微积分初步复习试题一、填空题（每小题4分，本题共20分） ⒈函数x x x f -++=4)2ln(1)(的定义域是 ]4,1()1,2(-⋃-- ．⒉若24sin lim0=→kxxx ，则=k 2 ．⒊曲线x y e =在点)1,0(处的切线方程是 1+=x y．⒋=+⎰e 12d )1ln(d d x x x0 ．⒌微分方程1)0(,=='y y y 的特解为 x y e = ．二、单项选择题（每小题4分，本题共20分） ⒈设函数x x y sin =，则该函数是（ A ）．A ．偶函数B ．奇函数C ．非奇非偶函数D ．既奇又偶函数⒉当=k （ C ）时，函数⎩⎨⎧=≠+=0,0,2)(2x k x x x f ，在0=x 处连续.A ．0B ．1C ．2D ．3 ⒊下列结论中（ C ）正确．A ．)(x f 在0x x =处连续，则一定在0x 处可微.B ．函数的极值点一定发生在其驻点上.C ．)(x f 在0x x =处不连续，则一定在0x 处不可导.D ．函数的极值点一定发生在不可导点上. ⒋下列等式中正确的是（ D ）．A . )cos d(d sin x x x = B. )1d(d ln xx x =C. )d(d x x a x a =D. )d(2d 1x x x= ⒌微分方程x y y x y sin 4)(53='''+''的阶数为（ B ）A. 2；B. 3；C. 4；D. 5 三、计算题（本题共44分，每小题11分）⒈计算极限2386lim 222+-+-→x x x x x ．原式214lim )1)(2()2)(4(lim22-=--=----=→→x x x x x x x x ⒉设x x y 3cos ln +=，求y d .)sin (cos 312x x x y -+=' x x x xy d )cos sin 31(d 2-=⒊计算不定积分x x d )12(10⎰-x x d )12(10⎰-= c x x x +-=--⎰1110)12(221)12(d )12(21 ⒋计算定积分x x d ln 2e 1⎰x x d ln 2e 1⎰-=21ln e x x 1e 1e e 2d 222e 12+=+-=⎰x x x 四、应用题（本题16分）欲做一个底为正方形，容积为108立方米的长方体开口容器，怎样做法用料最省？解：设底边的边长为x ，高为h ，用材料为y ，由已知22108,108xh h x ==x x xx x xh x y 432108442222+=⋅+=+= 令043222=-='x x y ，解得6=x 是唯一驻点，且04322263>⨯+=''=x x y ， 说明6=x 是函数的极小值点，所以当6=x ，336108==h一、填空题（每小题4分，本题共20分） ⒈函数24)2(2-+=+x x x f ，则=)(x f 62-x．⒉当→x 0 时，xx x f 1sin)(=为无穷小量. ⒊若y = x (x – 1)(x – 2)(x – 3)，则y '(1) = 2-．⒋=+-⎰-x x x d )135(113 2 ．⒌微分方程1)0(,=='y y y 的特解为 x y e = .二、单项选择题（每小题4分，本题共20分） ⒈函数)1ln(1)(-=x x f 的定义域是（ C ）．A ．),1(+∞B ．),1()1,0(+∞⋃C ．),2()2,1(+∞⋃D ．),2()2,0(+∞⋃⒉曲线1e 2+=x y 在2=x 处切线的斜率是（D ）． A ．2 B ．2e C ．4e D ．42e⒊下列结论正确的有（ B ）． A ．若f '(x 0) = 0，则x 0必是f (x )的极值点B ．x 0是f (x )的极值点，且f '(x 0)存在，则必有f '(x 0) = 0C ．x 0是f (x )的极值点，则x 0必是f (x )的驻点D ．使)(x f '不存在的点x 0，一定是f (x )的极值点 ⒋下列无穷积分收敛的是（A ）． A ．⎰∞+-02d e x x B ． ⎰∞+1d 1x xC ． ⎰∞+1d 1x xD ． ⎰∞+0d in x x s⒌微分方程x y x y y ln cos )(2)4(3=+''的阶数为（D46lim 222----→x x x x 4523lim )2)(2()2)(3(lim 22=--=+-+-=-→-→x x x x x x x x ）． A. 1； B. 2； C. 3； D. 4三、计算题（本题共44分，每小题11分）⒈计算极限46lim 222----→x x x x ． ⒉设x x y 3cos 5sin +=，求y d .)sin (cos 35cos 52x x x y -+='x x x 2cos sin 35cos 5-=x x x x y d )cos sin 35cos 5(d 2-= ⒊计算不定积分⎰+-x x xx x d sin 33 ⎰+-x x x x x d sin 33= c x x x +--cos 32ln 323⒋计算定积分⎰π0d sin 2x x x⎰πd sin 2x x x2sin 212d cos 21cos 21000πππππ=+=+-=⎰x x x x x 四、应用题（本题16分）用钢板焊接一个容积为43m 的底为正方形的无盖水箱，已知钢板每平方米10元，焊接费40元，问水箱的尺寸如何选择，可使总费最低？最低总费是多少？解：设水箱的底边长为x ，高为h ，表面积为S ，且有24xh =所以,164)(22xx xh x x S +=+= 2162)(xx x S -=' 令0)(='x S ，得2=x ，因为本问题存在最小值，且函数的驻点唯一，所以，当1,2==h x 时水箱的表面积最小.此时的费用为 1604010)2(=+⨯S （元）一、填空题（每小题4分，本题共20分） ⒈函数x x x f 2)1(2+=+，则=)(x f12-x．⒉=∞→xx x 1sin lim 1 ． ⒊曲线x y =在点)1,1(处的切线方程是 2121+=x y ．⒋若⎰+=c x x x f 2sin d )(，则=')(x f in2x 4s - ． ⒌微分方程x y xy y cos 4)(7)5(3=+''的阶数为 5 ．二、单项选择题（每小题4分，本题共20分） ⒈设函数x x y sin 2=，则该函数是（ D ）．A ．非奇非偶函数B ．既奇又偶函数C ．偶函数D ．奇函数 ⒉当0→x 时，下列变量中为无穷小量的是（ C ）.A ．x 1B ．x x sinC ．)1ln(x +D ．2xx⒊下列函数在指定区间(,)-∞+∞上单调减少的是（ B ）． A ．x cos B ．x -5 C ．2x D ． x 2⒋ 设c xxx x f +=⎰ln d )(，则=)(x f （ C ）．A. x ln lnB. x x lnC. 2ln 1xx- D. x 2ln ⒌下列微分方程中，（A ）是线性微分方程．A ．x y y x y x ln e sin ='-''B ．x xy y y e 2=+'C ．y y x y e ='+''D ． y y yx '=+ln 2三、计算题（本题共44分，每小题11分）⒈计算极限623lim 222-++-→x x x x x ．原式5131lim )3)(2()2)(1(lim22=+-=+---=→→x x x x x x x x ⒉设x x y 2cos +=，求y d .2ln 221sin x x x y +-='x xxy x d )2sin 2ln 2(d -=⒊计算不定积分x x d )12(10⎰-x x d )12(10⎰-=c x x x +-=--⎰1110)12(221)12(d )12(21⒋计算定积分⎰π20d sin x x x⎰20d sin πx x x +-=20cos πx x 1sin d cos 2020==⎰ππx x x四、应用题（本题16分）欲做一个底为正方形，容积为108立方米的长方体开口容器，怎样做法用料最省？解：设长方体底边的边长为x ，高为h ，用材料为y ，由已知22108,108x h h x == x x xx x xh x y 432108442222+=⋅+=+= 令043222=-='xx y ，解得6=x 是唯一驻点， 因为问题存在最小值，且驻点唯一，所以6=x 是函数的极小值点，即当6=x ，336108==h 时用料最省.一、填空题（每小题4分，本题共20分） ⒈函数74)2(2++=+x x x f ，则=)(x f32+x．⒉若函数⎩⎨⎧=≠+=0,0,2)(2x k x x x f ,在0=x 处连续，则=k 2 ．⒊函数2)1(2+=x y 的单调增加区间是 ).1[∞+- ． ⒋=⎰∞-dx e x 0221 ．⒌微分方程x y xy y sin 4)(5)4(3=+''的阶数为 4 ．二、单项选择题（每小题4分，本题共20分） ⒈设函数x x y sin =，则该函数是（B ）．A ．奇函数B ．偶函数C ．非奇非偶函数D ．既奇又偶函数 ⒉当+∞→x 时，下列变量为无穷小量的是（ A ）.A ．xxsin B ．)1ln(x + C ．x x 1sin D ． x x +1⒊若函数f (x )在点x 0处可导，则( D )是错误的．A ．函数f (x )在点x 0处有定义B ．函数f (x )在点x 0处连续C ．函数f (x )在点x 0处可微D ．A x f x x =→)(lim 0，但)(0x f A ≠⒋若)0()(>+=x x x x f ，则='⎰x x f d )(（ C ）.A. c x x ++23223B. c x x ++2C. c x x ++D. c x x ++2323221⒌下列微分方程中为可分离变量方程的是（B ）A. )(ln d d y x x y ⋅=；B. x y x y +=e d d ；C. y x x y e e d d +=；D. )ln(d d y x xy +=三、计算题（本题共44分，每小题11分）⒈计算极限234lim 222+--→x x x x ．原式412lim )1)(2()2)(2(lim22=-+=---+=→→x x x x x x x x ⒉设x y x cos 2+=，求y dx x y x 21sin 2ln 2⋅-=' .x xxy x d )2sin 2ln 2(d -=⒊计算不定积分x x x d e ⎰- 解：x xe x d ⎰-= ce xe x e xe x x x x +--=+-----⎰d⒋计算定积分x x x d ln 113e 1⎰+ 解：x xx d ln 113e 1⎰+2ln 12)ln 1d(ln 113311=+=++=⎰e e x x x四、应用题（本题16分）某制罐厂要生产一种体积为V 的有盖圆柱形容器，问容器的底半径与高各为多少时可使用料最省？解：设容器的底半径为r ，高为h ，则其表面积为S ，由已知h r V 2π=，于是2rVh π=，则其表面积为rVr rh r S 2π2π2π222+=+= 22π4r Vr S -='令0='S ，解得唯一驻点3π2V r =，由实际问题可知，当3π2Vr =时可使用料最省，此时3π4V h =，即当容器的底半径与高分别为3π2V 与3π4V时，用料最省．。