9.1.1 VAR模型的一般表示
VAR(p) 模型的数学表达式是
yt Φ1 yt1 Φp yt p Hxt εt
t 1, 2,,T (9.1.1)
其中：yt是 k 维内生变量列向量，xt 是d 维外生变量列向量，p
是滞后阶数，T是样本个数。kk 维矩阵1，…， p 和 kd 维 矩阵 H 是待估计的系数矩阵。t 是 k 维扰动列向量，它们相互
为了叙述方便，下面考虑的VAR模型都是不含外生变量 的非限制向量自回归模型，用下式表示
yt Φ1 yt1 Φp yt p εt
或
Φ(L) yt εt
其中: Φ(L) Ik Φ1L Φ2L2 ΦpLp
(9.1.5)
如果行列式det[(L)]的根都在单位圆外，则式(9.1.5)
满足稳定性条件，可以将其表示为无穷阶的向量动平均 (VMA(∞))形式
t 1 t 1
Φ
pLeabharlann rrt p ln( m1) t p ln( gdp) t p
1t
2t 3t
EViews软件中VAR模型的建立和估计
1．建立VAR模型
为 了 创 建 一 个 VAR 对 象 ， 应 选 择 Quick/Estimate VAR…或者选择Objects/New object/VAR或者在命令窗口 中键入var。便会出现下图的对话框(以例9.1为例)：
a12 a22
IPt 1 M 1t 1
b11 b21
b12 b22
IPt 2 M 1t 2
1,t 2,t
一 般 称 式 ( 9 . 1 . 1) 为 非 限 制 性 向 量 自 回 归 模 型
(unrestricted VAR)。冲击向量 t 是白噪声向量，因为 t 没有
结构性的含义，被称为简化形式的冲击向量。
(3) 输入滞后信息 在Lag Intervals for Endogenous编辑框中输入滞后 信息，表明哪些滞后变量应该被包括在每个等式的右端。 这一信息应该成对输入：每一对数字描述一个滞后区间。 例如，滞后对
14 表示用系统中所有内生变量的1阶到4阶滞后变量作为等 式右端的变量。
也可以添加代表滞后区间的任意数字，但都要成对 输入。例如：
H
x2t
xdt
2t
kt
(9.1.2)
t 1, 2,,T
即含有 k 个时间序列变量的VAR(p)模型由 k 个方程 组成。
例如：作为VAR的一个例子，假设工业产量（IP）和货 币供应量（M1）联合地由一个双变量的VAR模型决定。内生 变量滞后二阶的VAR(2)模型是：
可以在对话框内添入相应的信息： (1) 选择模型类型（VAR Type）： 无约束向量自回归（Unrestricted VAR）或者向量 误差修正（Vector Error Correction）。无约束VAR模 型是指VAR模型的简化式。
(2) 在Estimation Sample编辑框中设置样本区间
§9.1 向量自回归理论
向量自回归(VAR)是基于数据的统计性质建立模型， VAR模型把系统中每一个内生变量作为系统中所有内 生变量的滞后值的函数来构造模型，从而将单变量自回 归模型推广到由多元时间序列变量组成的“向量”自回 归模型。VAR模型是处理多个相关经济指标的分析与 预测最容易操作的模型之一，并且在一定的条件下，多 元MA和ARMA模型也可转化成VAR模型，因此近年来 VAR模型受到越来越多的经济工作者的重视。
(9.1.6) 其中
yt A(L)εt A(L) Φ(L)1
A(L) A0 A1L A2L2
A0 Ik
对VAR模型的估计可以通过最小二乘法来进行，假
如对 矩阵不施加限制性条件，由最小二乘法可得 矩阵
的估计量为
(9.1.7)
Σˆ 1 T
εˆt εˆt
其中： εˆt yt Φˆ1 yt1 Φˆ 2 yt2 Φˆ p ytp
当VAR的参数估计出来之后，由于 (L)A(L)=Ik，所 以也可以得到相应的VMA(∞)模型的参数估计。
由于仅仅有内生变量的滞后值出现在等式的右边， 所以不存在同期相关性问题，用普通最小二乘法(OLS) 能得到VAR简化式模型的一致且有效的估计量。即使扰
动向量 t 有同期相关，OLS仍然是有效的，因为所有的
IPt c1 a11IPt1 a12M1t1 b11IPt2 b12M1t2 1,t M1t c2 a2,1IPt1 a22M1t1 b21IPt2 b22M1t2 2,t
其中， ci , aij , bij 是要被估计的参数。也可表示成：
IPt M 1t
c1 c2
a11 a21
方程有相同的回归量，其与广义最小二乘法(GLS)是等 价的。注意，由于任何序列相关都可以通过增加更多的 yt 的滞后而被消除，所以扰动项序列不相关的假设并不 要求非常严格。
例9.1 我国货币政策效应实证分析的VAR模型
为了研究货币供应量和利率的变动对经济波动的长 期影响和短期影响及其贡献度，采用我国1995年1季度～ 2007年4季度的季度数据，并对变量进行了季节调整。设 居民消费价格指数为CPI_90 (1990年1季度=1)、居民消费 价格指数增长率为CPI 、实际GDP的对数ln(GDP/CPI_90) 为ln(gdp) 、实际M1的对数ln(M1/CPI_90) 为ln(m1) 和实 际利率rr (一年期存款利率R-CPI ）。
之间可以同期相关，但不与自己的滞后值相关且不与等式右边
的变量相关，假设 是 t 的协方差矩阵，是一个(kk)的正定
矩阵。式(9.1.1)可以展开表示为
y1t
y1 t1
y1t p
x1t 1t
y2t
y kt
Φ1
y2 t1
yk t1
Φ
p
y2 t p
ykt p
利用VAR(p)模型对 ln(gdp) ， ln(m1) 和 rr，3个变量 之间的关系进行实证研究，其中实际GDP和实际M1以对数差 分的形式出现在模型中，而实际利率没有取对数。
rrt ln( m1)t ln( gdp)t
c1 c2 c3
rrt 1
Φ1
ln( m1) ln( gdp)