湖北黄岗中学高考数学二轮复习考点解析2：一元二次函数性质及其综合考查一、一元二次函数图象与性质：（学生画出函数图象，写出函数性质）二.高考题热身1.若不等式x2＋ax＋1≥0对于一切x∈（0，12〕成立，则a的取值范围是（）A．0 B. –2 C.-5 2D.-32.已知函数f(x)=ax2+2ax+4(a>0),若x1<x2 , x1+x2=0 , 则( )A.f(x1)<f(x2)B.f(x1)=f(x2)C.f(x1)>f(x2)D.f(x1)与f(x2)的大小不能确定3．过点（－1，0）作抛物线21y x x=++的切线，则其中一条切线为（A）220x y++=（B）330x y-+=（C）10x y++=（D）10x y-+=3.设0a>，2()f x ax bx c=++，曲线()y f x=在点00(,())P x f x处切线的倾斜角的取值范围为0,4π⎡⎤⎢⎥⎣⎦，则点Ｐ到曲线()y f x=对称轴距离的取值范围是（）1.0,2A⎡⎤⎢⎥⎣⎦B.]21,0[a.0,2bCa⎡⎤⎢⎥⎣⎦1.0,2bDa⎡-⎤⎢⎥⎣⎦4．设0>b，二次函数122-++=abxaxy的图像为下列之一（）则a的值为（A）1（B）1-（C）251--（D）251+-5.不等式组⎩⎨⎧>-<-1)1(log2|2|22xx的解集为 ( )(A) (0,3)；(B) (3,2)；(C) (3,4)；(D) (2,4)。
6．一元二次方程2210,(0)ax x a++=≠有一个正根和一个负根的充分不必要条件是：（）A．0a<B．0a>C．1a<- D．1a>7. 已知方程22(2)(2)0x x m x x n-+-+=的四个根组成一个首项为14的等差数列,则m n-=( )A 1B 34C 12D 388.已知{}{}2||21|3,|6,A x x B x x x =+>=+≤A B =( )A .[)(]3,21,2-- B.(]()3,21,--+∞ C. (][)3,21,2-- D.(](],31,2-∞-9. 设函数⎪⎩⎪⎨⎧≥--<+=1,141,)1()(2x x x x x f ，则使得1)(≥x f 的自变量x 的取值范围为 （ ）A ．(][]10,02, -∞-B ．(][]1,02, -∞-C ．(][]10,12, -∞-D ．[]10,1]0,2[ -9.函数f x x ax ()=--223在区间［1，2］上存在反函数的充分必要条件是（ ） A. a ∈-∞(,]1 B. a ∈+∞[,)2 C. a ∈[,]12 D . a ∈-∞⋃+∞(,][,)12 10.已知函数)(,31)(x f x x f 则处的导数为在=的解析式可能为 （ ）A ．)1(3)1()(2-+-=x x x fB ．)1(2)(-=x x fC ．2)1(2)(-=x x fD ．1)(-=x x f11. 定义在R 上的偶函数f(x)满足f(x)=f(x +2)，当x ∈[3，5]时，f(x)=2－|x －4|，则（ ） A ．f (sin )<f (cos ) B ．f (sin1)>f (cos1)C ．f (cos)<f (sin) D ．f (cos2)>f (sin2)12．命题p ：若a 、b ∈R ，则|a |+|b|>1是|a +b|>1的充分而不必要条件；命题q ：函数y=的定义域是（－∞，－1∪[3，+∞.则（）A ．“p 或q ”为假B ．“p 且q ”为真C ．p 真q 假D ．p 假q 真13. .已知关于x 的方程2x －(2 m －8)x +2m －16 = 0的两个实根 12x x 、满足 1x ＜23＜2x ，则实数m 的取值范围_______________.17{|}22m m -<<14.已知b a ,为常数，若34)(2++=x x x f ，2410)(2++=+x x b ax f ，则b a -5= 2 。
15.设函数f(x)=x 2+mx+n,2216)(x x x g -=若不等式()x g x f '≤≤)(0的解集为{x|2≤x ≤3或x=6},求m,n 的值. 三.典型例题例1．作出下列函数的图象(1)y=|x-2|(x ＋1)；解：(1)当x ≥2时，即x-2≥0时，当x ＜2时，即x-2＜0时，6π6π32π32π2|1|--x ])这是分段函数，每段函数图象可根据二次函数图象作出(见图6)例2.的取值范围。
之间，求和的两根都在的方程若关于k k kx x x 310322-=++ 解析：0)(32)(2=++=x f x k kx x x f 程轴交点的横坐标就是方，其图象与令()13(1)0y f x f =-->的解，由的图象可知，要使二根都在，之间，只需，(3)0f >，()()02bf f k a-=-<10(10)k k -<<∈-同时成立，解得，故，例3．（福建卷）已知()f x 是二次函数，不等式()0f x <的解集是(0,5),且()f x 在区间[]1,4-上的最大值是12。
（I ）求()f x 的解析式；（II ）是否存在实数,m 使得方程37()0f x x+=在区间(,1)m m +内有且只有两个不等的实数根？若存在，求出m 的取值范围；若不存在，说明理由。
解：（I ）()f x 是二次函数，且()0f x <的解集是(0,5),∴可设()(5)(0).f x ax x a =->()f x ∴在区间[]1,4-上的最大值是(1)6.f a -=由已知，得612,a =22,()2(5)210().a f x x x x x x R ∴=∴=-=-∈（II ）方程37()0f x x+=等价于方程32210370.x x -+=设32()21037,h x x x =-+则2'()6202(310).h x x x x x =-=-当10(0,)3x ∈时，'()0,()h x h x <是减函数；当10(,)3x ∈+∞时，'()0,()h x h x >是增函数。
101(3)10,()0,(4)50,327h h h =>=-<=>∴方程()0h x =在区间1010(3,),(,4)33内分别有惟一实数根，而在区间(0,3),(4,)+∞内没有实数根，所以存在惟一的自然数3,m =使得方程37()0f x x+=在区间(,1)m m +内有且只有两个不同的实数根。
例4：已知二次函数f (x )=ax 2+bx +c 和一次函数g (x )=－bx ，其中a 、b 、c 满足a >b >c ,a +b +c =0,(a ,b ,c ∈R )(1)求证两函数的图象交于不同的两点A 、B ； (2)求线段AB 在x轴上的射影A 1B 1的长的取值范围解: (1)证明由⎩⎨⎧-=++=bxy c bx ax y 2消去y 得ax 2+2bx +c =0Δ=4b 2－4ac =4(－a －c )2－4ac =4(a 2+ac +c 2)=4［(a +43)22+c c 2］∵a +b +c =0,a >b >c ,∴a >0,c <0 ∴43c 2>0,∴Δ>0,即两函数的图象交于不同的两点(2)解设方程ax 2+bx +c =0的两根为x 1和x 2,则x 1+x 2=－a b 2,x 1x 2c|A 1B 1|2=(x 1－x 2)2=(x 1+x 2)2－4x 1x 22222224444()4()b c b ac a c ac a a a a ----=--== 22134[()1]4[()]24c c c a a a =++=++ ∵a >b >c ,a +b +c =0,a >0,c <0，∴a >－a －c >c ,解得a c∈(－2,－21) ∵]1)[(4)(2++=a c a c a c f 的对称轴方程是1=a cac ∈(－2,－21)时，为减函数∴|A 1B 1|2∈(3,12),故|A 1B 1|∈(32,3)例5：已知f (x )=x 2+c ,且f ［f (x )］=f (x 2+1) (1)设g (x )=f ［f (x )］,求g (x )的解析式；(2)设φ(x )=g (x )－λf (x ),试问 是否存在实数λ,使φ(x )在(－∞,－1)内为减函数，且在(－1，0)内是增函数点拨与提示：由f ［f (x )］=f (x 2+1)求出c ，进而得到函数的解析式，利用导数研究函数的单调性.解: (1)由题意得f ［f (x )］=f (x 2+c )=(x 2+c )2+c, f (x 2+1)=(x 2+1)2+c ,∵f ［f (x )］=f (x 2+1)∴(x 2+c )2+c =(x 2+1)2+c ,∴x 2+c =x 2+1,∴c =1 ∴f (x )=x 2+1,g (x )=f ［f (x )］=f (x 2+1)=(x 2+1)2+1 (2)φ(x )=g (x )－λf (x )=x 4+(2－λ)x 2+(2－λ) 若满足条件的λ存在，则φ′(x )=4x 3+2(2－λ)x∵函数φ(x )在(－∞,－1)上是减函数， ∴当x ＜－1时，φ′(x )＜0 即4x 3+2(2－λ)x ＜0对于x ∈(－∞,－1)恒成立∴2(2－λ)＞－4x 2, ∵x ＜－1,∴－4x 2＜－4 ∴2(2－λ)≥－4,解得λ≤4 又函数φ(x )在(－1,0)上是增函数 ∴当－1＜x ＜0时，φ′(x )＞0 即4x 2+2(2－λ)x ＞0对于x ∈(－1,0)恒成立∴2(2－λ)＜－4x 2, ∵－1＜x ＜0,∴－4＜4x 2＜0 ∴2(2－λ)≤－4,解得λ≥4故当λ=4时，φ(x )在(－∞,－1)上是减函数，在(－1,0)上是增函数，即满足条件的λ存在例6. 已知t t f 2log )(=，t ∈[2，8]，对于f(t)值域内的所有实数m ，不等式x m mx x 4242+>++恒成立，求x 的取值范围。
解:∵t ∈[2，8]，∴f(t)∈[21，3]原题转化为：2)2()2(-+-x x m >0恒成立，为m 的一次函数（这里思维的转化很重要）当x ＝2时，不等式不成立。