示b，再以OA和OB为边作平行四边形OACB，则 容易说明对角线 OC 也表示向量a和b的和c（如图 1.5）.此法则称为向量加法的“平行四边形法 则”.

3.向量的加法适合下述规律： （1）结合律：(a+b)+c=a+(b+c)，其中a,b,c是 任意向量； （2）交换律：a+b=b+a，其中a,b是任意向量；
证明 必要性:设M在线段 AB 上，则 AM 与 AB 同
取λ =1-k，μ =k，则λ +μ =1，并且λ ≥0，μ ≥0.
充分性: 则 若对某一点O有非负实数λ ，μ 使得 OM OA OB, 且 1,
3.显然 0 与任意向量共线；共线的向量组一定共 面；两个向量一定共面；若a=λ b（或者b=μ a）， 则a与b共线. 4.命题1.1 若a与b共线，并且a≠0 ，则存在唯一 的实数λ 使得b=λ a. 证明 存在性:若 b 0，命题显然成立。否则， 若a与b同向，则b0=a0，从而有
1.2 向量的加法
1.定义1.1 对于向量a，b，作有向线段 AB 表 示a，作有向线段 BC 表示b，把 AC 表示的向量
c称为a与b的和，记作c=a+b（如图1.4）
由这个公式表示的向量加法规则通常称为 “三角形法则”.
2. 也可以从同一起点O作 OA 表示a，作 OB 表
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第一章
向 量 代 数
§1 向量及其线性运算
1．1 向量的概念
1. 既有大小、又有方向的量称为向量（或矢 量）. 向量用符号a, b, c, … 表示。
用这条线段的长度|AB|表示a的大小，用起点A 到终点B的指向表示a的方向（如图1.2）.


a b c a (b c ).
（2）作 OA 表示a，作 OB 表示b，以OA和OB为 边作平行四边形OACB，则 OC a b ，并且 BC a，从而
0 （3）作 AB 表示a， 可用 BB 表示，于是
7.命题1.3 若c=λ a+μ b，则a，b，c共面.
证明 若a∥b，则a，b，c共线，从而它们共 面.若a与b不平行，则当λ >0，μ >0时，由图 1.9知，a，b，c共面.对λ ,μ 的其他取值情况， 可以类似讨论.
8. 命题1.4 若a，b，c共面，并且a与b不共线， 则存在唯一的一对实数λ,μ使得 c=λ a+μ b.
2. 一个向量a可以用一条有向线段 AB 来表示，
3.我们今后把向量的大小也称为向量的长 度。向量a的长度记作 a . 量的方向不确定.
4.长度为零的向量称为零向量。记作 0 。零向
5.长度为1的向量称为单位向量.与a同向的单 a0 . 位向量记作 6.与a长度相等并且方向相反的向量称为a的 反向量，记作-a .
其中O是任意取定的一点.
向，并且 0 AM AB ，所以 AM k AB,0 k 1. 任取一点O，由上式得 OM OA k (OB OA) ， 即 OM (1 k )OA kOB
（2）λ(μa)=(λμ)a； （3）(λ+μ)a=λa+μa； （4）λ (a+b)=λ a+λ b. (1.1) (1.2)
关于（1）和（2）可用定义1.3直接验证.
（3）的证明 时，则等式（1.1）显然成立.
若a= 0 或者λ ,μ 中有一个为零
下面设λ ,μ 都不等于零，并且a≠ 0 .
证明 必要性: 设a，b，c共面，若a与b不 共线，则有实数λ ,μ 使得c=λ a+μ b.即
λ a+μ b+(-1)c= 0 . 若a∥b，则有不全为零的实数λ ,μ 使得 λ a+μ b= 0 ，从而有 λ a+μ b+0c= 0 .
充分性:不妨设k1≠ 0 ，则由(1.4)式得 因此a，b，c共面.
6. 容易看出，对于任意向量 a，b，都有
a b a b,
这个不等式称为三角形不等式，它是用向量的 形式表示：三角形的一边不大于另两边的和.
1.3 向量的数量乘法
1.定义1.3 实数λ 与向量a的乘积λ a是一个向量, 其长度为 a : a ，
其方向当λ >0时与a相同，当λ <0时与a相反.
[ (1 )]a ( )a a ( )a a ( a) a b.
AB 若a和b不平行，那么当 0 时，作 OA， 分别 表示a，b，于是 OB 表示a+b；作 OC ， 分别表 OD 示λ a，λ b（如图1.8）.
（3）对任意向量a，有a+ 0 =a；
（4）对任意向量a，有a+(-a)= 0 .
证明： （1）作 OA 表示a，作 表示b， AB 作 BC 表示c（如图1.6），则
a b c OA AB BC OB BC OC, a (b c) OA ( AB BC) OA AC OC,
a ,
情形2 ： 若λ ,μ 异号，由于λ 和μ 的地位是对称 的，因此不妨设λ >0,μ <0.又分以下三种情形： 2.1） 若λ +μ ＝0，则等式（1.1）的左边为 0 右边为 a a a 1a a a 0, 因此（1.1）式成立. 2.2） 若λ +μ >0,因为λ +μ >0，-μ >0，于是由 情形1知 a a ( )a,
b a OB BC OC a b
a 0 AB BB AB a.
（4）作 AB 表示a，则 a (a) AB ( AB) AB BA AA 0. 4.本书中用符号“A:=B”表示用B来规定A， 读作“A定义成B”.
证明 存在性: 从同一起点O作 OA a, OB b, OC c. 过C作CD∥OB，且与直线OA交于D. （图1.10） 因为 OD与a共线，所以有实数λ 使得 OD =λ a.
同理有
因此有 c OC OD DC a b.
k3 k2 a b c, k1 k1
10.推论1.2 a,b,c不共面的充分必要条件是:从 (1.4)式成立必可推出k1= k2= k3= 0 .
11. 例1.1 试证：点M在线段AB上的充分必要条 件是：存在非负实数λ ,μ 使得
OM OA OB, 且 1,
0 对任意向量a， a 0 ；对任意实数 有 0 0
1 0 设a 0 , 则 a a a ,
a 0 . 这种方法称 这样可得到与a同向的单位向量
为把a单位化.
2. 向量的数量乘法适合下述规律：对于任意向量 a，b和任意实数λ,μ，均有
（1）1a=a，（-1）a=-a；
b=|b|b0=|b|a0=|b|(|a|-1a)=(|b||a|-1)a, 取λ =|b||a|-1，即得b=λ a.若a与b反向，可以 类似讨论. 唯一性:假如b=λ a=μ a，则（λ -μ ）a= 0 ， 因为a≠ 0 ，所以λ -μ = 0 ，即λ =μ .
5. 命题1.2 a与b共线的充分必要条件是存在 不全为零的实数λ ，μ ，使得 λ a+μ b= 0 . (1.3) 证明 必要性: 设a与b共线，若 a=b= 0 ，则 有1a+1b= 0 . 若a与b不全为 0 ，不妨设a≠ 0，则存在实数λ使得 b=λa，从而有λ a+(-1)b= . 0 充分性: 若有不全为零的实数λ ，μ 使得(1.3)式 成立，不妨设λ ≠0，则由(1.3)式得，因此a与b共 线. 6.推论1.1 a与b不共线的充分必要条件是：从(1.3) 式成立必可推出λ =μ =0.
则 OAB∽ OCD ，从而D必在直线OB上，于是OD 表示λ (a+b)；OD 表示λ a+λ b，所以有
λ (a+b)=λ a+λ b.
当λ <0时可以作类似讨论.
1.4 共线（共面）的向量组
1. 设a1，a2，…，an是一组向量，k1，k2，…， kn是一组实数，则k1a1+k2a2+…+knan是一个向量， 称它是向量组a1，a2，…，an的一个线性组合， 称k1，k2，…，kn是这个组合的系数. 2. 定义1.4 向量组若用同一起点的有向线段 表示后，它们在同一条直线（或同一个平面）上， 则称这个向量组是共线的(或共面的). 若a与b共线，则记作a∥b.
DC =μ b.
唯一性: 假如c=λ a+μb=λ 1a+μ 1b,则有 (λ -λ 1)a+(μ -μ 1)b= 0 ， 因为a与b不共线，根据推1.1即得 λ -λ 1=0，μ -μ 1=0， 于是λ =λ 1，μ =μ 1.
9. 命题1.5 向量 a，b，c共面的充分必要条件是 有不全为零的实数k1，k2，k3使得 k1a+k2b+k3c= 0 . (1.4)
情形1 ：若λ ,μ 同号，则λ a与μ a同向，因 此 a a a a a a
同时 a a a , 于是 a a a , 并且当λ ,μ 同号时，显然 a a与 a 同 向，所以 a a a.