X 6678.8 7551.6 7944.2 8438.0 9235.2
年份 1988 1989 1990 1991 1992 1993 1994 1995 1996 1997
Y
X
年份 1998 1999 2000 2001 2002 2003 2004 2005 2006
Y
X
9560.5 15794.0 9085.5 15035.5 9450.9 16525.9 10375.8 18939.6 11815.3 22056.5 13004.7 25897.3 13944.2 28783.4 15467.9 31175.4 17092.5 33853.7 18080.6 35956.2
– MacKinnon(1991)通过模拟试验给出了协整检验的 临界值。
表 3.2.1 双变量协整 ADF 检验临界值 显著性水平 样本容量 25 50 100 ∝ 0.01 -4.37 -4.12 -4.01 -3.90 0.05 -3.59 -3.46 -3.39 -3.33 0.10 -3.22 -3.13 -3.09 -3.05
2、多变量协整关系的检验—扩展的E-G检验
多变量协整关系的检验要比双变量复杂一些，主要在 于协整变量间可能存在多种稳定的线性组合。 假设有4个I(1)变量Z、X、Y、W，它们有如下的长期 均衡关系：
Z W X Y t 0 1 t 2 t 3 t t

t 0 1 t 2t 3 t
• 非均衡误差的单整性的检验方法仍然是DF检验 或者ADF检验。
–需要注意是，这里的DF或ADF检验是针对协整回 归计算出的误差项，而非真正的非均衡误差。
–而OLS法采用了残差最小平方和原理，因此估计量 是向下偏倚的，这样将导致拒绝零假设的机会比 实际情形大。 – 于是对et平稳性检验的DF与ADF临界值应该比正常 的DF与ADF临界值还要小。
v v v Z W X Y t 1 t 2 t t 0 0 1 t t 1 t
一定是I(0)序列。 由于vt象t一样，也是Z、X、Y、W四个变量的线性 组合，由此vt 式也成为该四变量的另一稳定线性组合。 （1, -0,-1,-2,-3）是对应于t 式的协整向量， （1,-0-0,-1,1,-1）是对应于vt式的协整向量。
•
二、协整检验—EG检验
1、两变量的Engle-Granger检验
• 为了检验两变量 Yt,Xt 是否为协整， Engle 和 Granger 于 1987年提出两步检验法，也称为EG检验。 第一步，用OLS方法估计方程 Yt=0+1Xt+t 并计算非均衡误差，得到：
ˆ ˆ0 ˆ1 X t Y t ˆ ˆ Y Y e
非均衡误差项t应是I(0)序列：
t
Z W X Y
然而，如果Z与W，X与Y间分别存在长期均衡关系：
Z W v t 0 1 t 1 t
X Y v t 0 1 t 2 t
则非均衡误差项v1t、v2t一定是稳定序列I(0)。于是它 们的任意线性组合也是稳定的。例如
ˆ e 0 . 631 e 0 . 337 e 0 . 298 e 0 . 390 e 0 . 494 e t t 1 t 1 t 2 t 3 t 4
5%的显著性水平 下协整的ADF检验 临界值为－3.59 注意：查什么临 界值表？
结论：中国居民总量消费的对数序 列lnY与总可支配收入的对数序列 lnX之间存在（1,1）阶协整。
• 式Yt=0+1Xt+t中的随机扰动项也被称为非均 衡误差（disequilibrium error），它是变量X 与Y的一个线性组合：
Y X t t 0 1 t
• 如果X与Y间的长期均衡关系正确，该式表述的非
均衡误差应是一平稳时间序列，并且具有零期望值， 即是具有0均值的I(0)序列。 • 非稳定的时间序列，它们的线性组合也可能成为 平稳的。称变量X与Y是协整的（cointegrated）。
与Y在时期t与t-1末期仍满足它们间的长期均衡关 系，即上述第一种情况，则Y的相应变化量为:
Y X v t 1 t t
vt=t-t-1
• 如果t-1期末，发生了上述第二种情况，即Y的 值小于其均衡值，则t期末Y的变化往往会比第 一种情形下Y的变化大一些； • 反之，如果t-1期末Y的值大于其均衡值，则t期 末Y的变化往往会小于第一种情形下的Yt 。 • 可见，如果 Yt=0+1Xt+t 正确地提示了 X 与 Y 间的长期稳定的“均衡关系”，则意味着 Y 对 其均衡点的偏离从本质上说是“临时性”的。 • 一个重要的假设就是:随机扰动项t必须是平稳 序列。如果 t有随机性趋势（上升或下降）， 则会导致 Y 对其均衡点的任何偏离都会被长期 累积下来而不能被消除。
CPC GDPPC t 0 1 t t
• 尽管两个时间序列是非平稳的，也可以用经典
的回归分析方法建立回归模型。
从这里，我们已经初步认识到： 检验变量之 间的协整关系，在建立计量经济学模型中是非常 重要的。 而且，从变量之间是否具有协整关系出发选择 模型的变量，其数据基础是牢固的，其统计性质 是优良的。
• （d,d）阶协整是一类非常重要的协整关系， 它的经济意义在于：两个变量，虽然它们具有 各自的长期波动规律，但是如果它们是（d,d） 阶协整的，则它们之间存在着一个长期稳定的 比例关系。
• 例如，中国CPC和GDPPC，它们各自都是2阶单整，如果 它们是(2,2)阶协整，说明它们之间存在着一个长期稳 定的比例关系，从计量经济学模型的意义上讲，建立 如下居民人均消费函数模型是合理的。
19364.1 38140.9 20989.3 40277.0 22863.9 42964.6 24370.1 46385.4 26243.2 51274.0 28035.0 57408.1 30306.2 64623.1 33214.4 74580.4 36811.2 85623.1
5983.2 10074.6 6745.7 11565.0 7729.2 11601.7 8210.9 13036.5 8840.0 14627.7

• 检验程序：
–对于多变量的协整检验过程，基本与双变量情形相 同，即需检验变量是否具有同阶单整性，以及是否 存在稳定的线性组合。 –在检验是否存在稳定的线性组合时，需通过设置一 个变量为被解释变量，其他变量为解释变量，进行 OLS估计并检验残差序列是否平稳。 –如果不平稳，则需更换被解释变量，进行同样的 OLS估计及相应的残差项检验。 –当所有的变量都被作为被解释变量检验之后，仍不 能得到平稳的残差项序列，则认为这些变量间不存 在（d,d）阶协整。
2、长期均衡 •
经济理论指出，某些经济变量间确实存在着长期均衡关 系，这种均衡关系意味着经济系统不存在破坏均衡的内在 机制，如果变量在某时期受到干扰后偏离其长期均衡点， 则均衡机制将会在下一期进行调整以使其重新回到均衡状 态。
假设X与Y间的长期“均衡关系”由式描述
Y X t 0 1 t t
( 3 . 58 ) ( 3 . 97 )
• 对lnY与lnX进行如下协整回归：
ˆ 0 ln Y .587 0 .880 lnX t t ( 4 .11 ) ( 61 .89 )
• 对计算得到的残差序列进行ADF检验，最终检验 模型为：
( 3 . 69 ) ( 1 . 78 ) ( 1 . 58 ) ( 2 . 14 ) ( 2 . 58 )
• 例题：对经过居民消费价格指数调整后的 1978~2006年间中国居民总量消费Y与总量可支 配收入X的数据，检验它们取对数的序列lnY与 lnX间的协整关系。
年份 1978 1979 1980 1981 1982 1983 1984 1985 1986 1987
Y 3806.7 4273.2 4605.5 5063.9 5482.4
• 对于lnY与lnX，经检验，它们均是I(1)序列，最 终的检验模型如下：
2 ˆ ln Y 0 . 059 0 . 741 ln Y t t 1
( 3 . 55 ) ( 3 . 89 )
2 ˆ ln X 0 . 071 0 . 784 ln X t t 1
在5%的显著性水平 下，ADF检验的临 界值为－2.97
3、协整
• 如果序列{X1t,X2t,…,Xkt}都是d阶单整，存在向量 =(1,2,…,k)，使得Zt=XT ~ I(d-b)， 其中，b>0，X=(X1t,X2t,…,Xkt)T，则认为序列 {X1t,X2t,…,Xkt}是(d,b)阶协整，记为Xt~CI(d,b)， 为协整向量（cointegrated vector）。 • 如果两个变量都是单整变量，只有当它们的单整 阶数相同时，才可能协整；如果它们的单整阶数 不相同，就不可能协整。
该均衡关系意味着:给定X的一个值，Y相应的均衡值也随 之确定为0+1X。
• 在t-1期末，存在下述三种情形之一：
– Y等于它的均衡值：Yt-1= 0+1Xt ； – Y小于它的均衡值：Yt-1< 0+1Xt ； – Y大于它的均衡值：Yt-1> 0+1Xt ； • 在时期t，假设X有一个变化量Xt，如果变量X
• 3个以上的变量，如果具有不同的单整阶数，有 可能经过线性组合构成低阶单整变量。
W I ( 1 ), V I ( 2 ), U I ( 2 ) t~ t~ t) t t t ~I(
Vt ,Ut ~ CI(2, 1 ) W 1 , 1 ) t,P t ~ CI(
§3.2 时间序列的协整检验 与误差修正模型
一、长期均衡关系与协整 二、协整的E-G检验 三、协整的JJ检验 四、关于均衡与协整关系的讨论 五、结构变化时间序列的协整检验 六、误差修正模型