费者是净买者即ω j − x j < 0, 则有 (ω j − x j ) < 0。 ∂m 意味： 若净商品的价格p j上升（下降），则消费者的实际收入 ∂e ∂m 减少（增加）。 即 (ω j − x j ) = = < 0。 ∂p j ∂p j
于是，闲暇的收入效应符号总为正。 （任何商品的替代效应总是负的。） ( à 闲暇的替代效应和收入效应符号总是相 反。 9
4.1 禀赋的收入效应
• 理解劳动的供给（曲线）特征 进一步有
• 当 w较 低 时 ， 一 般 有 闲 暇 的 S .E > I .E , 则 闲 暇 的 T .E 符 号 为 负 。 • 当 w较 高 时 ， 一 般 有 闲 暇 的 S .E < I .E , 则 闲 暇 的 T .E 符 号 为 正 。 ⇒ 由闲暇的需求曲线特征到劳动的供给 曲线特征
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4.1 禀赋的收入效应
一、禀赋形式的预算约束和禀赋的收入效应
令：消费者拥有的各种物品的初始禀赋向量 和相应的价格向量分别为 ω ＝ （ ω 1 L L ω n） p ＝ （ p1 L L p n）
M ax s .t . u (x) p x = pω
• 模型
最 优 解 ： x ( p , pω )
M ax s .t . u (x, z) px + qz = m ( P 1)
最 优 解 为 ： x( p,q,m ) z( p,q,m )
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4.2 复合商品
• 要解决的问题是： 是否能将x组合的商品（x--goods）复合成 一种商品？ 如果能的话，且令复合商品的数量指数和 价格指数分别为X和P, 那么，效用最大化问题 可以写为：
P ,q
s .t .
PX + qz = m
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4.2 复合商品
3、应用：两种商品的模型 以复合商品的价格指数为基础，表达某 一种商品的价格及需求函数。
令 ： 单 种 商 品 z ； 另 有 商 品 向 量 x。 于 是 ， 有 M ax u (x, z)
x,z
s .t . 分 析 ：
px + qz = m
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4.1 禀赋的收入效应
二、劳动的供给：由闲暇的需求与劳动的供给之视角 • 令： – 某消费者的初始禀赋为： • 全部可用于劳动的时间 L • 非劳动收入m – 该消费者消费两种商品： • 一种商品：数量为c, 价格为p • 另一种商品为闲暇： 闲暇时间为L, 闲暇价格为工资率w
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4.1 禀赋的收入效应
第1部分 消费者行为理论
• 第1章 消费者的最优决策 • 第2章 比较静态分析 • 第3章 显示偏好理论 • 第4章 需求 • 第5章 消费者的福利变化 • 第6章 库恩 --- 塔克条件 • 第7章 不确定条件下的个人选择
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第4章 需求
• 4.1 禀赋的收入效应 • 4.2 复合商品 • 4.3 单个需求函数和总需求函数之间 的关系: 高曼形式的间接效用函数 • 4.4 需求函数与反需求函数
• 结论：关于禀赋的收入效应的符号
∂xi ( p, pω ) ∂hi ( p, u ) ∂xi ( p, pω ) = + (ω j − x j ) ∂p j ∂p j ∂m
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4.1 禀赋的收入效应
一、禀赋形式的预算约束和禀赋的收入效应 • 推导：关于禀赋的收入效应的符号
将 最 优 解 ： x* i = x i ( p , pω ) 对 p j 求 偏 导 , 有 : ∂ xi ( p , pω ) ∂ xi ( p , pω ) = ∂p j ∂p j ∂ x i ( p , pω ) + ωj ∂m (1)
根 据 希 克 斯 可 分 法 ， 在 x − g o o d s的 价 格 同 比 例 变 化 的 前 提 下 ， 将 x − g o o d s归 并 成 一 种 复 合 商 品 ， 则 有 M ax u(X , z)
X ,z
s .t .
PX + qz = m
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最 优 解 ： z* = z ( P , q , m )
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4.2 复合商品
一、希克斯可分性和复合商品 1、复合商品：希克斯可分性和效用最大化 Key: • 假定x组合内所有商品的价格都以相同比例变 化。 • 运用罗伊恒等式。
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4.2 复合商品
二、希克斯可分性 ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ、希克斯可分性和效用最大化
令 : x 组合内的商品价格都以相同的比例变化，即p = tp 0 , 其中，p 0为给定的基础价格向量。于是，有价格指数P = t 。 问题：当价格指数 P = t 时，是否可以合理地推导出相应的数量 指数X 呢？ 推导：当价格指数 P = t 时，原效用最大化问题(P1)可以写为 Max u ( x, z ) s.t. P ⋅ p 0 x + qz = m ( P3) 可求出间接效用函数 : v( P, q, m) ∂v( P, q, m) / ∂P = p 0 x x ( P , q , m ) = X ( P, q, m) 由R.I 可得 : − ∂v( P, q, m) / ∂m 即数量指数为 : X ( P, q, m) = p 0 x
4.2 复合商品
3、应用：两种商品的模型 以复合商品的价格指数为基础，表达某 一种商品的需求函数。
由 于 z * = z ( P , q , m ) 在 价 格 P， q 和 收 入 m 上 1 是 零 次 齐 次 的 ， 故 令 P , q , m同 时 乘 以 , 则 有 P q m * z =z( , ) P P
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第4章 需求
• 4.1 禀赋的收入效应 • 4.2 复合商品 • 4.3 单个需求函数和总需求函数之间 的关系: 高曼形式的间接效用函数 • 4.4 需求函数与反需求函数
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4.2 复合商品
• 问题的提出 令：商品的消费组合被划分为两个子组合x、z， 即有 消费向量x, 相应的价格向量p； 消费向量z, 相应的价格向量q。 于是，效用最大化问题为
M ax s .t . u(X , z) PX + qz = m (P 2)
最 优 解 为 ： X (P, q, m ) z (P, q, m )
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4.2 复合商品
• 在什么条件下，可以将一组商品归并成一个 复合商品呢？ – 希克斯可分性 – 函数的可分性 ( 由P à X ) ( 由X à P )
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最优解为X （ P , q, m,）
4.2 复合商品
2、函数的可分性和效用最大化 小结
（1）效用函数本身是弱可分的，所以有子效用v(x)最大化问 题，从而有了数量指数X=v。 （2）给可分的效用函数施加一个假定，即v(x)是一次齐次 的，从而找出相应的价格指数P=e(p)。 （3）一种具体运用：可以先从总效用最大化问题求出复合商 品的需求X (P,q,m), 以及单种商品需求的z (P,q,m)。然 后，由子效用最大化问题求出每一种商品的需求 xi(p,mx)。
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4.2 复合商品
二、希克斯可分性 2、分析的扩展： 关于复合商品的对偶性的应用
由 直 接 效 用 函 数 到 间 接 效 用 函 数 ： V (P , q, m ) = M ax u(X , z)
X ,z
s .t .
PX + qz = m
由 间 接 效 用 函 数 到 直 接 效 用 函 数 ： U ( X , z ) = M in V ( P , q , m )
令 ： 最 优 子 效 用 水 平 为 v， 则 总 效 用 最 大 化 模 型 为 M a x U (v , z ) s .t . e( p, v) + qz = m (P2) 可 见 ， v是 一 个 恰 当 的 数 量 指 数 ， 即 X = v , 但相应的价格指数是什么？ 为 此 ， 令 v ( x )是 一 次 齐 次 效 用 函 数 , 则 有 e ( p , v ) = e ( p ,1) v = e ( p ) v 数 量 指 数 X = v 价 格 指 数 P = e( p) 总 效 用 最 大 化 模 型 （ P2） 则 可 改 写 为 M ax U ( X , z ) 于 是 ， 由 （ P2） 有 s .t . PX + qz = m （ P3）