《工程数学（本）》期末综合练习、单项选择题设A, B 均为n 阶可逆矩阵，则下列等式成立的是正确答案:A . 0, 2 正确答案：BA. P(AB) P(A)P(B)，其中 A , B 相互独立B.P(AB) P(B)P(AB)，其中 P(B) 0 C. P(AB) P(A)P(B)，其中 A , B 互不相容 D.P(AB) P(A)P(B A)，其中 P(A) 0正确答案：C5 .若随机变量 X 与Y 相互独立，则方差 D(2X 3Y)=( )A . 2D(X) 3D(Y)B . 2D(X) 3D(Y)C . 4D(X) 9D(Y)D . 4D(X)9D(Y)正确答案：D6 .设A 是m n 矩阵， B 是s t 矩阵，且 ACB 有意义，则 D . t mC 是（）矩阵.A . nsB . s nC . mt正确答案：B7. 若X i 、X 2是线性方程组 AX = B 的解,而 i > 2是方程组AX-=O 的解,则（ ）是AX = B的解.A .i 2 3X i 3X 2i2 B .3 i 32C . X i X 2D . X i X 2正确答案：A正确答案:AB iAB i2 .方程组A . a i a 2 BAA iB iX ia iX ia 3 X 3X 3C . a ia 2a 3B . A B i Aa 2相容的充分必要条件是 a 3B . a ia 2 a 3 ），其中 a i0 , (i i, 2,3).a ia 2a 33 •设矩阵ii 的特征值为则3A 的特征值为4•设A , B 是两事件, 则下列等式中（）是不正确的.31 18•设矩阵A2 0 1 , 则A 的对应于特征值2的一个特征向量=( )11 2111A • 0B .C .1D •111正确答案：C9.下列事件运算关系正确的是()•A •B BABAB .• B BA BAC •B BA BAD • B 1 B正确答案：A10 •若随机变量 X ~ N(0,1)，则随机变量 Y 3X 2~ ()A • N( 2,3)B • N( 4,3)2C • N( 4,3 )2D ・ N( 2,3 )正确答案 :D11 • 设X 1, x 2, x 3是来自正态总体N(, 2)的样本，则 ()是的无偏估计.22 2A • X 1 X 2 X 3B • X 1 X 2X 355 5C •1 1 31 1 1 X 1X 2 X 3 D • X 1 x 2X 35555 55正确答案 :C12 • 2对给定的正态总体 N(,)的一个样本(X 1,X 2,,X n ) 2,未知，求 的置信区间，选用的样本函数服从()•A • x 2分布B • t 分布C •指数分布D •正态分布正确答案：B二、填空题1 1 21 •设 f(x)1 1 X2 2 ，则f(x) 0的根是•2 x 2 14应该填写：1, 1,2,22 •设向量 可由向量组1 , 2,n 线性表示，则表示方法唯一的充分必要条件1 72 77 n --------------------------- -应该填写：P(A) P(B)1 X2 ' 0 X 1，则常数 k =0, 其它应该填写：线性无关3 •若事件A ，B 满足AB ，贝U P (A - B ) = __________________ 4 ••设随机变量的概率密度函数为 f(x)应该填写:15 •若样本X —X 2,, X n 来自总体X ~ N(0, 1)，且xX i ，则x ~n i i1应该填写：N(0,—)n3 8 66 •行列式5 1 2的元素a 2i 的代数余子式 A 21的值为= _______________________ •1 0 7应该填写-567 •设三阶矩阵 A 的行列式A丄，则A 1 =2应该填写：228 .若向量组： 1123 , 30 ，能构成R 3 一个基，则数k 21k 2应该填写： 2AX = B 有解且r (A ) =1 ,那么AX = B 的相应齐次方程组的基础解系含有个解向量.应该填写：310 •设A, B 互不相容，且P(A) 0,则P(B A) 应该填写：011 •若随机变量X ~ U[0,2]，则1应该填写：-312 •设？是未知参数 的一个估计， 应该填写：无偏23 11 2 1 •设矩阵 A1 1 ,B1110 12 3 1解：(1)因为 A1120 011 2 30 1 1 B1 1 21 1 20 1 20 1 2二、计算题32，求：(1) AB ； (2) A 2 9 •设4元线性方程组 E( ?) ，则？称为 的 ________________ 估计.13 0 10 0 0 3 1 0 0 0 0 0 1令 X 2 = 1 , X 4 = 0，得 X 1 = ( 3, 1, 0, 0, 0)；X 2 = 0 , X 4 = 3，得 X 2 = ( 3, 0,1, 3, 0)所以原方程组的一个基础解系为{ X 1, X 2 }.原方程组的通解为：k 1X 1 k 2X 2，其中k 1, k 2是任意常数.3•设随机变量 X 〜N(4,1) . ( 1 )求 P(X 42) ； ( 2)若 P(X k) 0.9332，求 k 的值.(已知 (2)0.9775, (1) 0.8413, (1.5) 0.9332 ).解：(1) P(X 42) = 1 - P(X 42)=1 — P( 2 X 4 2) = 1 -((2)( 2))=2 (1 - (2) )= 0..(2) P(X k) P(X 4 k 4)=1 - P(X 4 k 4) =1 - (k 4)0.9332 (1.5)(k 4) 1 (1.5)( 1.5)即 k - 4 = -1.5 , k = 2.5 .2 3(2)因为A I0 1 10 0 12 30 1 0 1 1 0 1 0 0 1 1 0 01 0 01 01/23/21所以A111 .0 1X 1 3X 2 2 .求齐次线性方程组2x 1 6X 2 0 1 00 0 10 0 1/2 3/2 1 1 0 0 1 1 0 1 0 013x 3 2X 4 X 59X 3 5X 4 3x 50的通解 3x 32x 51 3 32 1 解：A =2 6 9 53 13 3 0 2般解为X 1X 3 X 53x 2 X 4X 4 ，其中X 2, X 4是自由元3所以 AB A B 2.x 1 3x 2110 04 •某切割机在正常工作时，切割的每段金属棒长服从正态分布，且其平均长度为 准差为0.15cm.从一批产品中随机地抽取 4段进行测量，测得的结果如下： 10.5 cm (单位:cm )10.4 , 10.6 , 10.1 , 10.4 问：该机工作是否正常( 0.05, U 0.975 1.96)? 解：零假设H 。

: 10.5.由于已知 U x N(0, 1) 0.15 , 故选取样本函数 经计算得X 10.375, 中n10.375 10.5由已知条件u 1故接受零假设, x 1.96，且 2即该机工作正常 5 •已知矩阵方程X解：因为(I A)X 10.0751.67 1.961.67(I I)(I A)所以(I A)AX B ，其中B ，且0 ，求 X • 3(4,8,(1, 2,4, 1),4(2,3,1, 1),求这个向量组的秩以及它的一个极大线性无关组.解：因为6 •设向量组 116,4),3,1, 5, 2),1 4 3 22 8 1 3( 1 2 3 4 )=4 165 11 42 11 4 32 1 43 20 0 5 7 0 0 1 10 0 7 7 0 0 0 20 0 1 1 0 0 0 0所以，r（ 1 , 2 , 3 ,4)= 3 .它的一个极大线性无关组是3 ,4 （或 2 , 3 , 4 )1 ,X1 3X22X3 07 .设齐次线性方程组2X15X23X3 0 ,为何值时方程组有非零解？在有非零解时，求3X18X2X3 0出通解.解：因为1 32 13 2 1 0 1A = 2 5 3 0 1 1 0 1 13 8 0 1 6 0 0 52当 5 0即5时, r(A)方程组的一般解为:X 3X 2X 3，其中X 3为自由元.令 X 3 =1 得 X i = （1, 1,1）, 通解为k 1X 1，其中k 1为任意常数.8 •罐中有12颗围棋子，其中8颗白子，4颗黑子•若从中任取 中至少有一颗黑子的概率；（2 ）取到3颗棋子颜色相同的概率.解：设A 1= “取到3颗棋子中至少有一颗黑子”，A 2= “取到的都是白子”， A 3= “取到的都则方程组的基础解系为{X i }. 颗, 求：（1 ）取到3颗棋子 曰、申~z. ” 是黑子 ,B = “取到 3颗棋子颜色相同” ，则 (1) P(A) 1P(A 1) 1 P(A 2)1—31 30.255 0.745.(2) P(B) P(A 2 A 3)P(A 2)P(A 3)C 3 0.255 —4-C 120.255 0.018 9 .设随机变量X ~ N (3 , 4).求: :(1) 1常数a .((1.0) 0.8413 ,(1.28) 0.9 ,解： (1) P (1<X < 7 )=1 3 :P(X 30.273.(1< X < 7 );( 2 )使 P (X < a ) =0.9 成立的 (2.0)0.9973).P2X 3 =P( 1 22)=⑵(1)=0.9973 + 0.8413T = 0.8386(2)因为 P (X < a ) = P(-3^^)=(a 3) = 0.92 2 2a 3 所以 1.28 , a = 3 + 2 1.28 = 5.56210 •从正态总体N ( , 9)中抽取容量为64的样本，计算样本均值得x = 21 ,求 的置信度为95%的置信区间.(已知U 0.9751.96)因为 X = 21 ， u 1.96，且1 - 2[X四、证明题1 •设A 是 证明：因为2k 2 4k a 0解得k 1 =0, k 2=0, k 3=0，从而1 , 2 ,3线性无关.4 •设A , B 为随机事件，试证： P(A) P(A B) P(AB) 证明：由事件的关系可知证明：因为(A I )(A I) A 2 I 0 ,即A 2I所以，A 为可逆矩阵.3 •设向量组 1 , 2 , 3线性无关, 令1122 , 232 23 ,3 4 31，证明向量组 1,2,3线性无关。

证明：设 k [ 1 k 2 2 k 3 30 ,即k 1( 12 2 ) k 2 (3 2 2 3 )k 3(4 3 1 ) 0(k 1k 3)1 (2k 13k 2 ) 2(2k 2 4k 3)3k 1 k 3因为1 ,2,3线性无关，所以2k 1 3k 2 0所以 (I2 •设n 阶矩阵A 满足(A I )(A I) 0,则A 为可逆矩阵. 解：已知3，n = 64，且 uN(0,1)1.96.640.735所以，置信度为95%的的置信区间为:,x u —] [20.265,21.735].—nn 阶矩阵，若 A 3 = 0 ,则(I A) 1 I A A 2 . (I A)(I A A 2) =I A A 2 A A 2 A 3 =IA 3= IA) 1 I A A 2A A U A (B B) AB AB (A B) AB 而(A B) AB ，故由概率的性质可知P(A) P(A B) P(AB)单纯的课本容，并不能满足学生的需要，通过补充，达到容的完善教育之通病是教用脑的人不用手，不教用手的人用脑，所以一无所能。