对立： A不发生，A
A
第一节
Ω
B
Ω
B
Ω
A
B
（一）事件的运算(1)
(1)事件的运算律
交换律： A∪B＝B∪A，AB＝BA；
结合律：
(A∪B)∪ C＝A∪(B∪C)，(AB)C＝A(BC)；
分配律： A(B∪ C)＝AB∪AC，
A∪BC＝(A∪B)(A∪C)；
重叠律： A∪A＝A，AA＝A；
吸收律： 如果 AB，那么A∪B＝B，AB＝A；
定义1.1 随机事件A发生可能性大小的度量 （数值），称为A发生的概率，记作P(A)。 次如，果称随机fn事( A件) An在nA n次反复试验中发生了nA
为A的频率。 频率的性质：
1.非负性：即 P(A)≥0； 2.规范性：即若Ω是必然事件，则 P(Ω) 1 3.有限可加性：即若A、B互不相容 （即AB＝φ），则 f n (A B ) f n (A ) f n (B )
概述（2）
概率论属于纯粹数学，是研究随机现象 数量规律性的数学分支。
数理统计属于应用数学，它根据实际处 理的随机现象，建立数学模型，研究其规 律，并提出解决问题的方法。其主要方法 是统计推断理论，即参数估计（区间估计、 点估计）和假设检验。
概率论与数理统计就是研究随机现象的 统计规律的数学学科。由于随机现象的的 普遍性，使得概率论与数理统计具有及其 广泛的应用。
第一节
（二）事件域
Ω中是事件的子集构成的类称为事件域。即
F＝{A， A，A是事件}
事件域应满足以下要求：
（1）ω∈F； （2）若A∈F，则 A F （3）若Ai∈F， i＝1，2，…，n，则
n
Ai F
i1
在集合论中，满足上述三个条件的集合类，称 作布尔代数。所以，事件域是一个布尔代数。
第一节
§1.2 概率与频率
§1.1 随机事件和样本空间
一、几个定义： 1.随机试验：一个试验如果满足以下条件：
(1)试验可以在相同的条件下重复进行； (2)试验的所有结果是明确可知的，并且不止 一个； (3)每次试验总是恰好出现这些结果中的一个， 但在一次试验之前却不能肯定这次试验会出现哪 一个结果。 则称这样的试验是一个随机试验（简称试验）。
样本空间
Ω＝{ω}
事件
子集
事件A发生
ω∈A
事件A不发生
ω A
必然事件
Ω
不可能事件
φ
事件A发生导致事件B发生
A B
"事件A与B至少有一个发生“ A∪B
"事件A与B同时发生"
A∩B(或AB)
"事件A发生而事件B不发生" A－B
事件A与B互不相容
AB＝φ
第一节
事件的运算(4)
(2)事件的运算顺序： 事件式： 用运算符号把事件连接起来的算 式. 在事件式中，事件的运算顺序规定如下： 第一“括号”， 第二“逆”， 第三“交”， 第四"并"或"差".
引例（2）
试验2：一个盒子中有10个相同的球，但5个是 白色的，另外5个是黑色的，搅匀后从中任意 摸取一球。
其结果有两个：取出一个白球或者取出一个黑 球。
这种类型的试验，它有多于一种的试验结果， 但是在试验前不能确定会出现哪一个结果（取 出的是白球还是黑球），就一次试验来说，看 不出什么规律，但是“大数次”地重复这个试 验，试验结果又遵循某些规律，这种规律称为 “统计规律”，这类试验称为随机试验，试验 所代表的现象，称为随机现象。
引例（3）
这种随机现象在客观世界中也是极为普遍 的，例如：
某地的年降雨量； 检查流水生产线上的某个产品是合格品还
是不合格品？； 打靶射击时，弹着点距靶心的距离等
第一章目录 §1.1随机事件和样本空间 §1.2 概率和频率 §1.3 古典概型 §1.4 概率的公理化定义及概率的性质 §1.5 条件概率、全概率公式和贝叶斯公式 §1.6 独立性 §1.7 贝努里概型
第一节
二、事件的关系及运算
(1)事件间的关系
包含： B包含于A ，或A包含 B ，
B A .o r.A B
A
相等： A＝B
A B .a n d .B A
并(和)： A∪B A与B至少有一个发生. A 积(交)： A∩B(或AB) A与B同时发生.
差： A-B A发生而B不发生.
互不相容： AB=φ A与B不能同时发生.
n
n
德-莫根定律（对偶原则）：Ai Ai
i 1
i 1
n
n
Ai Ai
i 1
i 1
第一节
事件的运算(2)
在概率论中常常用集合来表示事件，因 为事件间的运算与集合间的运算是完全可以 类比的，在以后的讨论中事件往往以集合的 形式出现.下面给出这种类比的对应关系：
第一节
事件的运算(3)
概率论
集合论
第一章
几个定义（2）
2.基本事件：随机试验中的每一个可能结果， 称为基本事件（或称为样本点）。记为ω。 3.样本空间：由所有基本事件组成的事件称为 样本空间，记为Ω。 4.随机事件：由多个基本事件组成的事件称为 复合（复杂）事件，基本事件和复合事件统称为 随机事件，简称事件。记为A、B、C、…。 5.不可能事件：在试验中必定不发生的事件称 为不可能事件（或称为空集）。记为φ。 6.必然事件：在试验中必定发生的事件（即由 所有基本事件组成的事件）称为必然事件（即样 本空间，或称为全集）。记为Ω(或U子中有10个完全相同的白球， 搅匀后从中任意摸取一球。
其结果只有一个：取出一个白球。 这种类型的试验，在试验前就能断定它有
一个确定的结果，这种试验所对应的现象， 称为确定现象。 这种确定现象非常广泛，例如： 早晨，太阳必然从东方升起； 边长为a、b的矩形，其面积必然为a×b等
第一章 事件与概率
xiaobugs
概述（1）
概率论起源于十七世纪对于机会游戏（赌博）
中随机现象的研究，提出了基本概念。那时的主 要研究工具是算术和排列组合的方法。十九世纪 开始概率论的研究借用微积分、微分方程、代数 学、几何学等学科为工具，得到了蓬勃发展，20 世纪30年代概率论形成了自己的理论体系，建立 了严格的公理体系，使用集合定义事件，用测度 定义概率，用可测函数定义随机变量和随机过程， 用抽象积分定义数学期望。在理论上不断完善， 在应用上日益广泛和深化，并应用于物理学、社 会保险事业和大规模工业生产等方面，成为目前 最为活跃的学科之一。