第十四章 向量自回归模型本章导读：前一章介绍了时间序列回归，其基本知识为本章的学习奠定了基础。

这一章将要介绍的是时间序列回归中最常用的向量自回归，它独有的建模优势赢得了人们的广泛喜爱。

14.1 VAR 模型的背景及数学表达式VAR 模型主要应用于宏观经济学。

在VAR 模型产生之初，很多研究者（例如Sims ，1980和Litterman ，1976；1986）就认为，VAR 在预测方面要强于结构方程模型。

VAR 模型产生的原因在于20世纪60年代一大堆的结构方程并不能让人得到理想的结果，而VAR 模型的预测却比结构方程更胜一筹，主要原因在于大型结构方程的方法论存在着更根本的问题，并且结构方程受到最具挑战性的批判来自卢卡斯批判，卢卡斯指出，结构方程组中的“决策规则”参数，在经济政策改变时无法保持稳定，即使这些规则本身也是正确的。

因此宏观经济建模的方程组在范式上显然具有根本缺陷。

VAR 模型的研究用微观化基础重新表述宏观经济模型的基本方程，与此同时，对经济变量之间的相互关系要求也并不是很高。

我们知道经济理论往往是不能为经济变量之间的动态关系提供一个严格的定义，这使得在解释变量过程中出现一个问题，那就是内生变量究竟是出现在方程的哪边。

这个问题使得估计和推理变得复杂和晦涩。

为了解决这一问题，向量自回归的方法出现了，它是由sim 于1980年提出来的，自回归模型采用的是多方程联立的形式，它并不以经济理论为基础，在模型的每一个方程中，内生变量对模型的全部内生变量的滞后项进行回归，从而估计全部内生变量的动态关系。

向量自回归通常用来预测相互联系的时间序列系统以及分析随机扰动项对变量系统的动态影响。

向量自回归的原理在于把每个内生变量作为系统中所有内生变量滞后值的函数来构造模型，从而避开了结构建模方法中需要对系统每个内生变量关于所有内生变量滞后值的建模问题。

一般的VAR(P)模型的数学表达式是。

11011{,}t t p t p t t q t q ty v A y A y B x B x B x t μ----=++⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅++∈-∞+∞ （14.1）其中1t t Kt y y y =⋅⋅⋅⋅⋅⋅（）表示K ×1阶随机向量， 1A 到p A 表示K ×K 阶的参数矩阵， t x 表示M ×1阶外生变量向量， 1B 到q B 是K ×M 阶待估系数矩阵，并且假定t μ是白噪声序列；即，()0,t E μ= '(),t t E μμ=∑并且'()0,t s E μμ=)t s ≠（。

在实际应用过程之中，由于滞后期p 和q 足够大，因此它能够完整的反映所构造模型的全部动态关系信息。

但这有一个严重的缺陷在于，如果滞后期越长，那么所要估计的参数就会变得越多，自由度就会减少。

因此需要在自由度与滞后期之间找出一种均衡状态。

一般的准则就是取许瓦咨准则（SC ）和池此信息准则(AIC)两者统计量最小时的滞后期，其统计量见式(14-2)与式（14-3）。

2/2/AIC l n k n =-+ （14.2）2/log /SC l n k n n =-+ （14.3）式（14-2）与（14-3）中()k m qd pm =+表示待估参数个数，n 表示观测样本个数，同时满足：'(1log 2log[det(/)]22t t t nm nl n πεε∧∧=-+-∑） （14.4）14.2 VAR 模型的估计在对VAR 模型进行估计时，首先必须对变量进行单位根检验。

具体操作步骤见本书前面章节，在此不多加阐述了。

14.2.1 VAR 模型输入在Eviews 里面设定VAR 模型之前必须创建VAR 系统，选择quick/Estimate VAR 或者直接在命令窗口内输入var 。

此时会出现var 对话框，你必须在对话框中填入适当的信息,如下图14.1。

(1)选择VAR 估计的类型：Unrestricted VAR （非限制性向量自回归）或者Vector Error Correct （向量误差修正模型），现在所谓的VAR 是指Unrestricted VAR （非限制性向量自回归），Vector Error Correct （向量误差修正模型）将在下一步做进一步介绍。

(2)设定需要估计的样本跨度。

(3)在对话框（Lag Intervals for Endogenous ）键入适当的滞后期间隙，滞后期间隙必须是成对键入：每一对数字都定义了滞后期的区间，例如右图中：1 4表示Eviews 使用内生变图14.1 VAR 设定的对话框量滞后第1期至第4期来估计系统中的（gdp cpi m1 r ）变量。

你可以键入任何成对滞后数字。

滞后期的设定如下：2 4 6 9 12上面数字意味着使用滞后2-4，6-9和12-12。

(4)在对话框中键入需要估计的内生变量和外生变量名称，此处我们把gdp ，cpi ，m1和r 作为内生变量序列，同时把常数项c 作为一个外生变量键入对话框内。

剩下来的对话标签（Cointegration 和VEC Restrictions ）仅仅和我们下一步需要介绍的向量误差修正模型有关。

14.2.2 VAR 模型输出如果设定好var 模型以后，就可以点击ok ，在var 窗口中会显示估计的结果。

如图14.2。

图14.2 VAR 模型估计结果图中每一列代表相应VAR 模型中每一个内生变量的方程。

每一个变量的右端Eviews 汇报了待估系数，标准差（圆括号内）以及t 统计量（中括号内）。

例如在方程GDP 中GDP(-1)的系数为0.848803，标准差为0.13700，t 统计量为6.19545，根据t 统计量分布表，可知在5%的显著水平下，该系数是显著不为0的。

在系数估计表的下端，Eviews 汇报了一些额外的信息，如图14.3。

图14.3 VAR 模型回归统计量在图14.3中，第一部分表示的是每一个方程标准的OLS 统计量。

根据各自的残差分别计算每一个方程的结果，并显示在对应的每一列中。

输出的第二部分表示的是整个VAR 系统的回归统计量。

残差的协方差行列式值（自由度进行调整以后）的计算原理是'1det()t t tT m εε∧∧∧∑=-∑ （14.5） 在式（14-5）中m 表示的是VAR 系统中每一个方程待估参数的个数，非调整的估计可以忽略m 。

通过假定服从多元正态分布（高斯分布）的似然对数值的计算如下：{(1log 2)log }2Tl k π∧=-++∑ （14.6）AIC 和SC 两个信息准则的计算原理如下：2/2/AIC l T n T =-+ （14.7）2/log /SC l T n T T =-+ （14.8）其中()n k d mk =+表示VAR 模型中待估参数的总数，根据这些准则可以决定VAR 模型适当的滞后期长度，这些准则的值越小，那么模型的滞后期就越合适。

14.3 VAR 模型的诊断如果完成了VAR 模型的估计，那么Eviews 会提供各种视窗来反映估计的VAR 模型是否恰当。

在这一节中我们将要讨论VAR 模型的设定，并对VAR 模型进行诊断。

在VAR 系统视窗的View/Lag Structure 和 View/Residual Tests 菜单下提供了一系列帮助我们进行VAR 模型诊断的视图。

14.3.1 VAR 模型滞后期的确定对于VAR(1)，11t t t Y c Y μ-=+∏+模型稳定的条件是特征方程10I λ∏-=的根都在单位圆以内，或相反的特征方程10I L -∏=的根都要在单位圆以外。

对于k>1的VAR(k)模型可以通过矩阵变换改写成分块矩阵的VAR(1)模型形式。

1Y C AY t t t μ-=++ （14.9）模型稳定的条件是特征方程0A I λ-=的根都在单位圆以内，或其相反的特征方程 |I-LA|=0的全部根都在单位圆以外。

所以也可以通过估计得到相应()VMA ∞模型的参数。

这一小节主要介绍的是如何给VAR 模型确定去合适的滞后期，在滞后结构中提供许多确定滞后期的方法，见图14.4。

图14.4 VAR滞后结构视窗对话框1)AR根的图表关于AR特征根多项式的倒数可以参考：Lütkepohl (1991)。

如果VAR系统中所有根的模的倒数小于1，即位于单位圆内，那么VAR系统就是稳定的。

如果VAR系统不是稳定的，即部分根的模的倒数位于单位圆外，那么估计的某些结果(例如，脉冲响应的标准误差)就可能无效，估计过程中存在kp个根，其中k表示内生变量的个数，p表示最大滞后期。

如果估计一个带有r个协整关系的向量误差修正模型，那么必须有k-r个根的模等于1。

根据这一原则，我们得到的估计结果如表14.1。

表14-1 AR根表Roots of Characteristic PolynomialEndogenous variables: GDP CPI M1 RExogenous variables: CLag specification: 1 4Root Modulus0.992091 0.9920910.965850 0.965850-0.413574 - 0.711282i 0.822779-0.413574 + 0.711282i 0.8227790.814673 0.8146730.698590 - 0.408019i 0.8090160.698590 + 0.408019i 0.8090160.356653 - 0.683437i 0.7709010.356653 + 0.683437i 0.770901-0.168418 - 0.667357i 0.688281-0.168418 + 0.667357i 0.688281-0.535191 0.5351910.478679 0.478679-0.255845 - 0.372175i 0.451632-0.255845 + 0.372175i 0.4516320.290012 0.290012No root lies outside the unit circle.VAR satisfies the stability condition.从表14.1估计的结果可知，所有根的模的倒数都小于1，所以估计的VAR系统满足稳定性条件，为了更加直观的所有根的模的倒数在单位圆中的位置，我们根据AR根图来判断VAR系统的稳定性。

见图14.5。

图14.5 AR根图根据图14.5可知，所有AR根的模的倒数都位于单位圆内，由此可以判断VAR系统是稳定的。

如果VAR系统是稳定的，那么进一步进行VEC估计的结果就是有效的，否则某些估计的结果可能不是有效的。