∴
抛物线上存在点 Q
，使得 SAOC
1 3 SAOQ
.
【点睛】 主要考查了二次函数的性质，以及求两边和的最小值，面积等常见的题型，计算量较大， 但难度不是很大.
4．如图，已知点 A（0，2），B（2，2），C（-1，-2），抛物线 F：y=x2-2mx+m2-2 与直线 x=-2 交于点 P． （1）当抛物线 F 经过点 C 时，求它的解析式； （2）设点 P 的纵坐标为 yP，求 yP 的最小值，此时抛物线 F 上有两点（x1，y1），（x2， y2），且 x1＜x2≤-2，比较 y1 与 y2 的大小.
∴ M（0， m 6 ） 由（2）可知抛物线与 x 轴的交点为（-1，0）和（ m 6 ，0）， 它们关于直线 y x 的对称点分别为（0 ， 1）和（0， m 6 ），
由题意，可得：
m 6 1或 m 6 m 6 m 5或m 6
【点睛】 本题考查对抛物线与 x 轴的交点，解一元一次方程，解一元一次不等式，根的判别式，对 称等，解题关键是熟练理解和掌握以上性质，并能综合运用这些性质进行计算．
3．在平面直角坐标系中， O 为原点，抛物线 y ax2 3 3 x(a 0) 经过点 A( 3, 3) ， 2
对称轴为直线 l ，点 O 关于直线 l 的对称点为点 B .过点 A 作直线 AC / / x 轴，交 y 轴于点
C.
（Ⅰ）求该抛物线的解析式及对称轴；
（Ⅱ）点 P 在 y 轴上，当 PA PB 的值最小时，求点 P 的坐标；
（Ⅲ）∵ A( 3, 3) ， AC / /x 轴，∴ AC 3 ， OC 3 ，
∴
SAOC
1 OC AC 2
1 3 2
33 3， 2
又∵
SAOC
1 3
SAOQ
，∴
SAOQ
3SAOC
9 3. 2
设 Q 点坐标为 (m, 1 m2 3 3 m) ，
2
2
如图情况一，作 QR CA ，交 CA 延长线于点 R ，
设直线 AB1 的解析式为 y kx b ，
把点 A
代入得
3
3k b
，
0 3 3k b
解得
k
3 4 ，∴
y
3 x9.
b
9 4
44
∴ 直线 y 3 x 9 与 y 轴的交点即为 P 点.
44 令x 0得y9 ，
4
∵ P 点坐标为 (0, 9 ) . 4
点的坐标. （Ⅲ）设点 Q 的坐标，并求出△ AOQ 面积，从而得到△ AOQ 面积，根据 Q 点胡不同位置 进行分类，用 m 及割补法求出面积方程，即可求解. 【详解】
（Ⅰ）∵ y ax2 3 3 x(a 0) 经过点 A( 3, 3) ， 2
∴ 3 a ( 3)2 3 3 3 ，解得 a 1 ，
∵
SAOQ
S梯形OCRQ SAOC
SAQR
9 3 2
，
∴
1 2
m
3
1 2
m2
3
3 2
m
3
1 2
33 1 m 2
3
1 2
m2
33 2
m
3
9
3 2
，
化简整理得 m2 3m 18 0 ，
解得 m1 3 3 ， m2 2 3 .
如图情况二，作 QN AC ，交 AC 延长线于点 N ，交 x 轴于点 M ，
设直线 PM 的解析式为 y= x+b， ∵ P 的坐标为（2，4），
∴ 4= ×2+b，解得 b=3，
∴ 直线 PM 的解析式为 y= x+3．
由
，解得
，
，
∴ 点 M 的坐标为（ ， ）．
考点：二次函数的综合题
2．童装店销售某款童装,每件售价为 60 元,每星期可卖 100 件,为了促销该店决定降价销售, 经市场调查发现：每降价 1 元,每星期可多卖 10 件,已知该款童装每件成本 30 元,设降价后
∴ 2 1 2m m2 2 .
∴ m1=m2=-1.
∴ 抛物线 F 的解析式是 y x2 2x 1.
(2)当 x=-2 时， yP 4 4m m2 2 = m 22 2 .
∴ 当 m=-2 时， yP 的最小值为－2.
此时抛物线 F 的表达式是 y x 22 2 .
∴ 当 x 2 时，y 随 x 的增大而减小. ∵ x1 x2 ≤－2， ∴ y1 > y2 .
【答案】（1）（2，4）；（2）（ ， ）；（3） ；（4）（ ， ）． 【解析】 试题分析：（1）利用配方法抛物线的一般式化为顶点式，即可求出二次函数图象的最高点 P 的坐标； （2）联立两解析式，可求出交点 A 的坐标； （3）作 PQ⊥x 轴于点 Q，AB⊥x 轴于点 B．根据 S△ POA=S△ POQ+S△ 梯形 PQBA﹣S△ BOA，代入数值 计算即可求解； （4）过 P 作 OA 的平行线，交抛物线于点 M，连结 OM、AM，由于两平行线之间的距离 相等，根据同底等高的两个三角形面积相等，可得△ MOA 的面积等于△ POA 的面积．设直
（Ⅲ）抛物线上是否存在点 Q
，使得 SAOC
1 3 SAOQ
，若存在，求出点 Q 的坐标；若不
存在，请说明理由.
【答案】（Ⅰ）抛物线的解析式为 y 1 x2 3 3 x ;抛物线的对称轴为直线 x 3 3 ;
2
2
2
（Ⅱ） P 点坐标为 (0, 9 ) ;（Ⅲ）存在， Q 点坐标为 (3 3, 0) 或 (2 3,15) ，理由见解析 4
【答案】(1) y x2 2x 1；(2) y1 y2 .
【解析】 【分析】 （1）根据抛物线 F：y=x2-2mx+m2-2 过点 C（-1，-2），可以求得抛物线 F 的表达式； （2）根据题意，可以求得 yP 的最小值和此时抛物线的表达式，从而可以比较 y1 与 y2 的大 小. 【详解】 (1) ∵ 抛物线 F 经过点 C（－1，－2），
6．在平面直角坐标系 xOy 中，抛物线 y＝x2﹣2x+a﹣3，当 a＝0 时，抛物线与 y 轴交于点 A，将点 A 向右平移 4 个单位长度，得到点 B． （1）求点 B 的坐标； （2）将抛物线在直线 y＝a 上方的部分沿直线 y＝a 翻折，图象的其他部分保持不变，得到 一个新的图象，记为图形 M，若图形 M 与线段 AB 恰有两个公共点，结合函数的图象，求 a 的取值范围． 【答案】（1）A（0，﹣3），B（4，﹣3）；（2）﹣3＜a≤0； 【解析】 【分析】 （1）由题意直接可求 A，根据平移点的特点求 B； （2）图形 M 与线段 AB 恰有两个公共点，y＝a 要在 AB 线段的上方，当函数经过点 A 时， AB 与函数两个交点的临界点； 【详解】 解：（1）A（0，﹣3），B（4，﹣3）； （2）当函数经过点 A 时，a＝0， ∵ 图形 M 与线段 AB 恰有两个公共点， ∴ y＝a 要在 AB 线段的上方， ∴ a＞﹣3 ∴ ﹣3＜a≤0； 【点睛】 本题二次函数的图象及性质；熟练掌握二次函数图象的特点，函数与线段相交的交点情况 是解题的关键．
（1）证明：∵ b2 4ac 5 m2 46 m m 72 0
∴ 抛物线与 x 轴总有交点.
（2）解：由（1） m 72 ，根据求根公式可知，
方程的两根为： x m 5 （m 7）2 2
即 x1 1，x2 m 6 由题意，有 3<-m 6<5 1<?m 3 (3)解：令 x = 0， y = m 6
该款童装每件售价 x 元,每星期的销售量为 y 件.
(1)降价后,当某一星期的销售量是未降价前一星期销售量的 3 倍时，求这一星期中每件童装 降价多少元? (2)当每件售价定为多少元时,一星期的销售利润最大,最大利润是多少? 【答案】（1）这一星期中每件童装降价 20 元；（2）每件售价定为 50 元时，一星期的销 售利润最大，最大利润 4000 元． 【解析】 【分析】 （1）根据售量与售价 x（元/件）之间的关系列方程即可得到结论． （2）设每星期利润为 W 元，构建二次函数利用二次函数性质解决问题． 【详解】 解：（1）根据题意得，（60﹣x）×10+100＝3×100， 解得：x＝40， 60﹣40＝20 元， 答：这一星期中每件童装降价 20 元； （2）设利润为 w， 根据题意得，w＝（x﹣30）[（60﹣x）×10+100]＝﹣10x2+1000x﹣21000 ＝﹣10（x﹣50）2+4000， 答：每件售价定为 50 元时，一星期的销售利润最大，最大利润 4000 元． 【点睛】 本题考查二次函数的应用，一元二次不等式，解题的关键是构建二次函数解决最值问题， 利用图象法解一元二次不等式，属于中考常考题型．
【解析】
【分析】
（Ⅰ）将 A( 3, 3) 点代入二次函数的解析式，即可求出 a，再根据对称轴的公式即可求
解.
（Ⅱ）先求出 B 点胡坐标，要求 PA PB 胡最小值，只需找到 B 关于轴的对称点 B1 ，则 直线 A B1 与 y 轴的交点就是点 P，根据待定系数法求出 AB1 的解析式，令 y=0，即可求出 P
一、二次函数 真题与模拟题分类汇编（难题易错题）
1．（10 分）（2015•佛山）如图，一小球从斜坡 O 点处抛出，球的抛出路线可以用二次函
数 y=﹣x2+4x 刻画，斜坡可以用一次函数 y= x 刻画．
（1）请用配方法求二次函数图象的最高点 P 的坐标； （2）小球的落点是 A，求点 A 的坐标； （3）连接抛物线的最高点 P 与点 O、A 得△ POA，求△ POA 的面积； （4）在 OA 上方的抛物线上存在一点 M（M 与 P 不重合），△ MOA 的面积等于△ POA 的 面积．请直接写出点 M 的坐标．