《3.6指数函数、幂函数、对数函数增长的比较》教学案三维目标
1．借助信息技术，利用函数图像及数据表格，比较指数函数、对数函数以及幂函数的增长差异．
2．恰当运用函数的三种表示方法(解析式、表格、图像)，并借助信息技术解决一些实际问题．
3．让学生体会数学在实际问题中的应用价值，培养学生学习兴趣．
重点难点
教学重点：认识指数函数、对数函数、幂函数等函数模型的增长差异，体会直线上升、指数爆炸与对数增长的不同．
教学难点：应用函数模型解决简单问题．
教学过程
导入新课
国际象棋起源于古代印度．相传国王要奖赏国际象棋的发明者，问他要什么．发明者说：“请在棋盘的第一个格子里放上1颗麦粒，第2个格子里放上2颗麦粒，第3个格子里放上4颗麦粒，依次类推，每个格子里的麦粒数都是前一个格子里放的麦粒数的2倍，直到第64个格子．请给我足够的麦粒以实现上述要求．”国王觉得这个要求不高，就欣然同意了．假定千粒麦子的质量为40g，据查，目前世界年度小麦产量为6亿吨，但不能满足发明者要求，这就是指数增长．本节我们讨论指数函数、对数函数、幂函数的增长差异．
推进新课
①在区间0，＋上判断y＝log2x，y＝2x，y＝x2的单调性.
②列表并在同一坐标系中画出三个函数的图像.
③结合函数的图像找出其交点坐标.
④请在图像上分别标出使不等式log2x＜2x＜x2和log2x＜x2＜2x成立的自变量x的取值范围.
⑤由以上问题你能得出怎样结论？
讨论结果：
①在区间(0，＋∞)上函数y＝log2x，y＝2x，y＝x2均为单调增函数．
②见下图1.
图1
③从图像看出y＝log2x的图像与另外两函数的图像没有交点，且总在另外两函数的图像的下方，y＝2x的图像与y＝x2的图像有两个交点(2，4)和(4，16)．
④不等式log2x＜2x＜x2和log2x＜x2＜2x成立的自变量x的取值范围分别是(2，4)和(0，2)∪(4，＋∞)．
⑤我们在更大的范围内列表作函数图像(图2)，
图2
容易看出：y＝2x的图像与y＝x2的图像有两个交点(2，4)和(4，16)，这表明2x与x2在自变量不同的区间内有不同的大小关系，有时2x＜x2，有时x2＜2x.
但是，当自变量x越来越大时，可以看到，y＝2x的图像就像与x轴垂直一样，2x的值快速增长，x2比起2x来，几乎有些微不足道，如图3和下表所示．
图3
一般地，对于指数函数y＝a x(a＞1)和幂函数y＝x n(n＞0)，通过探索可以发现，在区间(0，＋∞)上，无论n比a大多少，尽管在x的一定变化范围内，a x会小于x n，但由于a x的增长快于x n的增长，因此总存在一个x
，当x＞x0时，就会有a x＞x n.
同样地，对于对数函数y＝log a x(a＞1)和幂函数y＝x n(n＞0)，在区间(0，＋∞)上，随着x的增大，log a x增长得越来越慢，图像就像是渐渐地与x轴平行一样．尽管在x的一定变化范围内，log a x可能会大于x n，但由于log a x的增长慢于x n的增长，因此总存在一个x0，当x＞x0时，就会有log a x＜x n.
综上所述，尽管对数函数y＝log a x(a＞1)，指数函数y＝a x(a＞1)与幂函数y＝x n(n＞0)在区间(0，＋∞)上都是增函数，但它们的增长速度不同，而且不在同一个“档次”上．随着x的增大，y＝a x(a＞1)的增长速度越来越快，会超过并远远大于y＝x n(n＞0)的增长速度，而y＝log a x(a＞1)的增长速度则会越来越慢．因此，总会存在一个x0，当x＞x0时，就会有log
x＜x n＜a x.虽然幂函数y＝x n(n＞0)增长快于对数函数y＝log a x(a＞1)增长，但它们与指数增a
长比起来相差甚远，因此指数增长又称“指数爆炸”．
应用示例
例1试利用计算器来计算2500的近似值．
活动：学生思考，教师提示，计算这样一个大的数，用计算器无法直接计算．如何计算呢？我们可以充分利用幂的运算性质，再结合计算器的利用来求其近似值．解：第一步，利用科学计算器算出
210＝1024＝1.024×103；
第二步，再计算2100，因为
2100＝(210)10＝(1.024×103)10＝1.02410×1030，
所以，我们只需要用科学计算器算出
1．02410≈1.2677，
则2100≈1.2677×1030；
第三步，再计算2500，因为
(2100)5≈(1.2677×1030)5，
我们只需要用科学计算器算出
1．267 75≈3.274 0，
从而算出2500≈3.27×10150.
点评：在设计计算方法时，要考虑到科学计算器能计算的位数．如果函数值非常大，我们常常用科学记数法表示，并且根据需要保留一定数目的有效数字．
例2 在自然界中，有些种群的世代是隔离，即每一代的生活周期是分离的，例如很多一年生草本植物，在当年结实后死亡，第二年种子萌发产生下一代．假设一个理想种群，其每个个体产生2个后代，又假定种群开始时有10个个体，到第二代时，种群个体将上升为20个，以后每代增加1倍，依次为40，80，160，…，试写出计算过程，归纳种群增长模型，说明何种情况种群上升，种群稳定，种群灭亡．
活动：学生仔细审题，理解题目的含义，教师指导，注意归纳总结．
解：设N t 表示t 世代种群的大小，N t ＋1表示t ＋1世代种群的大小，
则N 0＝10；N 1＝10×2＝20；N 2＝20×2＝40；N 3＝40×2＝80；N 4＝80×2＝160；…. 由上述过程归纳成最简单的种群增长模型，由下式表示：N t ＋1＝R 0·N t ，其中R 0为世代净繁殖率．
如果种群的R 0速率年复一年地增长，则
N 1＝R 0N 0，
N 2＝R 0N 1＝R 2
0N 0，
N 3＝R 0N 2＝R 3
0N 0，
…
N t ＝R t
0N 0.
R 0是种群离散增长模型的重要参数，如果R 0＞1，种群上升；R 0＝1，种群稳定；0＜R 0＜1，种群下降；R 0＝0，雌体没有繁殖，种群在一代中死亡．思路2
例3 一工厂生产某种零件，每个零件的成本为40元，出厂单价为60元，该厂为鼓励销售商订购，决定当一次订购量超过100时，每多订购1个，订购的全部零件的单价就降低0.02元，但最低出厂单价不低于51元．
(1)一次订购量为多少个时，零件的实际出厂价恰为51元？
(2)设一次订购量为x 个时，零件的实际出厂价为p 元，写出p ＝f (x )．
(3)当销售商一次订购量分别为500，1 000个时，该工厂的利润分别为多少？
(一个零件的利润＝实际出厂价－成本)
解：(1)设一次订购量为a 个时，零件的实际出厂价恰好为51元，则a ＝100＋60－510.02＝550个．
(2)p ＝f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ 60，0<x ≤100，62－x 50，100<x <550，其中x ∈N ＋.51，x ≥550，
(3)当销售商一次订购量为x 个时，该工厂的利润为y ，则y ＝(p －40)x ＝
⎩⎪⎨⎪⎧ 20x ，0<x ≤100，22x －x 250，100<x <550，11x ，x ≥550.其中x ∈N ＋，故当x ＝500时，y ＝6 000；当x ＝1 000时，y
＝11 000.
点评：方程中的未知数设出来后可以参与运算，函数解析式为含x ，y 的等式．
例4 甲、乙两人连续6年对某县农村鳗鱼养殖业的规模(总产量)进行调查，提供了两个方面的信息，分别得到甲、乙两图：
图4
甲调查表明：每个鱼池平均产量从第1年1万只鳗鱼上升到第6年2万只．
乙调查表明：全县鱼池总个数由第1年30个减少到第6年10个．
请你根据提供的信息说明：
(1)第2年全县鱼池的个数及全县出产的鳗鱼总数．
(2)到第6年这个县的鳗鱼养殖业的规模(即总产量)比第1年扩大了还是缩小了？请说明理由．
(3)哪一年的规模(即总产量)最大？请说明理由．
活动：观察函数图像，学生先思考或讨论后再回答，教师点拨、提示：
先观察图像得出相关数据，利用数据找出函数模型．
解：由题意可知，甲图像经过(1，1)和(6，2)两点，
从而求得其解析式为y 甲＝0.2x ＋0.8，
乙图像经过(1，30)和(6，10)两点，
从而求得其解析式为y 乙＝－4x ＋34.
(1)当x ＝2时，y 甲＝0.2×2＋0.8＝1.2，y 乙＝－4×2＋34＝26，y 甲·y 乙＝1.2×26＝31.
2.所以第2年鱼池有26个，全县出产的鳗鱼总数为31.2万只．
(2)第1年出产鳗鱼1×30＝30(万只)，第6年出产鳗鱼2×10＝20(万只)，可见，第6年这个县的鳗鱼养殖业规划比第1年缩小了．
(3)设当第m年时的规模总产量为n，
那么n＝y甲·y乙＝(0.2m＋0.8)(－4m＋34)＝－0.8m2＋3.6m＋27.2
＝－0.8(m2－4.5m－34)＝－0.8(m－2.25)2＋31.25.因此，当m＝2时，n max＝31.2，即第2年时，鳗鱼养殖业的规模最大，最大产量为31.2万只．
课堂小结
本节学习了：①指数函数、对数函数、二次函数的增长差异．②幂函数、指数函数、对数函数的应用．。