其中 为简单闭曲面 所围成的区域，n 是的单位
外法向。
现将方程(27)两边在
V
M r
上积分得
u div u
utt dVrM a2 udVrM a2 div udVrM
VrM
VrM
VrM
a2
u
dS
M r
S rM
a2r2
S1M
u (M r
r,t)d
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utt a2 (uxx uyy uzz ) ( x, y, z , t 0), (27) u(x, y, z,0) (x, y, z), ut (x, y, z,0) (x, y, z), (28) 微积分里面的奥-高公式写成散度形式为
dS
M r
r 2d.
u(r,t)
1
4r 2
SrM
u(P,
t
)dS
M r
1
4
S1M
u(M
r, t )d.
对上式两边对 r 取极限 r 0, 得
lim u (r,t) 1
r 0
4
此外，记
V
M r
表示以
S1M
M
u(M ,t)d u(M ,t).
为球心，r 为半径的球体，
则在V
M r
上的体积分用球坐标可表示为
fdVrM
r
0 dr1
fdSrM1
r
0 dr1
f (M r1)r12d.
VrM
SrM1
S1M
则有
utt dVrM
VrM
2 t 2
VrM
udVrM
2 t 2
r
0 dr1
u(M r1)r12d
S1M
4 2
t 2
r 0
r12
u
(r1
,
t
)dr1
.
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utt a2 (uxx uyy uzz ) ( x, y, z , t 0), (27)
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utt a2 (uxx uyy uzz ) ( x, y, z , t 0), (27) u(x, y, z,0) (x, y, z), ut (x, y, z,0) (x, y, z), (28) 微积分里面的奥-高公式写成散度形式为
div vd v ndS
3.2 高维波动方程的初值问题
上节我们讨论了一维波动方程的初值问题， 得到了达朗贝尔公式。对于三维波动方程，可 用球面平均法形式地推出解的表达式。这表达 式通常被称为基尔霍夫公式。
3.2.1 三维波动方程的基尔霍夫公式 现在，我们考察三维波动方程的初值问题
utt a2 (uxx uyy uzz ) ( x, y, z , t 0), (27) u(x, y, z,0) (x, y, z), ut (x, y, z,0) (x, y, z), (28) 其中(x, y, z) 与 (x, y, z) 为已知函数。
VrM
f dVrM
r
0 dr1
fdSrM1
SrM1
r
0 dr1 S1M
f (M r1)r12d.
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utt a2 (uxx uyy uzz ) ( x, y, z , t 0), (27) u(x, y, z,0) (x, y, z), ut (x, y, z,0) (x, y, z), (28) 微积分里面的奥-高公式
div vd v ndS
其中 为简单闭曲面 所围成的区域，n 是的单位
外法向。
现将方程(27)两边在
V
M r
上积分得
u div u
utt dVrM
a
2
udVrM
a
2
div
udVrM
a
2
u
dS
M r
VrM
VrM
VrM
S
M r
u n
u cos u cos u cos
x
y
z
u n
r
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utt a2 (uxx uyy uzz ) ( x, y, z , t 0), (27)
u(x, y, z,0) (x, y, z), ut (x, y, z,0) (x, y, z),
utt dVrM 4a 2r 2 u .
VrM
r
另一方面，利用
(28)
div vd v ndS
其中 为简单闭曲面 所围成的区域，n 是的单位
外法向。
现将方程(27)两边在
V
M r
上积分得
u div u
utt dVrM a2 udVrM a2 div udVrM
VrM
VrM
VrM
a2r 2 u(M r,t)d 4a 2r 2 u .
r S1M
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utt a2 (uxx uyy uzz ) ( x, y, z , t 0), (27)
u(x, y, z,0) (x, y, z), ut (x, y, z,0) (x, y, z), (28)
首先，任意固定点M
(x,
y, z),
S
M r
表示以
M 为球心，
r 为半径的球面。利用球坐标，则球面上的点
d sindd,
dS
M r
r 2d.
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utt a2 (uxx uyy uzz ) ( x, y, z , t 0), (27)
u(x, y, z,0) (x, y, z), ut (x, y, z,0) (x, y, z), (28)
现在引进 u的球面平均数
u(x, y, z,0) (x, y, z), ut (x, y, z,0) (x, y, z), (28)
于是
2
t 2
r 0
r12u
(r1
,
t
)dr1
a2r2
u r
,
两边对 r求导得
(r பைடு நூலகம்u )tt 2a 2rur a 2r 2urr ,
(
P x
Q y
R z
)dv
(P
cos
Q
cos
R
cos
)dS
可写成散度形式
div vd v ndS
其中 为简单闭曲面 所围成的区域，n 是的单位
外法向。
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utt a2 (uxx uyy uzz ) ( x, y, z , t 0), (27) u(x, y, z,0) (x, y, z), ut (x, y, z,0) (x, y, z), (28) 微积分里面的奥-高公式写成散度形式为
P (,, ) (x r sin cos, y r sin sin, z r cos ).
用
(sin
c os , sin
sin,cos )
表示球面
S
M r
的单位
外法向，则球面
S
M r
上的点可简单记作
M
r.
同时 也可被看成单位球面上的点。因此，我们
也记球面上的微元
dS
M r
r 2 sindd,