故所求代数方程为 (x x0 )2 ( y y0 )2 (z z0 )2 R2 ．
（球面方程：球心 M0 x0, y0, z0 ，半径 R ）
二、空间向量的概念及线性运算
1.向量的几何表示
向量: 既有大小, 又有方向的量称为向量 (又称矢量).
表示法:有向线段
或
向量的模 : 向量的长度,记作
在AB直线上求一点 M , 使
及实数 1,
解法1 设 M 的坐标为
如图所示
AM MB
AM OM OA MB OB OM
OM O A (OB OM )
A
M B
o
A
得 即
OM
1
1
(OA
OB
B
1
1
x1
x2
,
y1
y2
,
z1
z2
M
例5. 已知两点
在AB直线上求一点 M , 使
及实数 1,
设 a 为任一非零向量，称 a 分别与 x 轴，y 轴和 z 轴
正向的夹角, , 为 a 的方向角.
其中
0 ,0 ,0
z
a
o
y
x
2.向量的方向余弦
z
设 a 为任一非零向量，称
cos ax
ax
,
a
ax2
a
2 y
az2
a
o
y
x
cos ay
ay
, cos az
a
ax2
a
2 y
az2
cos 1 , cos 2
2
2
2 ,
,
3
3
3
4
例7. 设点 A 位于第一卦限, 向径 OA 与 x 轴 y 轴的夹
角依次为
3
,
4
,
且
OA
6, 求点 A 的坐标 .
解: 已知 ， ，则
cos2
3
4
1 cos2
cos2
1
4
因点 A 在第一卦限 ,故 cos 1 ，于是
2
OA
三角形法则可推广到多个向量相加 .
s a1 a2 a3 a4 a5
a4
a5
a3 s
终点
起点 a1
a2
特点:首尾相连!
向量的减法
b
a
三角不等式
几何意义：三角形中，两边之和大于或等于第三边.
向量与数的乘法
是一个数
,
与
a
的乘积是一个新向量,
记作
a
.
规定 :
a
1a
2a
2
1a a ; 1a a ;
OA
0
OA
6{1 ,
2 , 1 } {3, 3 2 ,3}
2 22
故点 A 的坐标为 3, 3 2 ,3
例3. 设 M 为 ABCD 对角线的交点,
试用a 与b 表示 MA, MB , MC , MD.
解:
a b AC
b a BD
2 MA 2 MB
D
C
bM Aa B
MA
1 2
(
a
b)
MB
1 2
(
b
a
)
MC
1 2
(
a
b
)
MD
1 2
(b
a
)
三、向量的坐标表示
1.向量的 坐标 以 i , j , k 分别表示 x , y , z 轴上的单位向量 , 设点 M
M1M 2 (x2 x1)2 ( y2 y1)2 (z2 z1)2
例1. 求证以
为顶点
的三角形是等腰三角形 .
证 M1M2 7 42 1 32 2 12 14
M 2M 3 (5 7)2 (2 1)2 (3 2)2 6
M1M 3 (5 4)2 (2 3)2 (3 1)2 6
射线的夹角称为a 与 b的夹角，记为
．
若
或
, 就称 a 与 b 平行,记作 a∥b ;
若
, 就称 a 与 b 垂直,记作
零向量与任何向量既平行,又垂直.
2.向量的线性运算
向量的加法 平行四边形法则:
b ab
a
三角形法则:
ab b
a 运算规律 : 交换律 a b b a
结合律 ( a b ) c a (b c ) a b c
第8章 向量代数与空间解析几何
内容
向量代数
向量的概念 向量的线性运算 向量的数量积、向量积、混合积
空间解析几何
空间的直线与曲线 空间的平面与曲面
基本方法 ：坐标法与向量法
8.1 空间向量及其线性运算
内容
空间直角坐标系 向量的几何表示及其线性运算 向量的坐标表示、向量的模与方向余弦
一、空间直角坐标系
性质: ⑴结合律
( a) ( a) a
⑵分配律
(a
b)
a
b
⑶若 a 0 ，则与 a 同向的单位向量为 a 0
1 a
a.
与 a 平行的单位向量为 a 0 1 a. a
⑷设 a 为非零向量 , 则 a∥b
存在唯一实数 ，使得
⑸设 P1, P2 分别为 u 轴上坐标为 u1, u2 的两个点， e 为 与 u 轴正向同向的单位向量，则 P1P2 (u2 u1)e .
因为 M2M3 M1M3 所以 M1M 2M 3 为等腰三角形 .
例 2. 求 到 点 M 0 (x0 , y0 , z0 ) 的 距 离 等 于 常 数
R (R 0) 的点 M x, y, z 所满足的代数方程．
解：由 MM0 R 得 (x x0 )2 ( y y0 )2 (z z0 )2 R ，
a
ax2
a
2 y
az2
设 a axi ay j azk {ax , ay , az} 为非零向量，则与
a 同向的单位向量为
a0 1 a a
1 ax2 ay2 az2 {ax , ay , az }
{
ax
,
ay
,
az
}
ax2
a
2 y
az2
ax2
a
2 y
az2
ax2
a
2 y
az2
方向角
a
为 a 的方向余弦.
⑴ a0 1 a {cos , cos , cos }
a
⑵方向余弦的性质:
az
ax2
a
2 y
az2
例6. 已知两点
和
的模 、方向余弦和方向角 .
计算向量
解: M1M 2 {1 2, 3 2 , 0 2}
{1, 1, 2 }
(1)2 12 ( 2)2 2
M1M2 (x2 x1)i ( y2 y1) j (z2 z1)k {x2 x1, y2 y1, z2 z1}
一般地，设 a 为任一向量，则有
a axi ay j azk {ax , ay , az}
其中{ax , ay , az} 称为 a 的坐标， ax , ay , az 分别称为 a 在 x 轴， y 轴和 z 轴上的投影.
1. 空间直角坐标系的基本概念
过空间一定点 o ,由三条互相垂直的数轴按右手规则
组成一个空间直角坐标系.
• 坐标原点
Ⅲ
z z 轴(竖轴)
Ⅱ
• 坐标轴
Ⅳ
• 坐标面
• 卦限(八个) Ⅶ
x
x轴(横轴)
Ⅷ
yoz 面 o xoy面
Ⅴ
Ⅰ
y
y轴(纵轴)
Ⅵ
2. 空间直角坐标系中点的表示
点 M 11 有序数组 (x, y, z)
的坐标为 M (x , y , z), 则
z OM ON NM OA OB OC C
r
x
i
y
j
z
k
{x
,
y
,
z}
此式称为向量 r 的坐标分解式 ,
ko i
j
r
M B y
A
x
N
沿三个坐标轴方向的分向量.
设有两点 M1(x1, y1, z1), M 2 (x2 , y2 , z2 ) ，则有向线段
bx by bz
ax ay az
bz az
例4. 求解以向量为未知元的线性方程组
5 3
x x
3 2
y y
a b
① ②
其中 a {2，1，2}, b {1，1， 2}.
解:
2×①
x
－23a× ②3b,得
{7
,
1,10}
代入②得
y
1
(3
x
b)
{11,Βιβλιοθήκη 2,16}2
例5. 已知两点
向径 : 起点为原点的向量.
M2
单位向量: 模为 1 的向量, M1 零向量:模为 0 的向量，零向量的方向是任意的.
若向量 a 与 b大小相等, 方向相同, 就称 a 与 b 相等,
记作 a＝b ;
与 a 的模相同, 但方向相反的向量称为 a 的负向量, 记作－a ;
将非零向量 a 与 b 平移至共同的起点，称 a 与 b 所在
注：投影为数值，可为正，可为负，也可为零.
利用坐标作向量的线性运算
设
a
{ ax
,
a
y
,
ab
a
az}, b {bx ,by , {ax bx , ay by ,
{ ax , ay , az}
bz }, az
bz
为实数，则
}
向量平行的充要条件: