第三章导数及其应用导数概念及运算
误区警示 1．导数公式 (1)要注意公式的适用范围．如(xn)′＝nxn－1 中，n∈ N＋，若 n∈Q 且 n≠0，则应有 x>0. (2)注意公式不要用混，如(ax)′＝axlna，而不是(ax)′＝ xax－1.还要特别注意(uv)′≠u′v′，uv′≠uv′ ′
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二、常见函数的导数 1．常用的导数公式 C′＝0(C为常数)； (xm)′＝mxm－1(x>0，m≠0且m∈Q)； (xn)′＝nxn－1(n∈N＋) (sinx)′＝cosx； (cosx)′＝－sinx； (ex)′＝ex，
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●课程标准 1．导数概念及其几何意义 (1)通过对大量实例的分析，经历由平均变
化率过渡到瞬时变化率的过程，了解导数概 念的实际背景，知道瞬时变化率就是导数， 体会导数的思想及其内涵． (2)通过函数图象直观地理解导数的几何意 义．
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3．(理)掌握定积分的概念、性质，掌握微 积分基本定理，会用定积分解决一些平面曲 线围成的平面图形的面积和变速运动的路程 及变力作功等几何与物理问题．
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重点难点 重点：导数的概念、公式及运算法则，导数
的应用 难点：①导数的定义 ②复合函数的导数及积商的导数公式
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知识归纳 一、导数及有关概念
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(2)瞬时速度 设物体运动路程与时间的关系是 s＝f(t)，当 Δt 趋近 于 0 时，函数 f(t)在 t0 到 t0＋Δt 这段时间内的平均变化率 ΔΔst＝ft0＋ΔΔtt－ft0趋近于常数，我们把这个常数称为 t0 时刻的瞬时速度．
(2)通过实例(如变速运动物体在某段时间内 的速度与路程的关系)，直观了解微积分基 本定理的含义．第三章导数及其应用导数概念及运算
●命题趋势 (1)求导数及切线方程． (2)用导数研究函数的单调性，求函数的极
值与最值． (3)导数的综合应用． (4)(理)定积分与微积分基本定理的应用．
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4．生活中的优化问题举例．
例如，通过使利润最大、用料最省、效率最 高等优化问题，体会导数在解决实际问题中 的作用．
5．(理)定积分与微积分基本定理
(1)通过实例(如求曲边梯形的面积、变力做 功等)，从问题情境中了解定积分的实际背 景；借助几何直观体会定积分的基本思想， 初步了解定积分的概念．
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(ax)′＝axlna；(lnx)′＝1x； (logax)′＝xl1na. 特别 f(x)＝1x时，f ′(x)＝－x12， f(x)＝ x时，f ′(x)＝21 x .
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2．两个函数的四则运算的导数 (f±g)′＝f ′±g′； (fg)′＝f ′g＋fg′，特别(cf)′＝cf ′(c 为常数)； (gf )′＝f ′gg－2 fg′(g≠0)． 3．复合函数的导数 y′x＝y′u·ux′(其中 u 是 x 的函数)
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2．导数的运算 (1)能根据导数定义，求函数 y＝c，y＝x，y＝x2， y＝1x，(理)y＝ x的导数． (2)能利用给出的基本初等函数的导数公式和导 数的四则运算法则求简单函数的导数，(理)能求简单 的复合函数(仅限于形如 f(ax＋b))的导数．
(3)会使用导数公式表．
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2．深刻理解“函数在一点处的导数”、 “导函数”、“导数”的区别与联系
(1)函数在一点处的导数f ′(x0)是一个常数， 不是变量．
(2)函数的导数，是针对某一区间内任意点x 而言的．函数f(x)在区间(a，b)内每一点都 可导，是指对于区间(a，b)内的每一个确定 的值x0，都对应着一个确定的导数f ′(x0)．根 据函数的定义，在开区间(a，b)内就构成了 一个新的函数，就是函数f(x)的导函数f ′(x)．
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●备考指南 1．熟练掌握导数的定义及运算法则 主要包括理解导数的定义，熟记求导公式、
导数的四则运算法则、复合函数求导法则， 并能运用上述公式与法则进行求导计算. 2．熟练掌握导数的应用 主要包括利用导数确定函数的单调性、求函 数的极值与最值. 特别要注意能用导数的方 法解决一些函数性质的综合性问题.
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3．导数在研究函数中的应用
(1)结合实例，借助几何直观探索并了解函 数的单调性与导数的关系；能利用导数研究 函数的单调性，会求不超过三次的多项式函 数的单调区间．
(2)结合函数的图象，了解函数在某点取得 极值的必要条件和充分条件；会用导数求不 超过三次的多项式函数的极大值、极小值， 以及闭区间上不超过三次的多项式函数最大 值、最小值；体会导数方法在研究函数性质 中的一般性和有效性．
(3)函数y＝f(x)在点x0处的导数f ′(x0)就是导 函数f ′(x)在点x第＝三章导x数0及处其应用的导数函概念及数运算值，即f ′(x0)＝f
第三章导数及其应用导数概念及运算
3．导数 设函数 y＝f(x)在 x0 处及其附近有定义，当自变量在 x＝x0 附近改变量为 Δx 时，函数值相应地改变量 Δx 趋近于 0 时，平均变化率ΔΔyx＝ fx0＋ΔΔxx－fx0趋近于一个常数 l，那么常数 l 称为函数 f(x) 在点 x0 处的瞬时变化率．函数在点 x0 处的瞬时变化率通 常称为 f(x)在 x＝x0 处的导数，又称函数 f(x)在 x＝x0 处可 导．