浅议解决物理问题的数学方法宝坻一中张玉强运用数学方法解决物理问题是高中物理课要培养学生的五种能力之一。

最近几年的高考不断出现了考查用数学方法解决物理问题能力的题目。

尤其是现在又实施了“3＋综”的考试形式，对跨学科的综合能力的考查逐年提高。

因此，教师在教学的过程中，应有意识地培养学生利用数学方法解决物理问题的能力。

所谓解决物理问题的数学方法，就是根据物理问题中所遵循的物理规律，经过推理论证、数学运算，导出表示各物理量之间关系的方程式，然后运用数学有关知识解决物理问题。

下面就解决物理问题中常用的几种数学方法做如下归纳总结：一、一般函数的应用在分析物理问题中的动态问题时，往往需要把要分析的量（Y）与已知代表动态的量（X），通过物理规律建立起一定的函数关系y＝f（x），从而确定要分析的量的变化情况。

例1、图1所示，绳与杆均轻质，承受弹力的最大值一定，A端用铰链固定，滑轮在A点正上方（滑轮大小及摩擦均可忽略），B端吊一重物，现施拉力F，将B端缓慢上拉（均未断），在A杆达到竖直前（）A、绳子越来越容易断B、绳子越来越不容易断C、AB杆越来越容易断D、AB杆越来越不容易断解析：设AC＝l1，AB＝l2，BC=l3，BD=a，AD=b，CD=c由共点力平衡条件得：⎩⎨⎧=+=G F F F F NN αθαθcos cos sin sin 得：1222sin cos l Gl ac l a l b G ctg G F N =⨯+=+=αθθ 故可知AB 杆受力大小不变，所以选项C 、D 都错。

13312sin sin l Gl l b l bl Gl F F N =⨯==αθ 由于l 3在逐渐减小，故F 逐渐减小，所以选项B 正确例2、如图2所示的电路，M 、N 两端的电压U保持恒定，R 为定值电阻，当滑动变阻器R 0(总阻值也为R ）的滑动端p 从a 端滑向b 端的过程中，试分析安培表的读数变化情况。

解析：设滑动变阻器ap 部分的电阻为X ，求出通过安培表的电流I 与x 的函数关系式。

222245)2(1R R x UR x R Rx UR x x R Rx x R x R Rx UI +--=-+=⨯+⨯-++= 可见当2R x = 时，I 有最小值，故滑动端P 从a 到b 滑动过程中，安培表的读数先减小后增大。

例3、房内高处有一白炽灯s （可视为点光源），如果在s 所在位置沿着垂直于屏的方向水平扔出一个小球A ，如图3所示，不计空气阻力，则A 在屏上的影子的运动是（ ）A 、 加速度逐渐增大的直线运动B 、加速度逐渐减小直线运动C 、匀加速直线运动D 、匀速直线运动解析：要想确定正确选项，只要求出A 球影子位移S 与时间t 的函数关系式，即可得解。

设经时间t A 球运动到B 点，影子为C ：d AP =。

由平抛运动规律可知2210gt DB tv AD ==又 ABD ∆∽ACP ∆ PC DB AP AD ::= ∴t v gd S PC 02== ∴ 02v gd v =影 是一定值，故选项D 正确。

二、三角函数的应用三角函数在解决物理问题中经常要用到，主要涉及到三角函数的正弦定理、余弦定理和差化积以及积化和差等有关知识。

例4、如图4所示，某轴承厂有一条滚珠传送带，传送带与水平面的倾角为θ ，上方有一滚珠送料口，为使滚珠从送料口的A 点沿光滑斜槽最快地送到传送带上，下列应采取的措施正确的是（ ）A 、沿竖直方向的AB 安放滑槽B 、沿过A 点与传送带垂直的方向AC 安放滑槽C 、沿∠BAC 的角平分线方向AD 安放滑槽D 、上述三种方案均不行解析：此题需求出滚珠沿任一与水平方向夹a 角的滑槽滚下，所需的时间t 的函数关系，则可求出a 为何值时t 有最小值。

设滚珠沿AF 滑槽滚下，AF 长为X ，AE 长为l ， 由正弦定理得：θθαsin )](180sin[x L =+- ∴ )sin(sin θαθ+=L x )2cos(cos sin 4)sin(sin sin 22αθθθθαθθ+-=+==l g L a x t 可见当 θ+2α= 180 ，即α=290θ-时，t 有最小值故选项C 正确。

例5、一个物体的质量为m ，放在水平面上，受到一个大小恒定的力F 的作用，若F< mg ，物体与水平面间的动摩擦因数为μ，求力F 跟水平面的夹角是多大时物体的加速度最大？解析：设F 与水平方向夹角为θ ，求出此时物体加速度a 与θ的函数关系式，利用三角函数知识即可求解。

根据牛顿第二定律得：()μθμφφπθφπθπφθμφμφθμθμθθμθμarctan tan 2tan 221tan sin 1sin cos )sin (cos 2=∴==⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-==+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=-++=-+=--==c tg g mF g m F m F mF g m F m F a 时加速度最大即可见当合 三、数列知识的应用有些题目要用到各种数列知识才能求解，这就要求学生此方面的知识的熟练。

培养学生把物理问题转化为数列计算。

例6、用一定质量的铁锤沿水平方向将长为l 的铁钉敲入木板，铁锤每次以相同的速度击钉，随即与钉一起运动并使钉进入木板一定距离。

在每次受击进入木板的过程中，钉所受到的平均阻力为前一次受击进入木板过程所受平均阻力的K 倍（k>1）若第一次敲击使钉进入木板深度为l ，问至少敲击多少次才能将钉全部敲入木板？解析：设第一次敲击时钉受阻力为f ，需敲n 次钉全部进入木板，根据动能定理得：K K l l n K K KK K l l l Kl K l K l l ll l l l fl K fl K Kfl fl E n n n n nn K 1lg 111lg 11111111112111211132113221⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛--=∴--=++++==++++=++++=====---这里不仅利用了等比例数列，同时又用到了对数函数。

例7、两本书AB 如图6所示，逐页交叉后叠放在一起平放在光滑的水平桌面上，设每页书的质量为5g ，每本书均是200页，纸与纸之间的动摩擦因数为0.3，问至少要用多少水平力，才能将它们拉开？（g ＝10m/s 2）解析：对于A 书，第一页受摩擦力f 1=μmg第二页受摩擦力f 2＝5μmg第三页受摩擦力f 3＝9μmg………第200页受摩擦力f 200＝（1＋199×4）μmg=797 μmg)(11972798200)797951(20021N mg mg f f f F =⨯=++++=++=μμ即要用1197牛的力才能将它们拉开。

这里既用到了等差数列，又用到了数学归纳法。

四、参数方程的应用例8、设从空中某点o ，以同样大小的初速度v 0,在同一个竖直平面内,向各个不同的方向同时抛出许多物体.试证明这些物体在任意时刻总是散在一个圆周上.(空气阻力不计)解析:如图7所示,建立坐标系,设某物体初速度与水平X 轴夹 角,抽出后t秒,此物体的坐标为：⎪⎩⎪⎨⎧-==20021sin cos gt t v y t v x θθ ⎩⎨⎧=+===θθsin cos 2120R b y R x gt b t v R 则有设 在某确定的时刻t ，R ＝v 0t 和b ＝21gt 2都有确定的值，上述方程实际上是圆的参数方程，它的半径是R ，圆心在（O ，－b ）点。

可见，在任意时刻t ，所有的物体都在同一圆周上，这个圆的半径为R ＝v 0t ，圆心在（0，-21 gt 2）点，随着时间的增加，圆的半径不断增大，圆心不断下降，（实际上圆心在作自由落体运动） 。

五、微积分应用导数、微分和积分是刚刚从大学下放到中学的内容，有了这些数学知识，解决物理问题的思路和方法就更多了，能够解决的物理问题也就有所拓宽。

因此教师在教学的过程中，不容忽视在这方面的讲解训练。

例9、如图8所示，A 船从港口P 出发，拦截正以速度v 沿直线航行的船B ，P 与B 所在航线的垂直距离为a ，A 船起航时，B 与P 的距离为b ，如略去A 船起动时的加速过程，认为它一起航就作匀速运动，求A 船能拦到B 船所需的最小速率v 0。

解析：首先求出A 船沿一航道PD 拦截到B 船所需的速度v 与航道D长度x 的函数关系，利用v 的导数v ‘＝0时，v 有极值，确定出x 值，从而求出v 的最小值。

设A 船沿航道PD 拦截到B 船，此航道长度为X ，此时A 船速度为v ，则：b av v ab ab x a x a b a x v x a x a b v v a x a b xv v CD BC x t x v 0min 222222220222220,222200)1()2()2(0)()()1(=-=∴=-+----+-=-+-=+==式得代入将例10、真空中A 、B 两个点电荷相距为l ，所带电量分别为 A q 、-B q ，现将A 固定，给B 一外力使A 、B 间距离增大为2l ，求此过程外力至少做多少功？解析：根据题意，外力F 应与A 、B 之间库仑引力大小相等，方向相反，即F ＝2r q Kq B A 。

因为F 为变力，所以通过积分才能求功。

Lq q Kr q q k r q q K Fdr W B A L L B A L L B A L L 2222=-===⎰⎰ 此类问题过去学生无能为力，但学习了微积分知识后，便可求解，故此类问题不容忽视。

六、判别式△=b 2-4ac 的应用有些物理问题要通过物理规律建立一元一次方程，根据具体问题的有解与否，利用判别式△=b 2-4ac 来确定某个物理量的范围。

例11、电源电压恒定为6伏，一个未知电阻R 1与一个R 2＝3 Ω 的定值电阻串联后接入在该电源，则未知电阻R 1消耗的电功率可能值为（ ）A 、4WB 、3WC 、2.25WD 、4.8W解析：设流过R 的电流为I ，消耗的功率为P ，⎪⎩⎪⎨⎧=+=1221)(R I P R R U I 把此方程式整理为R 1的一元二次方程：PR 12+6（P-6）R 1+9P=0R 1应有解△=[6（P-6）]2-4P*9P ≥0解得P ≤3，故正确选项为B 、C例12、细玻璃管长82厘米，开口向上竖直放置，管中有一段长为6厘米的水银柱封闭了一定质量理想气体，在大气压为76厘米水银柱高时，封闭气体的温度为7O C ，长度为70厘米，如图所示，由于温度升高，管中水银柱缓缓上升直到全部溢出管外，求温度至少升至多少度，水银柱能全部溢出。

解析：封闭端理想气体初状态为P 1＝82 cmHg ，l 1＝70cm ，T 1＝280K ，从这一状态开始，随温度的升高，气体做等压膨胀直到水银柱上表面管口相平，这时若不继续升温，设温度为T 时管中有Xcm 高水银柱，则P 2＝（76＋x ）cmHg ，l 2＝（82－x ）cm 。