第2讲 一元二次不等式及其解法A 级 基础演练(时间:30分钟 满分:55分)一、选择题(每小题5分,共20分)1.(2012·南通二模)已知f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧x 2,x ≥0,-x 2+3x ,x <0,则不等式f (x )<f (4)的解集为( ).A .{x |x ≥4}B .{x |x <4}C .{x |-3<x <0}D .{x |x <-3}解析 f (4)=42=2,不等式即为f (x )<2. 当x ≥0时,由x2<2,得0≤x <4;当x <0时,由-x 2+3x <2,得x <1或x >2,因此x <0. 综上,x <4.故f (x )<f (4)的解集为{x |x <4}. 答案 B2.不等式x 2+ax +4<0的解集不是空集,则实数a 的取值范围是 ( ).A .[-4,4]B .(-4,4)C .(-∞,-4]∪[4,+∞)D .(-∞,-4)∪(4,+∞)解析 不等式x 2+ax +4<0的解集不是空集,只需Δ=a 2-16>0,∴a <-4或a >4,故选D. 答案 D3.设a >0,不等式-c <ax +b <c 的解集是{x |-2<x <1},则a ∶b ∶c = ( ).A .1∶2∶3B .2∶1∶3C .3∶1∶2D .3∶2∶1解析 ∵-c <ax +b <c ,又a >0,∴-b +c a <x <c -ba . ∵不等式的解集为{x |-2<x <1}, ∴⎩⎪⎨⎪⎧ -b +c a =-2,c -b a =1,∴⎩⎪⎨⎪⎧b =a2,c =32a ,∴a ∶b ∶c =a ∶a 2∶3a2=2∶1∶3. 答案 B4.(2013·莆田二模)不等式(x 2-2)log 2x >0的解集是( ).A .(0,1)∪(2,+∞)B .(-2,1)∪(2,+∞)C .(2,+∞)D .(-2,2)解析 原不等式等价于⎩⎨⎧ x 2-2>0,log 2x >0或⎩⎨⎧x 2-2<0,log 2x <0.∴x >2或0<x <1,即不等式的解集为(0,1)∪(2,+∞). 答案 A二、填空题(每小题5分,共10分)5.(2013·烟台模拟)已知关于x 的不等式ax 2+2x +c >0的解集为⎝ ⎛⎭⎪⎫-13,12,则不等式-cx 2+2x -a >0的解集为________.解析 由ax 2+2x +c >0的解集为⎝ ⎛⎭⎪⎫-13,12知a <0,且-13,12为方程ax 2+2x+c =0的两个根,由根与系数的关系得-13+12=-2a ,-13×12=ca ,解得a =-12,c =2,∴-cx 2+2x -a >0,即2x 2-2x -12<0,其解集为(-2,3). 答案 (-2,3)6.在实数集上定义运算⊗:x ⊗y =x (1-y ),若不等式(x -a )⊗(x +a )<1对任意实数x 恒成立,则实数a 的取值范围是________.解析 由题意知(x -a )⊗(x +a )=(x -a )(1-x -a )=-x 2+x +a 2-a .故-x 2+x +a 2-a <1对任意x ∈R 都成立.即-x 2+x <-a 2+a +1对任意x ∈R 都成立.而-x 2+x =-⎝ ⎛⎭⎪⎫x -122+14≤14,只需-a 2+a +1>14即可,即4a 2-4a -3<0,解得-12<a <32. 答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫-12,32三、解答题(共25分)7.(12分)已知不等式ax 2-3x +6>4的解集为{x |x <1或x >b },(1)求a ,b ;(2)解不等式ax 2-(ac +b )x +bc <0.解 (1)因为不等式ax 2-3x +6>4的解集为{x |x <1或x >b },所以x 1=1与x 2=b 是方程ax 2-3x +2=0的两个实数根,且b >1. 由根与系数的关系,得⎩⎪⎨⎪⎧1+b =3a ,1×b =2a .解得⎩⎨⎧a =1,b =2.(2)由(1)知不等式ax 2-(ac +b )x +bc <0为x 2-(2+c )x +2c <0,即(x -2)(x -c )<0.①当c >2时,不等式(x -2)(x -c )<0的解集为{x |2<x <c };②当c <2时,不等式(x -2)(x -c )<0的解集为{x |c <x <2};③当c =2时,不等式(x -2)(x -c )<0的解集为∅.综上所述:当c >2时,不等式的解集为{x |2<x <c }; 当c <2时,不等式的解集为{x |c <x <2}; 当c =2时,不等式的解集为∅.8.(13分)(2013·淮南质检)已知抛物线y =(m -1)x 2+(m -2)x -1(x ∈R ).(1)当m 为何值时,抛物线与x 轴有两个交点?(2)若关于x 的方程(m -1)x 2+(m -2)x -1=0的两个不等实根的倒数平方和不大于2,求m 的取值范围. 解 (1)根据题意,m ≠1且Δ>0,即Δ=(m -2)2-4(m -1)(-1)>0,得m 2>0, 所以m ≠1且m ≠0.(2)在m ≠0且m ≠1的条件下,⎩⎪⎨⎪⎧x 1+x 2=m -21-m ,x 1·x 2=11-m ,因为1x 1+1x 2=x 1+x 2x 1x 2=m -2,所以1x 21+1x 22=⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 1+1x 22-2x 1x 2=(m -2)2+2(m -1)≤2. 得m 2-2m ≤0,所以0≤m ≤2.所以m 的取值范围是{m |0<m <1或1<m ≤2}.B 级 能力突破(时间:30分钟 满分:45分)一、选择题(每小题5分,共10分)1.(2013·长沙模拟)已知二次函数f (x )=ax 2-(a +2)x +1(a ∈Z ),且函数f (x )在(-2,-1)上恰有一个零点,则不等式f (x )>1的解集为( ).A .(-∞,-1)∪(0,+∞)B .(-∞,0)∪(1,+∞)C .(-1,0)D .(0,1)解析 ∵f (x )=ax 2-(a +2)x +1,Δ=(a +2)2-4a =a 2+4>0, ∴函数f (x )=ax 2-(a +2)x +1必有两个不同的零点, 又f (x )在(-2,-1)上有一个零点,则f (-2)f (-1)<0, ∴(6a +5)(2a +3)<0,∴-32<a <-56,又a ∈Z , ∴a =-1,不等式f (x )>1即为-x 2-x >0, 解得-1<x <0. 答案 C2.(2012·南通期末)若不等式x 2-2ax +a >0对x ∈R 恒成立,则关于t 的不等式a 2t +1<at 2+2t -3<1的解集为( ).A .(1,2)B .(-2,1)C .(-2,2)D .(-3,2)解析 若不等式x 2-2ax +a >0对x ∈R 恒成立, 则Δ=4a 2-4a <0,所以0<a <1.又a 2t +1<at 2+2t -3<1,则2t +1>t 2+2t -3>0,即⎩⎨⎧2t +1>t 2+2t -3,t 2+2t -3>0,所以1<t <2. 答案 A二、填空题(每小题5分,共10分)3.(2013·大同一模)已知函数f (x )=-x 2+2x +b 2-b +1(b ∈R ),若当x ∈[-1,1]时,f (x )>0恒成立,则b 的取值范围是________. 解析 依题意,f (x )的对称轴为x =1,且开口向下, ∴当x ∈[-1,1]时,f (x )是增函数.若f (x )>0恒成立,则f (x )min =f (-1)=-1-2+b 2-b +1>0,即b 2-b -2>0,∴(b -2)(b +1)>0,∴b >2或b <-1. 答案 (-∞,-1)∪(2,+∞)4.(2012·浙江)设a ∈R ,若x >0时均有[(a -1)x -1](x 2-ax -1)≥0,则a =________.解析 显然a =1不能使原不等式对x >0恒成立,故a ≠1且当x 1=1a -1,a ≠1时原不等式成立.对于x 2-ax -1=0,设其两根为x 2,x 3,且x 2<x 3,易知x 2<0,x 3>0.当x >0时,原不等式恒成立,故x 1=1a -1满足方程x 2-ax -1=0,代入解得a =32或a =0(舍去). 答案 32 三、解答题(共25分)5.(12分)设函数f (x )=a 2ln x -x 2+ax ,a >0.(1)求f (x )的单调区间;(2)求所有的实数a ,使e -1≤f (x )≤e 2对x ∈[1,e]恒成立. 注 e 为自然对数的底数.解 (1)因为f (x )=a 2ln x -x 2+ax ,其中x >0,所以f ′(x )=a 2x -2x +a =-(x -a )(2x +a )x.由于a >0,所以f (x )的增区间为(0,a ),减区间为(a ,+∞). (2)由题意得,f (1)=a -1≥e -1,即a ≥e. 由(1)知f (x )在[1,e]内单调递增,要使e -1≤f (x )≤e 2,对x ∈[1,e]恒成立, 只要⎩⎨⎧f (1)=a -1≥e -1,f (e )=a 2-e 2+a e ≤e 2,解得a =e. 6.(13分)(2013·金华模拟)设二次函数f (x )=ax 2+bx +c ,函数F (x )=f (x )-x 的两个零点为m ,n (m <n ).(1)若m =-1,n =2,求不等式F (x )>0的解集; (2)若a >0,且0<x <m <n <1a ,比较f (x )与m 的大小. 解 (1)由题意知,F (x )=f (x )-x =a (x -m )(x -n ), 当m =-1,n =2时,不等式F (x )>0,即a (x +1)(x -2)>0.当a >0时,不等式F (x )>0的解集为{x |x <-1或x >2};当a <0时,不等式F (x )>0的解集为{x |-1<x <2}.(2)f (x )-m =F (x )+x -m =a (x -m )(x -n )+x -m =(x -m )(ax -an +1), ∵a >0,且0<x <m <n <1a ,∴x -m <0,1-an +ax >0. ∴f (x )-m <0,即f (x )<m .。