A(ui ) ∨ B(ui )
i=1
ui
A
∩
B
=
n
∑
A(ui
)
∧
B(ui
)
i=1
ui
Ac
=
n 1− ∑
A(ui
)
i=1 ui
特别地，当U为区域时，令：
A = ∫ A(u) / u
u∈U
B = ∫ B(u) / u
u∈U
A ∪ B = ∫ A(u) ∨ B(u) / u
u∈U
A ∩ B = ∫ A(u) ∧ B(u) / u
A为“高个子”集合
则：
u x1 x2 x3 x4 x5 x6 A(u) 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
所以： 1) A＝{(x1,0),(x2,0.2),(x3,0.4),(x4,0.6),(x5,0.8),(x6,1)}
＝{(x2,0.2),(x3,0.4),(x4,0.6),(x5,0.8),(x6,1)}
T＝{1,2,…}且：
An
(u)
≡
1 2
⎜⎛1 − ⎝
1 n
⎟⎞ ⎠
则：
∪(
n∈T
An )(u)
=
∨
n∈T
An (u)
=
sup
n∈T
An
(u)
≡
1 2
∪n∈T
An
=
⎜⎛ ⎝
1 2
,
1 2
,
⎟⎞ ⎠
∩(
An )(u)
=
∧
n∈T
An (u)
n∈T
=
inf
n∈T
An (u)
≡
0
∩ An = (0,0, )
那么U上的一个模糊集“高个子”(A)的隶属函数
A(x)可定义为
A(x) = x −140 A(x) = x −100
190 −140
200 −100
即：A(x)表示某人属于A即“高个子”的程度。
例2、对年轻、年老问题，设论域U ＝[0,100], 设集合A和B分别表示“年轻”的集合与 “老年”的集合，则我们可给出它们的隶属 度的计算公式：
⎧1 ,
0 ≤ u ≤ 25
A(u)
=
⎪⎪⎨⎡ ⎪⎢1 ⎪⎩⎢⎣
+
⎜⎛ ⎝
u
− 25 5
⎟⎞ ⎠
2
⎤ ⎥ ⎥⎦
−1
,25
<
u
≤
100
⎧0 ,
0 ≤ u ≤ 50
B(u)
=
⎪⎪⎨⎡ ⎪⎢1 ⎪⎩⎢⎣
+
⎜⎛ ⎝
u
− 50 5
⎞⎟ −2 ⎠
⎤ ⎥ ⎥⎦
−1
,50
<
u
≤
100
2、F集的表示法
1) 一般情形：A={(u,A(u))|u∈U}； 2) 如果U为有限集或可数集：
u∈U
Ac = ∫ (1 − A(u)) / u
u∈U
推广：设At∈ℑ(U )，t∈T，T为指标集，则：
1) 并集： ∪ At
t∈T
( ∪ At
t∈T
)(u)
=
∨
t∈T
At
(u)
=
sup
t∈T
At
(u)
2) 交集： ∩ At
t∈T
( ∩ At
t∈T
)(u)
=
∧
t∈T
At (u)
= inf
t∈T
At (u)
n∈T
并、交、补的图形表示：
A(u) B(u)
A
(A∪B)(u)
B
(A∩B)(u)
Ac(u)
A∪B
A∩B
Ac
例7、设F集A和B的隶属函数为：
⎧0 ,
0 ≤ u ≤ 50
A(u)
=
⎪⎪⎨⎡ ⎪⎢1 ⎪⎩⎣⎢
+
⎜⎛ ⎝
u
− 50 5
⎟⎞ ⎠
−2
⎤ ⎥ ⎥⎦
−1
,50
<
u
≤
100
⎧1 ,
0 ≤ u ≤ 25பைடு நூலகம்
B(u
)
=
⎪⎪⎨⎡ ⎪⎢1 ⎪⎩⎢⎣
+
⎜⎛ ⎝
u
− 25 5
⎟⎞ ⎠
2
⎤ ⎥ ⎥⎦
−1
,25
<
u
≤
100
求：A∪B,A∩B,Ac,A∪Ac,A∩Ac,A∪Ac。
解：
A ∪ B = ∫ A(u) ∨ B(u) / u
u∈U
∫ ∫ ∫ = 1/ u +
⎡ ⎢1
+
⎛⎜
u
−
25
⎞⎟
2
⎤ ⎥
−1
u+
⎡ ⎢1
=min(1,0)=0
同理，略。
A ∩ B = 0 + 0.2 + 0.2 + 0 u1 u2 u3 u4
= 1∧ 0 + 0.8 ∧ 0.2 + 0.2 ∧ 0.8 + 0 ∧ 0
u1
u2
u3
u4
3) Ac
Ac(u1)=1-A(u1)＝1-1＝0；
同理，略。
Ac = 0 + 0.2 + 0.8 + 1 u1 u2 u3 u4
= 1−1 + 1− 0.8 + 1− 0.2 + 1− 0
u1
u2
u3
u4
特别地：
A = 1 + 0.8 + 0.2 + 0 Ac = 0 + 0.2 + 0.8 + 1
u1 u2 u3 u4
u1 u2 u3 u4
A ∪ Ac = 1∨ 0 + 0.8 ∨ 0.2 + 0.2 ∨ 0.8 + 0 ∨1
50<u≤100 ⎢⎣ ⎝ 5 ⎠ ⎥⎦
1
0 25 u* 100 50
A ∪ Ac = ∫ 1 u +
∫
1
−
⎡ ⎢1
+
⎛⎜
u
−
50
⎞⎟
−2
⎤ ⎥
−1
u
0≤u≤50
50<u≤u** ⎢⎣ ⎝ 5 ⎠ ⎥⎦
+
∫
⎡ ⎢1
+
⎛⎜
u
−
50
⎞⎟ −2
⎤ ⎥
−1
u
u**<u≤100 ⎢⎣ ⎝ 5 ⎠ ⎥⎦
( A ∪ Ac )(50) = 1
t∈T
t∈T
6) 0-1律： A∪U=U，A∩U=A；
A∪φ=A，A∩φ=φ ； 7) 还原律：(Ac)c=A； 8) 对偶律：(A∪B)c=Ac∩Bc；
(A∩B)c=Ac∪Bc;
推广： ( ∪ At )c = ∩ Atc ( ∩ A)c = ∪ Atc
t∈T
t∈T
t∈T
t∈T
8) 证明：对∀u∈U，有：
1
0 25 u* 100 50 u**
A ∩ Ac =
∫
⎡ ⎢1
+
⎜⎛
u
−
50
⎞⎟
−2
⎤ ⎥
−1
u
50<u≤u** ⎢⎣ ⎝ 5 ⎠ ⎥⎦
+
∫
1
−
⎡ ⎢1
+
⎜⎛
u
−
50
⎟⎞
−2
⎤ ⎥
−1
u
u**<u≤100 ⎢⎣ ⎝ 5 ⎠ ⎥⎦
1
0 25 u* 100 50 u**
3、并、交、补集的性质：
1) 幂等律：A∪A =A， A∩A=A； 2) 交换律：A∪B=B∪A，A∩B=B∩A； 3) 结合律：(A∪B)∪C =A∪(B∪C)，
2）交集：A∩B其隶属函数为： (A∩B)(u)=A(u)∧B(u)=min(A(u),B(u))
3）补集：Ac其隶属函数为： Ac(u)=1-A(u).
特别地，当U＝{u1,u2,…,un}时，令：
n
n
A = ∑ A(ui ) / ui B = ∑ B(ui ) / ui
i=1
i=1
则：
n
A∪B= ∑
u1
u2
u3
u4
= 1 + 0.8 + 0.8 + 1 ≠ U u1 u2 u3 u4
A ∩ Ac = 1∧ 0 + 0.8 ∧ 0.2 + 0.2 ∧ 0.8 + 0 ∧1
u1
u2
u3
u4
= 0 + 0.2 + 0.2 + 0 ≠ φ
u1 u2 u3 u4
例6、设An∈ℑ(U )，n∈T，T为指标集，
“⊆”具有如下性质：
1）自反性：∀A∈ℑ(U )，有A ⊆A；
2）反对称关系：若A⊆B，B⊆A,则 A=B； 3）传递性：若A⊆B,B⊆C，则A⊆C。
故：(ℑ(U ),⊆)是偏序集。
2、F集运算的定义
1）并集：A∪B其隶属函数为： (A∪B)(u)=A(u)∨B(u)=max(A(u),B(u))
模糊数学
Fuzzy mathematics
重庆大学数学与统计学院
第二章 F集合
主要内容： 一、F集的基本概念 二、F集的运算 三、模糊算子 四、F集的分解定理
一、F集的基本概念
普通集合表达的是“非此即彼”的现象：
设CA为一映射，U 为论域，且： CA:U →{0,1}