a
负向量：大小相等但方向相反的向量. a
a a
向径： 空间直角坐标系中任一点 M与原点 构成的向量 OM ，叫做点M的 向径.
b
二、向量的加减法
[1] 定义加法：a b c
（平行四边形法则）
b
c
a
（平行四边形法则有时也称为三角形法则）
特殊地：若 a‖ b 分为同向和反向 |c || a | | b | c b a b c a | c | | a | | b |
这六个平面围成一个以线段M 1 M 2 为对角线的 长方体.
以i , j , k 分别表示沿 x , y , z 轴正向的单位向量. z a a x i a y j az k
R
k
M2
M1

N
Q
向 量 在
轴 轴 y 上 上 o 的 的 i x a x x2 x1 投 投 影 a y y2 y1 az z2 z1 影 M 1 M 2 ( x2 x1 )i ( y2 y1 ) j ( z2 z1 )k
u
已知向量的起点 A 和终点B 在 轴u 上的投影分别为 A, B 那 么轴u 上的有向线段 AB 的 u 上的投影. 值，称为向量在轴
数
u 上的投影记为 Pr ju AB AB. 向量 AB 在轴
关于向量的投影定理（1）
u 上的投影等于向量的模乘以 向量 AB 在轴 轴与向量的夹角的余弦： Pr ju AB | AB | cos
解
b 3a 1 a b 5 b 5 2
5 1 (1 3)a 1 5 b 2 5
5 2a b . 2
例2 试用向量方法证明：对角线互相 平分的四边形必是平行四边形.
证
A
A

B
B
Pr ju AB Pr ju AB
B
u u
| AB | cos
定理1的说明：
(1) 0 , 投影为正； 2
( 2) , 投影为负； 2 ( 3) , 投影为零； 2
c
b

a
u
(4) 相等向量在同一轴上投影相等；
关于向量的投影定理（2）
三、向量与数的乘法
设 是一个数，向量 a 与 的乘积 a 规定为 (1) 0, a 与a 同向，| a | | a | ( 2) 0, a 0 ( 3) 0, a 与a 反向，| a || | | a | a 1 2a a 2
第二节 向量及其线性运算
<<工科数学分析>> 北京理工大学 2010-2011学年第二学期
一、向量的概念
向量：既有大小又有方向的量.
M2
向量表示：a 或 M1 M 2
M
1
向量的模： 向量的大小.| a | 或 | M1 M 2 |
单位向量：模长为1的向量.
以 M 1 为起点，M 2 为终点的有向线段.
证
OA u1 ,
e
1
A u1 B u2
o
u
故 OA u1e , 同理， OB u2e , 于是
AB OB OA u2e u1e ( u2 u1 )e .
空间两向量的夹角的概念：
a 0, b 0, 向量a 与向量b 的夹角 (a , b ) (b , a )
证 充分性显然； b ‖ a 取 , 必要性 设 b a 当 b 与 a 同向时 取正值， 当 b 与 a 反向时 取负值， b b . 此时 b 与 a 同向. 且 a a a a 即有 b a. 的唯一性 . 设 b a， 又设 b a， 即 a 0， 两式相减，得 ( )a 0， a 0， 故 0， 即 . 证毕。
M1 M2
o
P1
P2
u
au u2 u1 .
u 轴正向一致的单位向量， 如果e 是与
由例1知
P1 P2 aue ( u2 u1 )e .
设a 是以 M 1 ( x1 , y1 , z1 ) 为起点、 M 2 ( x 2 , y 2 , z 2 )
为终点的向量， 过 M1 , M 2 各作垂直于三个坐标轴的平面 ,
证 AM MC
D A
b
a
M
B
C
BM MD
AD AM MD MC BM BC
AD 与 BC 平行且相等, 结论得证.
四、小结
向量的概念 （注意与标量的区别）
向量的加减法 （平行四边形法则） 向量与数的乘法（注意数乘后的方向）
一、向量在轴上的投影与投影定理
0 2
零向量： 模长为0的向量. 0
MM 与 a 同方向的单位向量可记作 a
1
0
或e a
零向量没有方向，或者说其方向是任意的
即向量可以在空间中任意地平行移动，如此移 动后仍被看成是原来的向量。本书中考虑的都 是自由向量。 自由向量：不考虑起点位置的向量. 相等向量：大小相等且方向相同的向量.
b

a
(0 )
类似地，可定义向量与一轴或空间两轴的夹角.
特殊地，当两个向量中有一个零向量时，规定 它们的夹角可在0与 之间任意取值.
空间一点在轴上的投影

A
u
A
过点 A 作轴 u的垂直 平面，交点 A 即为点 A 在轴 u上的投影.
空间一向量在轴上的投影
B A
A
B
z
B A
AM { x x1 , y y1 , z z1 } MB { x2 x, y2 y, z2 z }
M
o
y
x
由题意知： AM MB
{ x x1 , y y1 , z z1 } { x2 x , y2 y, z2 z }, x1 x2 x x1 ( x2 x ) x , 1 y y 1 2 y y1 ( y2 y ) y , 1 z z1 ( z2 z ) z z1 z2 , # 1
o
e
1
A B
u
设 A, B, C 是 u 轴 上 任 意 三 点 ， 不 论 三 这点 的相互位置如何，
AC AB BC, 即 ( AC )e ( AB)e ( BC )e ( AB BC )e , AC AB BC.
例 1 在 u轴上取定一点 o 作为坐标原点．设 A, B, 是 u轴上坐标依次为 u1 , u2 的两个点， e 是与 u 轴 同方向的单位向量，证明 AB ( u2 u1 )e .
例 2
设 A( x1 , y1 , z1 ) 和 B ( x 2 , y 2 , z 2 ) 为两已知
点，而在 AB 直线上的点 M 分有向线段AB 为 两部分 AM 、 MB ，使它们的值的比等于某数
AM ( 1) ，即 ，求分点的坐标. MB
解
M ( x, y, z ) 为直线上的点，
数与向量的乘积符合下列运算规律：
（1）结合律： ( a ) ( a ) ( )a （2）分配律： ( )a a a (a b ) a b
两个向量的平行关系
定理 设向量 a 0，那末向量b 平行于 a 的充 分必要条件是：存在唯 一的实数 ，使 b a .
二、向量在坐标轴上的分向量与向量 的坐标
设 a M1 M 2 为一向量，u 为一条数轴． 点 M1 , M 2 在轴 u 上的投影分别为点P1 , P2．
又设 P1 , P2 在轴 u 上的坐标依次为u1 , u2． Pr ju M1 M 2 au ,
P1 P2 OP2 OP1 u2 u1 ,
0 设a 表示与非零向量a 同方向的单位向量，
按照向量与数的乘积的规定，
0 a | a | a
a 0 a . |a|
上式表明：一个非零向量除以它的模的结果是 一个与原向量同方向的单位向量.
例1 化简
1 b 3a a b 5 b 5 2
设有一轴 u，AB 是轴 u 上的有向线段 .
A B
u
如果数 满足 AB，且当 AB 与 u 轴同 向时 是正的，当 AB 与 u 轴反向时 是负的， 那末数 叫做轴 u 上有向线段 AB 的值，记作 AB，即 AB.
设 e 是与u 轴同方向的单位向量
AB ( AB)e .
M 为有向线段AB 的定比分点. M 为中点时，
x1 x2 x , 2
y1 y2 y , 2
z1 z2 z . 2
三、向量的模与方向余弦的坐标表示式
非零向量 a 的方向角： 、 、
P
x
j
向 量 在 y 轴 上 的 投 影
向 量 在
z
按基本单位向量的坐标分解式：
M 1 M 2 ( x2 x1 )i ( y2 y1 ) j ( z2 z1 )k 在三个坐标轴上的分向量： a x i , a y j , a z k ,
向量的坐标： a x , a y , a z , 向量的坐标表达式：
向量的加法符合下列运算规律：
（1）交换律： a b b a . （2）结合律： a b c (a b ) c a (b c ). （3） a ( a ) 0. b a b a ( b ) [2] 定义减法 a b b c ab b c a ( b ) ab a ab