4
其中，aij ,bij , ci 是要被估计的参数。也可表示成：
还可以将式(9.1.2)做简单变换，表示为
(7.1.3)
其中 为
是yt关于外生变量Xt回归的残差。式(7.1.3)可以简写
5
(7.1.4)
其中 A(L) Ik A1L A2 L2 Ap Lp ，是滞后算子L的
kk的参数矩阵。一般称式(9.1.4)为非限制性向量自回归
第七章 向量自回归和误差修正模型
传统的经济计量方法是以经济理论为基础来描述变量关系的模型。但是，经 济理论通常并不足以对变量之间的动态联系提供一个严密的说明，而且内生变量 既可以出现在方程的左端又可以出现在方程的右端使得估计和推断变得更加复杂。 为了解决这些问题而出现了一种用非结构性方法来建立各个变量之间关系的模型。 本章所要介绍的向量自回归模型(vector autoregression，VAR)和向量误差修正 模型(vector error correction model，VEC)就是非结构化的多方程模型。 本章内容：
30
2．多变量的SVAR模型
下面考虑k个变量的情形，p阶结构向量自回归模 型SVAR(p)为
其中：
(7.1.13)
31
可以将式(7.1.13)写成滞后算子形式
(7.1.14)
其中：B(L) B0 Γ1L Γ2L2 Γ p Lp ，B(L)是滞后算子L
的 kk 的参数矩阵，B0 Ik。需要注意的是，本书讨论
(7.1.8)
24
在模型(7.1.8)中假设：
（1）变量过程xt和zt均是平稳随机过程；
（2）随机误差uxt和uzt 是白噪声序列，不失一般性，假设
方差
2 x
2 z
1
；
（3）随机误差uxt 和uzt 之间不相关，cov(uxt ,uzt ) 0 。
式(9.1.8)一般称为一阶结构向量自回归模型(SVAR(1))。
26
为了导出VAR模型的简化式方程，将上述模型表示 为矩阵形式
该模型可以简单地表示为
(7.1.9)
27
假设B0可逆，可导出简化式方程为 其中
(7.1.10)
28
从而可以看到，简化式扰动项t是结构式扰动项ut的
线性组合，因此代表一种复合冲击。因为uxt 和uzt是不相
关的白噪声序列，则可以断定上述1t和 2 t 也是白噪声
(7.1.6) 其中
7
对VAR模型的估计可以通过最小二乘法来进行，假如对
矩阵不施加限制性条件，由最小二乘法可得 矩阵的估
计量为
(7.1.7)
其中：
。当VAR的参数估
计出得到相应的 VMA(∞)模型的参数估计。
8
由于仅仅有内生变量的滞后值出现在等式的右边，所 以不存在同期相关性问题，用普通最小二乘法(OLS)能得 到VAR简化式模型的一致且有效的估计量。即使扰动向量
19
尽管有几个系数不是很显著，我们仍然选择滞后阶
数为3。3个方程调整的拟合优度分别
为：RR2
0.986,
RM2 1
0.999,
R2 GDP
0.998
。无论如何，我们可
以利用这个模型进行预测及下一步的分析。
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同时，为了检验扰动项之间是否存在同期相关关 系，可用残差的同期相关矩阵来描述。用e i表示第i个 方程的残差，i =1，2，3。其结果如表9.1所示。
维残差列向量。通过假定服从多元正态（高斯）分布 计算对数似然值：
AIC和SC两个信息准则的计算将在后文详细说明。
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例9.1 我国货币政策效应实证分析的VAR模型
为了研究货币供应量和利率的变动对经济波动的长期影 响、短期影响及其贡献度，根据我国1995年1季度～2004 年4季度的季度数据，利用VAR(3)模型对实际GDP[GDP季 值除以居民消费价格指数(1990年为100)]、实际M1和实际 利率RR (一年期贷款利率减去居民消费价格指数的变动率) 3个变量之间的关系进行了实证研究，其中实际GDP和实 际M1以对数的形式出现在模型中，而实际利率没有取对 数，由于方程右边的变量是相同的，所以OLS估计模型是 有效的，其结果如下：
模型(unrestricted VAR)。冲击向量t是白噪声向量，因为 t没有结构性的含义，被称为简化形式的冲击向量。
为了叙述方便，下面考虑的VAR模型都是不含外生变 量的非限制向量自回归模型，用下式表示
或
(7.1.5)
6
如果行列式det[A(L)]的根都在单位圆外，则式(8.1.5) 满足稳定性条件，可以将其表示为无穷阶的向量动平均 (VMA(∞))形式
序列，并且均值和方差为
29
同期的1t和
2
之间的协方差为
t
(7.1.11)
从式(7.1.11)可以看出当b12 ≠ 0或b21 ≠ 0时，VAR模型简 化式中的扰动项不再像结构式中那样不相关，正如例7.1 中的表7.1所显示的情况。当b12 = b21 = 0时，即变量之间 没有即时影响，上述协方差为0，相当于对B0矩阵施加 约束。
其中：
(7.1.15)
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式(7.1.15)通常称为经济模型的最终表达式，因为 其中所有内生变量都表示为外生变量的分布滞后形式。 而且外生变量的结构冲击ut 是不可直接观测得到，需要 通过 yt 各元素的响应才可观测到。可以通过估计式 (7.1.5)，转变简化式的误差项得到结构冲击ut 。从式 (7.1.6)和式(7.1.15)，可以得到
其余两个菜单（Cointegration 和 Restrictions）仅与 VEC模型有关，将在下面介绍。
13
2．VAR估计的输出 VAR对象的设定框填写完毕，单击OK按纽，EViews
将会在VAR对象窗口显示如下估计结果：
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表中的每一列对应VAR模型中一个内生变量的方 程。对方程右端每一个变量，EViews会给出系数估计 值、估计系数的标准差(圆括号中)及t-统计量(方括号 中)。例如，在log(GDPTC_P)的方程中RR(-1)的系数 是0.003521。
t有同期相关，OLS仍然是有效的，因为所有的方程有相
同的回归量，其与广义最小二乘法(GLS)是等价的。注意， 由于任何序列相关都可以通过增加更多的yt的滞后而被消 除（absorbed），所以扰动项序列不相关的假设并不要求 非常严格。
9
（二）EViews软件中VAR模型的建立和估计
1．建立VAR模型 为了创建一个VAR对象，应选择Quick/Estimate VAR… 或者选择Objects/New object/VAR或者在命令窗口中键入 var。便会出现下图的对话框(以例9.1为例)：
等式右边的变量相关，假设 是t的协方差矩阵，是一个
(kk)的正定矩阵。式(9.1.1)可以用矩阵表示为
3
(7.1.2)
即含有k个时间序列变量的VAR(p) 模型由k个方程组成。 例如：作为VAR的一个例子，假设工业产量（IP）和货币供 应量（M1）联合地由一个双变量的VAR模型决定，并且让 常数为唯一的外生变量。内生变量滞后二阶的VAR(2)模型是：
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可以在对话框内添入相应的信息： (1) 选择模型类型（VAR Type）：
无约束向量自回归（Unrestricted VAR）或者向量误 差修正（Vector Error Correction）。无约束VAR模型是 指VAR模型的简化式。 (2) 在Estimation Sample编辑框中设置样本区间。
2 4 6 9 12 12 即为用2―4阶，6―9阶及第12阶滞后变量。
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(4) 在Endogenous Variables和Exogenous Variables编辑 栏中输入相应的内生变量和外生变量。系统通常会自动给 出常数c作为外生变量，但是相应的编辑栏中输入c作为外 生变量，也可以，因为EViews只会包含一个常数。
表7.1 残差的同期相关矩阵
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从表中可以看到实际GDP方程和实际利率、实际 M1方程的残差项之间存在的同期相关系数比较高，进 一步表明实际GDP和实际货币供给量(M1)、实际利率 之间存在着同期的影响关系，尽管得到的估计量是一致 估计量，但是在本例中却无法刻画它们之间的这种同期 影响关系。
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（三）结构VAR模型(SVAR)
同时，有两类回归统计量出现在VAR对象估计输 出的底部：
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输出的第一部分显示的是每个方程的标准OLS回归 统计量。根据各自的残差分别计算每个方程的结果， 并显示在对应的列中。
输出的第二部分显示的是VAR模型的回归统计量。 残差的协方差的行列式值由下式得出：
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其中m是VAR模型每一方程中待估参数的个数，εˆt 是k
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它是一种结构式经济模型，引入了变量之间的作用 与反馈作用，其中系数 b12表示变量zt的单位变化对变量
xt的即时作用，21表示xt-1的单位变化对zt的滞后影响。
虽然uxt 和uzt 是单纯出现在xt和zt中的随机冲击，但如果 b21 0，则作用在xt上的随机冲击uxt 通过对xt的影响，能 够即时传到变量zt上，这是一种间接的即时影响；同样， 如果b12 0，则作用在zt上的随机冲击uzt 也可以对xt产生 间接的即时影响。冲击的交互影响体现了变量作用的双 向和反馈关系。
一、向量自回归理论 二、结构VAR(SVAR)模型的识别条件 三、VAR模型的检验 四、脉冲响应函数 五、方差分解 六、Johansen协整检验 七、向量误差修正模型(VEC)
1
一、向量自回归理论
向量自回归(VAR)是基于数据的统计性质建立模型， VAR模型把系统中每一个内生变量作为系统中所有内生 变量的滞后值的函数来构造模型，从而将单变量自回归 模型推广到由多元时间序列变量组成的“向量”自回归 模型。VAR模型是处理多个相关经济指标的分析与预测 最容易操作的模型之一，并且在一定的条件下，多元 MA和 ARMA模 型也 可转化成 VAR模型 ，因此近 年来 VAR模型受到越来越多的经济工作者的重视。