判断一个函数的单调性2．下列函数中，在区间(0，＋∞)上是增函数的是( ) A ．f (x )＝x B ．g (x )＝－2x C ．h (x )＝－3x ＋1 D ．s (x )＝1x解析：函数g (x )＝－2x 在R 上是减函数，函数h (x )＝－3x ＋1在R 上是减函数，函数s (x )＝1x 在(0，＋∞)上是减函数，故排除B 、C 、D ，选A.答案：A1．下列函数中，在区间(－∞，0)上是减函数的是( ) A ．y ＝1－x 2 B ．y ＝x 2＋x C ．y ＝－－x D ．y ＝xx －1[答案] D[解析] y ＝1－x 2在(－∞，0)上为增函数，y ＝x 2＋x 在(－∞，0)上不单调，y ＝－－x 在(－∞，0)上为增函数，故选D.3．下列函数中，在区间(0,2)上为增函数的是( ) A ．y ＝3－x B ．y ＝x 2＋1 C ．y ＝1xD ．y ＝－|x | [答案] B[解析] y ＝3－x ，y ＝1x ，y ＝－|x |在(0,2)上都是减函数，y ＝x 2＋1在(0,2)上是增函数．11．考察单调性，填增或减函数y ＝1－x 在其定义域上为________函数； 函数y ＝1x在其定义域上为________函数． [答案] 减 减1．(2009·福建高考)下列函数f (x )中，满足“对任意x 1，x 2∈(0，＋∞)，当x 1<x 2时，都有f (x 1)>f (x 2)”的是 ( )A ．f (x )＝1xB ．f (x )＝(x －1)2C ．f (x )＝e xD ．f (x )＝ln(x ＋1)解析：∵对任意的x 1，x 2∈(0，＋∞)，当x 1<x 2时，都有f (x 1)>f (x 2)，∴f (x )在(0，＋∞)上为减函数．故选A.答案：A2．下列函数f (x )中，满足“对任意x 1，x 2∈(0，＋∞)，都有f (x 2)－f (x 1)x 2－x 1<0”的是( )A ．f (x )＝1xB ．f (x )＝(x －1)2C ．f (x )＝e xD ．f (x )＝ln(x ＋1)答案 A解析 满足f (x 2)－f (x 1)x 2－x 1<0其实就是f (x )在(0，＋∞)上为减函数，故选A.6．已知奇函数f (x )的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，且不等式f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2>0对任意两个不相等的正实数x 1、x 2都成立．在下列不等式中，正确的是( )A ．f (－5)>f (3)B ．f (－5)<f (3)C ．f (－3)>f (－5)D ．f (－3)<f (－5) 答案 C解析 由f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2>0对任意两个不相等的正实数x 1、x 2都成立，可知，f (x )在(0，＋∞)上为增函数，又f (x )为奇函数，故f (x )在(－∞，0)上也为增函数，故选C.2．(2009年高考福建卷)下列函数f (x )中，满足“对任意的x 1，x 2∈(0，＋∞)，当x 1＜x 2时，都有f (x 1)＞f (x 2)”的是( )A ．f (x )＝1x B ．f (x )＝(x －1)2 C ．f (x )＝e x D ．f (x )＝ln(x ＋1)解析：选A.由题意知函数f (x )在(0，＋∞)上是减函数，在A 中，由f ′(x )＝－1x 2＜0得f (x )在(－∞，0)和(0，＋∞)上为减函数；在B 中，由f ′(x )＝2(x －1)＜0得x ＜1，所以f (x )在(－∞，1)上为减函数．在C中，由f′(x)＝e x＞0知f(x)在R上为增函数．在D中，由f′(x)＝1x＋1且x＋1＞0知f′(x)＞0，所以f(x)在(－1，＋∞)上为减函数．6．(2009年高考陕西卷)定义在R上的偶函数f(x)满足：对任意的x1，x2∈(－∞，0](x1≠x2)，有(x2－x1)(f(x2)－f(x1))＞0，则当n∈N*时，有()A．f(－n)＜f(n－1)＜f(n＋1)B．f(n－1)＜f(－n)＜f(n＋1)C．f(n＋1)＜f(－n)＜f(n－1)D．f(n＋1)＜f(n－1)＜f(－n)解析：选 C.对任意x1，x2∈(－∞，0](x1≠x2)，有(x2－x1)·(f(x2)－f(x1))＞0，因此x2－x1和f(x2)－f(x1)同号，所以f(x)在(－∞，0]上是增函数．由于n∈N*，且n＋1＞n＞n－1，所以－n－1＜－n＜－n ＋1≤0，即f(n＋1)＝f(－n－1)＜f(－n)＜f(－n＋1)＝f(n－1)．9．如果函数f(x)在[a，b]上是增函数，对于任意的x1、x2∈[a，b](x1≠x2)，下列结论中正确的有________．①f(x1)－f(x2)x1－x2＞0；②(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]＞0；③f(a)＜f(x1)＜f(x2)＜f(b)；④x1－x2f(x1)－f(x2)＞0.解析：∵f(x)在[a，b]上为增函数．∴x1－x2与f(x1)－f(x2)的符号相同．∴①②④均正确．又∵不知道x1，x2的大小，∴无法比较f(x1)与f(x2)的大小，故③错误．答案：①②④1.已知f(x)在(-∞,+∞)内是减函数,a、b∈R,a+b≤0,则有( )A.f(a)+f(b)≤-f(a)-f(b)B.f(a)+f(b)≥-f(a)-f(b)C.f(a)+f(b)≤f(-a)+f(-b)D.f(a)+f(b)≥f(-a)+f(-b) 解析:a+b≤0⇒a≤-b,b≤-a⇒f(a)≥f(-b),f(b)≥f(-a)两式相加即得. 答案:D1．(2009年高考福建卷改编)下列函数f (x )中，满足“对任意x 1，x 2∈(0，＋∞)，当x 1<x 2时，都有f (x 1)>f (x 2)”的是________．①f (x )＝1x ②f (x )＝(x －1)2 ③f (x )＝e x ④f (x )＝ln(x ＋1) 解析：∵对任意的x 1，x 2∈(0，＋∞)，当x 1<x 2时，都有f (x 1)>f (x 2)，∴f (x )在(0，＋∞)上为减函数．答案：①4．(2009年高考陕西卷改编)定义在R 上的偶函数f (x )，对任意x 1，x 2∈[0，＋∞)(x 1≠x 2)，有f (x 2)－f (x 1)x 2－x 1<0，则下列结论正确的是________．①f (3)<f (－2)<f (1) ②f (1)<f (－2)<f (3) ③f (－2)<f (1)<f (3) ④f (3)<f (1)<f (－2)解析：由已知f (x 2)－f (x 1)x 2－x 1<0，得f (x )在x ∈[0，＋∞)上单调递减，由偶函数性质得f (2)＝f (－2)，即f (3)<f (－2)<f (1)．答案：①判断函数的单调性和单调区间1． 下列函数中，在(－∞，0)上为增函数的是( )A ．y ＝1－x 2B ．y ＝x 2＋2xC ．y ＝11＋x D ．y ＝x x －1解析：∵y ＝1－x 2的对称轴为x ＝0，且开口向下，∴(－∞，0)为其单调递增区间．答案：A(理)下列函数中既是奇函数，又在区间[－1,1]上单调递减的是( ) A ．f (x )＝sin xB ．f (x )＝－|x ＋1|C ．f (x )＝12(a x ＋a －x )D ．f (x )＝ln 2－x2＋x[答案] D[解析] y ＝sin x 与y ＝ln 2－x 2＋x 为奇函数，而y ＝12(a x ＋a －x )为偶函数，y ＝－|x ＋1|是非奇非偶函数．y ＝sin x 在[－1,1]上为增函数．故选D. 5． 函数y ＝ln 1＋x1－x的单调递增区间是________．解析：本题考查复合函数单调区间的确定；据题意需1＋x1－x >0即函数定义域为(－1,1)，原函数的递增区间即为函数u (x )＝1＋x 1－x 在(－1,1)上的递增区间，由于u ′(x )＝(1＋x1－x )′＝2(1－x )2>0.故函数u (x )＝1＋x 1－x 的递增区间(－1,1)即为原函数的递增区间． 答案：(－1,1)综上知，函数f (x )的单调增区间为(－1,1)，单调减区间为(－∞，－1]和[1，＋∞) 2．设f (x )是增函数，则下列结论一定正确的是( ) A ．y ＝[f (x )]2是增函数 B ．y ＝1f (x )是减函数C ．y ＝－f (x )是减函数D ．y ＝|f (x )|是增函数解析：根据函数单调性定义判定，设x 1<x 2， 则f (x 1)<f (x 2)，则－f (x 1)>－f (x 2)，但[f (x 1)]2<[f (x 2)]2，1f (x 1)>1f (x 2)，|f (x 1)|<|f (x 2)|，三个关系式不一定成立． 答案：C1．函数y ＝x ＋2x －2的单调区间是________，在该区间上是单调________．解析：y ＝x ＋2x －2可写成y ＝1＋4x －2，所以函数的单调区间是(－∞，2)及(2，＋∞)，在这两个区间上都是单调减函数．答案：(－∞，2)及(2，＋∞) 减函数1．函数y ＝x 2－6x ＋10在区间(2,4)上是( ) A ．递减函数 B ．递增函数 C ．先减后增 D ．先增后减答案 C解析 对称轴为x ＝3，函数在(2,3]上为减函数，在[3,4)上为增函数．3．若f (x )＝x 2＋2(a －1)x ＋2在区间(－∞，4)上是减函数，那么实数a 的取值范围是( )A ．a <－3B ．a ≤－3C ．a >－3D ．a ≥－3答案 B解析 对称轴x ＝1－a ≥4.∴a ≤－3.12．函数f (x )＝－x 2＋|x |的递减区间是________． 答案 ⎣⎡⎦⎤－12，0与⎣⎡⎭⎫12，＋∞ 解析 数形结合13．在给出的下列4个条件中，①⎩⎪⎨⎪⎧0<a <1x ∈(－∞，0) ②⎩⎪⎨⎪⎧ 0<a <1x ∈(0，＋∞) ③⎩⎪⎨⎪⎧ a >1a ∈(－∞，0) ④⎩⎪⎨⎪⎧a >1x ∈(0，＋∞) 能使函数y ＝log a 1x 2为单调递减函数的是________．(把你认为正确的条件编号都填上)． 答案 ①④解析 利用复合函数的性质，①④正确．。